Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Батороев]

Dmitriy40
Для науки может и банально, а для меня - нормально.

Dmitriy40 в сообщении #1691466 писал(а):

А на самом деле она равна вообще $4C_2=2.640647263387478295711248440...$, потому что подставляя $\pi(n)=\frac{n}{\ln(n)}$ в вашу формулу получим классическую:

Такой переход не совсем верный, потому что для расчета числа простых требуется свой поправочный коэффициент.
Поэтому мой коэффициент $\dfrac {W}{2} \ne 2C_{2}$

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1691823 писал(а):

Такой переход не совсем верный, потому что для расчета числа простых требуется свой поправочный коэффициент.
Поэтому мой коэффициент $\dfrac {W}{2} \ne 2C_{2}$

Именно это как раз и говорит о том что ваша формула для $W$ - некорректна, приближённая. Потому что $\pi_2(n)=2 C_2 \dfrac{n}{\ln(n)^2}$ и $\pi(n)=\dfrac{n}{\ln(n)}$ в отличие от вашей доказаны. А значит должно быть $W/2=2 C_2$, вот просто должно быть по правилам арифметики (которую Вы учили в школе), как её, $W$, ни считать, и как её не обзывать (хоть вашей, хоть не вашей).
Разумеется лишь асимптотически.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1691855 писал(а):

$\pi(n)=\dfrac{n}{\ln(n)}$ в отличие от вашей доказаны.

Это довольно грубое приближение. Еще Лежандр пытался его улучшить

Цитата:

французский математик Лежандр установил, что в пределах первого миллиона число простых чисел, меньших x, приблизительно равно[7]:
$\pi(x)\approx \dfrac {x}{\ln x-1,08366}$.

[Dmitriy40]

Батороев
"В пределах первого миллиона" - это коррекция лишь начального участка, смешного размера на сегодня, а асимптотика сохраняется.
У Вас же с $W$ нарушается и асимптотика, раз она сходится не к $2 C_2$, а к немного другому значению.
Тогда Вы должны прямо указать в каких пределах ваша формула точнее (если вообще точнее!), в первом миллионе чисел или где. И этот предел будет ограничен сверху (раз асимптотика разная), т.е. она может быть точнее лишь на самом начальном участке (что сегодня думаю уже не интересно, там несложно получить абсолютно точное значение).

[Yadryara]

Батороев в сообщении #1691872 писал(а):

Это довольно грубое приближение. Еще Лежандр пытался его улучшить

Что-то я не догоняю. Откуда Вы это знаете? Так Вы всё-таки самостоятельно пытаетесь найти или про других людей читаете?

Да, сдвинутый интегральный логарифм ещё точнее:

$$\pi(x)\approx\int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\ln{t}}$$

А Riemann Prime Counting Function ещё точнее.

А есть и точная формула Римана. И всё это совсем недавно обсуждалось на форуме. Кстати, а какое отношение нынешнее обсуждение имеет к нынешней теме?

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1691878 писал(а):

"В пределах первого миллиона" - это коррекция лишь начального участка, смешного размера на сегодня, а асимптотика сохраняется.
У Вас же с $W$ нарушается и асимптотика, раз она сходится не к $2 C_2$, а к немного другому значению.
Тогда Вы должны прямо указать в каких пределах ваша формула точнее (если вообще точнее!), в первом миллионе чисел или где. И этот предел будет ограничен сверху (раз асимптотика разная), т.е. она может быть точнее лишь на самом начальном участке (что сегодня думаю уже не интересно, там несложно получить абсолютно точное значение).

Вы же знаете мои скудные вычислительные возможности, поэтому ппроверил свою формулу лишь на числах в прделах до ста тысяч.
Что касается отличие коэффициента $2 C_2$ от $W$ отношение составляет доли процента, что на мой взгляд, вполне удовлетворительно для "моей самопальной формулы".
Что касается Вашего предположения о "банальности ее выведения" то это не совсем так.
Я рассмотел, как ведет себя произведение $ \prod\limits_{i=2}^{t}\left(\dfrac{p_i^2}{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}\right)$.
Если перейти к другим обозначениям, то получим:

$$\frac{P_1 P_2 P_0^2}{S_1 S_2 S_0^2}=W\eqno(1)$$

где
$S_{1}; S_{2};S_{0}$ - произведения не отдельно расположенных составных чисел, примыкающих к простым числам, соответственно, сверху, снизу, а также произведение отдельно расположенных составных чисел;
$P_{1};P_{2}$ - произведения простых чисел-близнецов;
$P_{0}$ - произведение отдельно расположенных простых чисел.

Или

$$\dfrac {P_1P_2}{S'_1S'_2S'_0}\cdot \dfrac {P_0}{S''_1S''_2S''_0}=W\eqno (2)$$

где с одним штрихом обозначены произведения составных чисел, примыкающих к простым числам-близнецам, а с двумя штрихами - к отдельно расположенным простым.
Первое произведение в (2)

$$\dfrac {P_1P_2}{S'_1S'_2S'_0}=V\eqno (3)$$

а второе

$$\dfrac {P_0}{S''_1S''_2S''_0}=U\eqno (4)$$

По Вашему расчету $W\approx 2,64131423...$
По моему подсчету $V\approx3,082...$

Т.е. кривая произведения $U$ проходит ниже кривой $W$ и засчет произведения $V$ ПОДДЕРГИВАЕТСЯ к $W$
При этом получается, что

$$\dfrac {V}{U} = \dfrac {V^2}{W^2}\eqno (5)$$

и вывел формулу зависимости $\pi_{2}(n)$ от $\pi(n)$

-- 25 июн 2025 12:56 --

Yadryara в сообщении #1691912 писал(а):

Что-то я не догоняю. Откуда Вы это знаете? Так Вы всё-таки самостоятельно пытаетесь найти или про других людей читаете?

Я ж не утверждал, что кристально чист от математических знаний.

[Yadryara]

Всё равно противоречие вижу. Вы скажите прямо, категорически отказываетесь читать что-либо по теме? И будете пользоваться только тем что уже знаете?

И Вы ещё на это не ответили почему-то:

Нынешняя тема называется "Распределение взаимнопростых чисел в примориалах".

Какое отношение к ней имеют Ваши последние пять постов?

[Батороев]

Yadryara в сообщении #1692159 писал(а):

Всё равно противоречие вижу. Вы скажите прямо, категорически отказываетесь читать что-либо по теме? И будете пользоваться только тем что уже знаете?

И Вы ещё на это не ответили почему-то:

Нынешняя тема называется "Распределение взаимнопростых чисел в примориалах".

Какое отношение к ней имеют Ваши последние пять постов?

Я в школьные годы сильно увлекался математикой. Выписывал "Квант" и читал каждый номер "от корки до корки". Поэтому кое-какие математические знания имею. Многое забылось, но кое-что осталось.
Когда пришло время выбирать профессию, я все же выбрал технику, т.к. любил ее еще больше.
Что касается названия темы, я считаб, что неплохо ее проработал и на основе этих проработок ныне пробую найти еще что-нибудь.
Например, вывел то, что

$$\left( \dfrac {\varphi (n)}{n}\right)^2:\dfrac{\varphi_{2}(n)}{n}\approx \operatorname{const}$$

где $\varhi (n)$ -функция Эйлера, $\varphi _{2}(n)$ - функция моего расчета количества пар простых чисел-близнецов, взаимно простых с примориалом от простых, не превышающих $\sqrt n$.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1692162 писал(а):

Например, вывел

Вывел, но не доказал - иначе это стало бы доказательством бесконечности простых близнецов, коим оно очевидно не стало (несмотря на Ваши громкие заявления обратного).

Батороев в сообщении #1692162 писал(а):

взаимно простых с примориалом от простых, не превышающих $\sqrt n$.

А это означает просто простоту таких чисел, без лишней зауми о праймориале и взаимной простоте.

[Батороев]

Батороев в сообщении #1692162 писал(а):

Например, вывел то, что

$$\left( \dfrac {\varphi (n)}{n}\right)^2:\dfrac{\varphi_{2}(n)}{n}\approx \operatorname{const}$$

где $\varhi (n)$ -функция Эйлера, $\varphi _{2}(n)$ - функция моего расчета количества пар простых чисел-близнецов, взаимно простых с примориалом от простых, не превышающих $\sqrt n$.

Извиняюсь, опечатался.
Хотел написать:

$$$\left( \dfrac {\varphi (p_r\#)}{p_r\#}\right)^2:\dfrac{\varphi_{2}(p_r\#)}{p_r\#}\approx \operatorname{const}$$

-- 25 июн 2025 18:05 --

Dmitriy40 в сообщении #1692168 писал(а):

Вывел, но не доказал - иначе это стало бы доказательством бесконечности простых близнецов, коим оно очевидно не стало (несмотря на Ваши громкие заявления обратного).

Где Вы увидели мои "громкие заявления"?
Когда я привожу доказательство чего-нибудь, я так и пишу, причем в заголовке и крупными буквами.
Здесь же просто предложил формулу подсчета количества простых чисел-близнецов от числа простых чисел. Точна ли она?, - не знаю. Думал, Вы поможете оценить.
Я рассматриваю эту формулу, как слествие бесконечности простых чисел-близнецов, а не как причину этого.

[Yadryara]

Батороев в сообщении #1692197 писал(а):

просто предложил формулу подсчета количества простых чисел-близнецов от числа простых чисел. Точна ли она?, - не знаю. Думал, Вы поможете оценить.

Так помогли уже:

Yadryara в сообщении #1691583 писал(а):

приближение по HL1:

$$\pi_2(x)\approx1.320323\int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\ln^2t}$$

Считаете по этой формуле, считаете по своей, результаты сравниваете с настоящим количеством. В чём проблема?

Неужто не умеете интегралы считать? Ну так и Альфа, и PARI умеют.

Если Ваша формула вдруг окажется точнее на длинной дистанции, очень Вас зауважаю. Я ведь как раз совсем недавно ставил задачу поиска более точной формулы для кортежей.

[Dmitriy40]

Проделал за него (90% времени заняло оформление таблицы):
\begin{tabular}{|l|r|r|} \hline x & $\dfrac{2.641314233}{2} \dfrac{\pi(x)^2}{x} / \pi_2(x)$ & $2 C_2 \int\limits_2^x \dfrac{dt}{\ln(t)^2} / \pi_2(x)$ \\ \hline $10^1 & \color{magenta}$+5.652569320\%$ & $+141.8094164\%$ \\ $10^2 & \color{magenta}$+3.176337227\%$ & $+69.19359451\%$ \\ $10^3 & \color{magenta}$+6.497789875\%$ & $+30.84428689\%$ \\ \hline $10^4 & \color{magenta}$-2.693919234\%$ & $+4.493141381\%$ \\ $10^5 & \color{magenta}$-0.7279481654\%$ & $+2.018687552\%$ \\ $10^6 & \color{magenta}$-0.3818749529\%$ & $+0.9674340780\%$ \\ \hline $10^7 & $-1.104043425\%$ & \color{magenta}$-0.3834918652\%$ \\ $10^8 & $-0.4379333959\%$ & \color{magenta}$+0.01267152096\%$ \\ $10^9 & $-0.2915568422\%$ & \color{magenta}$+0.02342398416\%$ \\ \hline $10^{10} & $-0.2388089108\%$ & \color{magenta} $-0.004605415331\%$ \\ $10^{11} & $-0.1845365736\%$ & \color{magenta}$-0.003201464186\%$ \\ $10^{12} & $-0.1447227716\%$ & \color{magenta}$-0.001355360943\%$ \\ \hline $10^{13} & $-0.1155451781\%$ & \color{magenta}$-0.0004203874129\%$ \\ $10^{14} & $-0.09355073117\%$ & \color{magenta}$-0.00004181055722\%$ \\ $10^{15} & $-0.07662895984\%$ & \color{magenta}$-0.00006374765774\%$ \\ \hline $10^{16} & $-0.06305342297\%$ & \color{magenta}$-0.00003050021880\%$ \\ $10^{17} & $-0.05203054479\%$ & \color{magenta}$-0.000006698457302\%$ \\ $10^{18} & $-0.04296455218\%$ & \color{magenta}$+0.000001597199877\%$ \\ \hline \end{tabular}
Лучшая точность выделена цветом.

Как видно его формула даёт лучшую точность лишь до $10^6$, а дальше точность почти не улучшается. Т.е. погрешность растёт примерно как $O(x)$ (мрак!), вместо примерно $O(\sqrt{x})$ или ещё лучшей.

А для чисел менее миллиона формулы и не нужны, можно просто тупо хранить 8169 чисел где находятся простые близнецы и двоичным поиском в нём за 13 обращений находить $\pi_2(x)$ для любого $x<10^6$, а 260М байтов памяти хватит для хранения всех простых близнецов до $6\cdot2^{32}$ и за 26 обращений к такому массиву можно получить точное значение $\pi_2(x)$ для любого $x<6\cdot2^{32}=25769803776$.

[Батороев]

Dmitriy40
Большое Вам спасибо за расчеты!

[Yadryara]

Батороев, Вы не ответили, сами-то почему не посчитали? Какие-то сложности были или просто лень?

[Батороев]

Yadryara
А Вам так это важно? Не лень у меня, а старость (70 лет).
Я Вам уже писал, что не владею расчетными методами, ковыряюсь в ТЧ ради любопытства.