Так Боб минимизирует свой проигрыш.
Всё таки предлагается искать стратегии в равновесии Нэша.
Процедуру можно представить так:
1. Перед игрой игроки собираются и ведут переговоры:
а) Алиса говорит: "Я буду играть так".
б) Боб говорит: "Тогда я буду играть этак"
в) Алиса говорит: "Тогда я буду играть вот так вот"
....
2. Если наступает ситуация, когда ни один игрок не может улучшить своё положение - это и есть равновесие Нэша.
3. Но не факт, что оно существует в этой задаче.
В чистых стратегиях (когда в зависимости от

Алиса детерминировано показывает

или

, а Боб видя показанное число

детерминировано говорит "больше" или "меньше") - в этой задаче точно не существует. А вот имеется ли оно в смешанных в данной задаче - вопрос, как справедливо отметил
mihaild-- 08.07.2025, 09:57 --Третья попытка записать интегральное уравнение на

- вероятность, что будет показано число


- выигрыш Боба, если показано число

, и он говорит "показано больше".

Представим

, где

- симметричная функция,

- антисимметричная.
Поставим, и в 3 и 4 интеграле переставим аргументы в функции, тогда

Условие, что Алиса свела в ноль:

Итого:
-- 08.07.2025, 09:59 --Интересно, что добавление к

симметричной функции никак не влияет на выигрыш Боба.
Вообще, говоря:
1. Алиса должна минимизировать функционал:
![$$W_3 = \int\limits_{0}^{1} |W_2(\xi)| P_{\xi}[f(x,y)] d \xi $$ $$W_3 = \int\limits_{0}^{1} |W_2(\xi)| P_{\xi}[f(x,y)] d \xi $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/6/4f6c03bdf92c7789d7fe6870382a511682.png)
где
![$P_{\xi}[f(x,y)]$ $P_{\xi}[f(x,y)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/b/1fbacbcb82330ef67ccd08db8670ca1682.png)
- вероятность, что будет показано число

в какой-нибудь игре. Понятно, что она зависит от выбранной стратегии Алисы

.
2. Гипотеза: минимум функционала скорее всего найдётся. Но он будет достигаться на неком семействе функций

. И равновесия Нэша может не оказаться.