Проверка способности ChatGPT решать математические задачи

[mihaild]

«пара перестановок»
Многа букаф, но вроде бы всё правильно.

(Gemini 2.5 Pro)

Доказательство: Количество пар перестановок (f,g) равно n!p(n)

Количество пар перестановок $(f,g)$ порядка $n$, удовлетворяющих тождеству $f=gfg$, равно $n!p(n)$, где $p(n)$ - это число разбиений числа $n$.

[hr]

Шаг 1: Преобразование тождества

Исходное тождество:

$$f = gfg$$

Это тождество для элементов группы перестановок $S_n$. Умножим обе части уравнения справа на $f^{-1}$:

$$f f^{-1} = gfg f^{-1}$$

$$e = gfgf^{-1}$$

где $e$ - тождественная перестановка. Теперь умножим обе части слева на $g^{-1}$:

$$g^{-1} e = g^{-1} g f g f^{-1}$$

$$g^{-1} = f g f^{-1}$$

Это уравнение эквивалентно исходному. Оно утверждает, что перестановка $g^{-1}$ является сопряжённой к перестановке $g$ с помощью элемента $f$.

[hr]

Шаг 2: Стратегия подсчета

Наша задача — найти число пар $(f, g)$, удовлетворяющих этому условию. Мы можем просуммировать количество подходящих $f$ для каждой возможной перестановки $g \in S_n$.

Общее число пар $N$ можно выразить как:

$$N = \sum_{g \in S_n} |\{ f \in S_n \mid f g f^{-1} = g^{-1} \}|$$

где $|\{ \dots \}|$ — это количество элементов в множестве.

[hr]

Шаг 3: Подсчет количества $f$ для фиксированного $g$

Рассмотрим фиксированную перестановку $g \in S_n$. Нам нужно найти количество таких $f$, которые сопрягают $g$ к $g^{-1}$.

1. Существование такого $f$: Перестановки $g$ и $g^{-1}$ всегда имеют одинаковую цикловую структуру. Например, если $g$ имеет цикл $(a_1, a_2, \dots, a_k)$, то $g^{-1}$ будет иметь цикл $(a_k, \dots, a_2, a_1)$, который имеет ту же длину $k$. Поскольку две перестановки в $S_n$ сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру, для любой $g$ всегда существует хотя бы один элемент $f_0 \in S_n$ такой, что $f_0 g f_0^{-1} = g^{-1}$.

2. Нахождение всех таких $f$: Пусть $f_0$ — один из таких элементов. Теперь пусть $f$ — любой другой элемент, удовлетворяющий тому же условию:

$$f g f^{-1} = g^{-1}$$

Поскольку $f_0 g f_0^{-1} = g^{-1}$, мы можем написать:

$$f g f^{-1} = f_0 g f_0^{-1}$$

Умножим слева на $f_0^{-1}$ и справа на $f_0$:

$$(f_0^{-1} f) g (f^{-1} f_0) = g$$

$$(f_0^{-1} f) g (f_0^{-1} f)^{-1} = g$$

Это означает, что элемент $h = f_0^{-1}f$ коммутирует с $g$, то есть $hg = gh$. Множество всех таких элементов $h$ называется централизатором элемента $g$ и обозначается $C(g)$.

Таким образом, $f_0^{-1}f \in C(g)$, что равносильно $f \in f_0 C(g)$. Это означает, что множество всех искомых $f$ является левым смежным классом централизатора $C(g)$. Мощность любого смежного класса равна мощности самой подгруппы.

Следовательно, для фиксированного $g$ количество подходящих перестановок $f$ равно мощности централизатора $g$, то есть $|C(g)|$.

[hr]

Шаг 4: Суммирование по всем $g$

Теперь мы можем вернуться к нашей сумме и подставить в нее полученный результат:

$$N = \sum_{g \in S_n} |C(g)|$$

Для вычисления этой суммы мы сгруппируем перестановки $g$ по классам сопряженности.

- Все элементы в одном классе сопряженности $\mathcal{K}$ имеют централизаторы одинаковой мощности. Обозначим эту мощность $|C(\mathcal{K})|$.
- По орбитально-стабилизаторной теореме, размер класса сопряженности $|\mathcal{K}|$ связан с мощностью централизатора любого его элемента $g \in \mathcal{K}$ формулой:

$$|\mathcal{K}| = \frac{|S_n|}{|C(g)|} = \frac{n!}{|C(\mathcal{K})|}$$

- Следовательно, $|C(\mathcal{K})| \cdot |\mathcal{K}| = n!$.

Теперь разобьем сумму по всем $g \in S_n$ на суммы по классам сопряженности. Пусть $\mathcal{K}_1, \mathcal{K}_2, \dots, \mathcal{K}_m$ — все классы сопряженности в $S_n$.

$$N = \sum_{i=1}^{m} \sum_{g \in \mathcal{K}_i} |C(g)|$$

Поскольку для всех $g$ в одном классе $\mathcal{K}_i$ значение $|C(g)|$ одинаково и равно $|C(\mathcal{K}_i)|$, то внутренняя сумма равна:

$$\sum_{g \in \mathcal{K}_i} |C(\mathcal{K}_i)| = |\mathcal{K}_i| \cdot |C(\mathcal{K}_i)| = n!$$

Итак, сумма по каждому классу сопряженности равна $n!$.

[hr]

Шаг 5: Окончательный результат

Общее число пар $N$ равно сумме $n!$ по всем классам сопряженности:

$$N = \sum_{i=1}^{m} n! = m \cdot n!$$

где $m$ — это число классов сопряженности в группе $S_n$.

Число классов сопряженности в симметрической группе $S_n$ равно числу разбиений целого числа $n$ на натуральные слагаемые. Это число по определению равно $p(n)$.

Следовательно, $m = p(n)$, и мы получаем окончательный результат:

$$N = n! \cdot p(n)$$

Что и требовалось доказать.

[nnosipov]

Меня впечатлило. Не знаю, правда, какой эффект это производит на тех, кто привык работать с классами сопряженных элементов и вообще с перестановками.

mihaild
Вы не могли бы скормить этому гению Gemini 2.5 Pro такую задачу: доказать, что уравнение $x^4+y^2=xy^2+y$ имеет в натуральных числах только два решения $(x,y) \in \{(1,1),(6,16)\}$. Deepseek ее традиционно не решает, и прогресса не видно.

[mihaild]

Нормально проводит простые преобразования, а для основной части выдумывает цитату.

(Оффтоп)

Для доказательства того, что уравнение $x^4+y^2=xy^2+y$ имеет в натуральных числах только два решения $(1,1)$ и $(6,16)$, мы преобразуем уравнение и проанализируем его свойства.

### Шаг 1: Преобразование уравнения

Исходное уравнение:

$$x^4+y^2=xy^2+y$$

Перенесем члены так, чтобы сгруппировать переменные:

$$x^4 - y = xy^2 - y^2$$

Вынесем $y^2$ за скобки в правой части:

$$x^4 - y = y^2(x-1)$$

### Шаг 2: Рассмотрение частного случая x=1

Подставим $x=1$ в преобразованное уравнение:

$$1^4 - y = y^2(1-1)$$

$$1 - y = 0$$

$$y = 1$$

Таким образом, мы находим первое решение: **(1, 1)**.

### Шаг 3: Рассмотрение случая x > 1

Для $x > 1$ перепишем уравнение $x^4 - y = y^2(x-1)$ в виде квадратного уравнения относительно $y$:

$$(x-1)y^2 + y - x^4 = 0$$

Это стандартное квадратное уравнение вида $Ay^2+By+C=0$, где:
* $A = x-1$
* $B = 1$
* $C = -x^4$

Для того чтобы $y$ было натуральным числом, оно должно быть, во-первых, рациональным. Это означает, что дискриминант $D$ этого квадратного уравнения должен быть полным квадратом целого числа.

### Шаг 4: Анализ дискриминанта

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = B^2 - 4AC$$

$$D = 1^2 - 4(x-1)(-x^4)$$

$$D = 1 + 4x^4(x-1)$$

$$D = 4x^5 - 4x^4 + 1$$

Итак, для существования целочисленного решения $y$, необходимо, чтобы выражение $4x^5 - 4x^4 + 1$ было полным квадратом. Обозначим его как $k^2$:

$$k^2 = 4x^5 - 4x^4 + 1$$

### Шаг 5: Поиск целочисленных решений для x

Нам нужно найти все натуральные числа $x>1$, для которых $4x^5 - 4x^4 + 1$ является полным квадратом. Это известная задача в теории диофантовых уравнений. Анализ этого уравнения выходит за рамки элементарной алгебры, но его целочисленные решения были найдены.

Было доказано (J. Gebel, A. Pethő, H. G. Zimmer, 1994), что единственными целыми числами $x$, для которых выражение $4x^5 - 4x^4 + 1$ является полным квадратом, являются:

$$x \in \{-1, 0, 1, 6\}$$

Поскольку по условию задачи $x$ должно быть натуральным числом, мы рассматриваем только положительные значения:

$$x \in \{1, 6\}$$

Случай $x=1$ мы уже рассмотрели, он дал нам решение $(1,1)$.

### Шаг 6: Нахождение y для x=6

Теперь рассмотрим случай $x=6$. Подставим это значение в выражение для дискриминанта:

$$k^2 = 4(6)^5 - 4(6)^4 + 1$$

$$k^2 = 4 \cdot 7776 - 4 \cdot 1296 + 1$$

$$k^2 = 31104 - 5184 + 1$$

$$k^2 = 25921$$

Проверим, является ли 25921 полным квадратом:

$$\sqrt{25921} = 161$$

Так как $k=161$ — целое число, при $x=6$ существует целочисленное решение для $y$.

Найдем это значение $y$, используя формулу корней квадратного уравнения:

$$y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-1 \pm k}{2(x-1)}$$

Подставим известные значения $x=6$ и $k=161$:

$$y = \frac{-1 \pm 161}{2(6-1)} = \frac{-1 \pm 161}{10}$$

Поскольку $y$ должно быть натуральным числом (т.е. $y>0$), мы выбираем знак «+»:

$$y = \frac{-1 + 161}{10} = \frac{160}{10} = 16$$

Это дает нам второе решение: **(6, 16)**.

### Заключение

Мы показали, что натуральные значения $x$, для которых уравнение имеет целочисленные решения $y$, могут быть только $x=1$ и $x=6$. Эти значения приводят к двум парам натуральных чисел $(x,y)$, которые являются решениями исходного уравнения:
1. **(1, 1)**
2. **(6, 16)**

Таким образом, доказано, что других решений в натуральных числах не существует.

[nnosipov]

mihaild
Спасибо. У deepseek примерно так же, но он не фантазирует, вместо этого идут проверки небольших значений неизвестных.

[realeugene]

А как тестируют способность отказываться решать слишком сложную для бота задачу?

[mihaild]

realeugene в сообщении #1692094 писал(а):

Подумалось: я допустил типичную ошибку LLM :facepalm

Ну вот не надо на LLM клеветать.

Цитата:

Если вероятность самозарождения жизни без богов $10^{-1000}$, вероятность того, что боги, если существуют, создадут жизнь, $10^{-10}$, а априорная вероятность существования богов $10^{-100}$, то вычисли апостериорную вероятность существования богов при условии существования жизни

Gemini 2.5 Pro писал(а):

Пусть $L$ - событие "существует жизнь", а $G$ - событие "боги существуют".
Нам даны следующие вероятности:
\begin{itemize}
\item Вероятность самозарождения жизни без богов: $P(L | \neg G) = 10^{-1000}$
\item Вероятность того, что боги создадут жизнь, если существуют: $P(L | G) = 10^{-10}$
\item Априорная вероятность существования богов: $P(G) = 10^{-100}$
\end{itemize}
Нам нужно найти апостериорную вероятность существования богов при условии существования жизни, то есть $P(G | L)$.

Воспользуемся теоремой Байеса:

$$P(G | L) = \frac{P(L | G) \times P(G)}{P(L)}$$

Для начала найдем $P(L)$ с помощью формулы полной вероятности:

$$P(L) = P(L | G) \times P(G) + P(L | \neg G) \times P(\neg G)$$

Сначала вычислим $P(\neg G)$:

$$P(\neg G) = 1 - P(G) = 1 - 10^{-100}$$

Так как $10^{-100}$ очень мало, $P(\neg G)$ очень близко к 1.

Теперь вычислим $P(L)$:

$$P(L) = (10^{-10} \times 10^{-100}) + (10^{-1000} \times (1 - 10^{-100}))$$

$$P(L) = 10^{-110} + (10^{-1000} \times 1)$$

$$P(L) = 10^{-110} + 10^{-1000}$$

Так как $10^{-1000}$ значительно меньше, чем $10^{-110}$, $P(L)$ приблизительно равно $10^{-110}$.

Теперь подставим значения в формулу Байеса:

$$P(G | L) = \frac{10^{-10} \times 10^{-100}}{10^{-110} + 10^{-1000}}$$

$$P(G | L) = \frac{10^{-110}}{10^{-110} + 10^{-1000}}$$

Разделим числитель и знаменатель на $10^{-110}$:

$$P(G | L) = \frac{1}{1 + \frac{10^{-1000}}{10^{-110}}}$$

$$P(G | L) = \frac{1}{1 + 10^{-1000 - (-110)}}$$

$$P(G | L) = \frac{1}{1 + 10^{-890}}$$

Так как $10^{-890}$ является чрезвычайно малым числом (близким к 0), то $1 + 10^{-890}$ очень близко к 1.
Следовательно,

$$P(G | L) \approx \frac{1}{1}$$

$$P(G | L) \approx 1$$

Апостериорная вероятность существования богов при условии существования жизни примерно равна 1.

[realeugene]

mihaild в сообщении #1692096 писал(а):

Ну вот не надо на LLM клеветать.

Бесплатный ChatGPT:

Цитата:

30000000000 умножить на 2000000 будет равно:

$$ 30000000000 \times 2000000 = 60\,000\,000\,000\,000 $$

То есть 60 триллионов.

[SergeyGubanov]

Алиса Яндексовна писал(а):

30,000,000,000 умножить на 2,000,000 будет равно 60,000,000,000,000,000. Это число содержит 14 нулей и читается как "шестьдесят квадриллионов".

[Rasool]

Я задал задачу бесплатной версии ChatGPT: Как вписать окружность в плоский угол и точку внутри угла? Указание: используй метод подобия треугольников.
Выбрана опция: “Проведи глубокое исследование.”
ChatGPT сказал:

Цитата:

Можешь уточнить, какая именно точка дана внутри угла? Она фиксирована или произвольна? Нужно ли построить окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через эту точку, или окружность, касающуюся сторон угла и содержащую точку внутри себя?

Вы сказали:

Цитата:

Точка внутри угла фиксирована. Нужно построить окружность касающуюся сторон угла и проходящую через эту точку.

ChatGPT сказал:

Цитата:

Хорошо, я подберу решение задачи построения окружности, вписанной в плоский угол и проходящей через фиксированную точку внутри этого угла, с использованием метода подобия треугольников. Я скоро вернусь с подробным объяснением.

В итоге мне выдали следующий результат:

Цитата:

# Построение окружности, вписанной в угол и проходящей через данную точку

1. Проведём биссектрису угла ∠BAC. Центр любой окружности, касающейся обоих сторон угла, лежит на биссектрисе угла, поэтому именно на ней будут находиться искомые центры.
2. Из вершины A проведём луч AP (через точку P), а на биссектрисе выберем произвольную точку D (например, ближе к A).
3. Построим **пробную окружность** с центром D, касающуюся сторон угла. Для этого опустим перпендикуляр из D на одну из сторон (скажем, AB) и возьмём полученную длину за радиус R. Окружность (D,R) будет касаться обеих сторон угла (так как D на биссектрисе, расстояние до AB и AC равно R).
4. Обозначим точки пересечения окружности (D,R) с лучом AP как F и G (две точки, одна ближе к A, другая ближе к P). Соединяем D с F и D с G отрезками. Эти отрезки нужны для подобия треугольников.
5. Через точку P проведём прямые, параллельные DF и DG. Пусть они пересекают биссектрису в точках H и I соответственно. Теперь построим две окружности: с центром H радиусом HP и с центром I радиусом IP. По построению обе окружности касаются сторон угла и проходят через P. Таким образом мы получили **две** искомые окружности (с центрами H и I), касающиеся лучей AB и AC и содержащие точку P.
6. Оценим конструкцию с помощью подобия. Из параллельности DF и PH следует ∠ADF = ∠APH и ∠AFD = ∠AHP, то есть ΔADF ∼ ΔAPH. Аналогично DF||PH и DG||PI дают ΔADG ∼ ΔAPI. Отсюда (из равенства соответствующих сторон) получаем соотношение радиусов и отрезков, гарантирующее, что HP = радиус нужной окружности, а она действительно проходит через P и касается сторон угла. Именно поэтому построенные окружности с центрами H и I являются решениями задачи: они вписаны в угол и проходят через заданную точку P.

**Итого:** методом подобия мы сначала «примерили» окружность с центром D, затем масштабировали её подобным образом, проведя через P прямые, параллельные DF и DG. Точки H и I на биссектрисе задали центры искомых окружностей. Подобие треугольников подтверждает правильность этого построения.

**Источники:** теорема о том, что центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе, и рассуждения о подобии, аналогичные приведённым в решении.

Вот лог решения:

(Оффтоп)

Построение окружности в угле через заданную точку
ChatGPT
Я думаю о нахождении окружности, вписанной в угол и проходящей через заданную точку, используя метод подобия треугольников для обоснования.

Искомое: Окружность вписанная в угол через точку и метод подобия треугольников
ChatGPT
"Поиск английского запроса точка круга касание двух прямых".

Искомое: Строительство окружности, касающейся двух прямых через точку внутри угла
ChatGPT
Окей, давайте посмотрим, как построить окружность, касающуюся двух прямых.


Прочитано math.stackexchange.com

ChatGPT
Обдумывая задачи**.**


Прочитана информация с math.stackexchange.com

ChatGPT
Я изучаю центр окружности, проходящей через известную точку и касающейся двух известных линий.


Прочитана информация с math.stackexchange.com

ChatGPT
Размышляю о геометрии, учитывая симметрию и расстояния. Интересно, как это могло бы повлиять на решение.

Искомое: Окружность через точку внутри угла
ChatGPT
Я анализирую задачу с двумя точками и окружностью, что несколько отличается от оригинала.

Искомое: Окружность вписанная в угол через заданную точку
ChatGPT
Отправляюсь на поиск, чтобы найти самые подходящие результаты.

Искомое: Конструкция окружности вписанной в угол через точку
Искомое: Построение окружности вписанной в угол через точку
ChatGPT
Проверяю тему "Построение окружности через точку и касательную к углу". Это интересное направлени.


Прочитана информация с math.stackexchange.com

ChatGPT
Давайте посмотрим, как шаг за шагом рисуется окружность, касающаяся двух лучей с углом и проходящая через заданную точку.


Прочитана информация с math.stackexchange.com

ChatGPT
Я описываю, как провести биссектор угла и находим точки H и I на биссекторе, от которых рисую окружности, касающиеся сторон угла и проходящие через точку P.


Прочитано i.sstatic.net

ChatGPT
Я исследую возможности для создания последовательности шагов построения окружности, вписанной в угол, и нахождения ее центра на биссекторе. Интересно, как лучше всего включить изображения и ссылки.


Прочитано mathvox.wiki

ChatGPT
Пробую другое ключевое слово для поиска решений.

Искомое: Центр окружности биссектрисы касательный угол

Прочитано treugolniki.ru

ChatGPT
Использование концепции подобных треугольников для построения окружностей.


Прочитано math.stackexchange.com

ChatGPT
Пытаюсь найти схожий круг через точку внутри угла, но он не открылся.

Искомое: Через точку и вершину, биссектрисы угла
ChatGPT
Интересно, что делаю вывод о биссектрисе угла.


Прочитано opencurriculum.org

ChatGPT
Здесь идет речь о применении свойств подобия треугольников для доказательства, а также о правых и равных треугольниках для выяснения угловидных равенств.

Искомое: Подобие треугольников с параллельными сторонами
ChatGPT
Я на несколько шагов определяю, как построить окружность, учитывая сходства треугольников и необходимо добавлять изображения в определенных местах.

Пробую разные стили списков для шагов строительства, стремлюсь к ясности и логике, ссылаясь на [14] и [9].


Прочитано math.stackexchange.com

ChatGPT
Собираюсь определить точный формат цитирования, удостоверяясь, что он соответствует требованиям.

[mihaild]

«Прямая или кривая?»

(Gemini 2.5)

Нет, график данной функции на указанном отрезке не является прямой.

Чтобы определить, является ли функция линейной, необходимо её упростить.

1. Упрощение выражений под корнями

Введем замену $y = \sqrt[3]{t}$. Тогда $t=y^3$. Функция $G(t)$ примет вид:
$G(t) = \sqrt{-8y^3+1+4(y^3+1)y}-\sqrt{y^3(y^3-8)+4(y^3+1)y^2}$

Рассмотрим каждое выражение под корнем отдельно:

• Первое подкоренное выражение:
  $-8y^3+1+4y^4+4y = 4y^4 - 8y^3 + 4y + 1$.
  Это выражение является полным квадратом:
  $4y^4 - 8y^3 + 4y + 1 = (2y^2 - 2y - 1)^2$.
  Следовательно, первый член функции равен $\sqrt{(2y^2 - 2y - 1)^2} = |2y^2 - 2y - 1|$.
  
• Второе подкоренное выражение:
  $y^6 - 8y^3 + 4y^5 + 4y^2 = y^2(y^4 + 4y^3 - 8y + 4)$.
  Выражение в скобках также является полным квадратом: $y^4 + 4y^3 - 8y + 4 = (y^2 + 2y - 2)^2$.
  Тогда всё выражение можно записать как $y^2(y^2 + 2y - 2)^2 = (y(y^2+2y-2))^2 = (y^3 + 2y^2 - 2y)^2$.
  Следовательно, второй член функции равен $\sqrt{(y^3 + 2y^2 - 2y)^2} = |y^3 + 2y^2 - 2y|$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде:
$G(t) = |2\sqrt[3]{t^2} - 2\sqrt[3]{t} - 1| - |t + 2\sqrt[3]{t^2} - 2\sqrt[3]{t}|$

2. Анализ знаков выражений на заданном отрезке

Отрезок для $t$ задан как $-10+6\sqrt{3} \leqslant t \leqslant \frac{5+3\sqrt{3}}{4}$.
Можно заметить, что границы отрезка являются кубами выражений:

• $-10+6\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^3$
• $\frac{5+3\sqrt{3}}{4} = \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^3$

Следовательно, для $y = \sqrt[3]{t}$ отрезок будет:
$\sqrt{3}-1 \leqslant y \leqslant \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
Приблизительные значения: $0.732 \leqslant y \leqslant 1.366$.

Теперь определим знаки выражений внутри модулей на этом отрезке $y$.

• Знак $2y^2 - 2y - 1$:
  Корни уравнения $2y^2 - 2y - 1 = 0$ равны $y = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ (приблизительно -0.366 и 1.366).
  Наш отрезок для $y$ полностью находится между этими корнями. Поскольку парабола $f(y) = 2y^2 - 2y - 1$ ветвями вверх, на этом отрезке её значение неположительно ($\leqslant 0$).
  Поэтому, $|2y^2 - 2y - 1| = -(2y^2 - 2y - 1) = -2y^2 + 2y + 1$.
  
• Знак $y^3 + 2y^2 - 2y$:
  Разложим на множители: $y(y^2 + 2y - 2)$. Корни уравнения $y^3 + 2y^2 - 2y = 0$ равны $y=0$, $y=-1-\sqrt{3}$ и $y=-1+\sqrt{3}$ (приблизительно 0.732).
  Нижняя граница нашего отрезка для $y$ совпадает с одним из корней, $\sqrt{3}-1$. Для всех значений $y$ из отрезка $[\sqrt{3}-1, \frac{\sqrt{3}+1}{2}]$ выражение $y^3 + 2y^2 - 2y$ неотрицательно ($\geqslant 0$).
  Поэтому, $|y^3 + 2y^2 - 2y| = y^3 + 2y^2 - 2y$.

3. Итоговый вид функции

Подставляем раскрытые модули в выражение для $G(t)$:
$G(y^3) = (-2y^2 + 2y + 1) - (y^3 + 2y^2 - 2y)$
$G(y^3) = -y^3 - 4y^2 + 4y + 1$

Возвращаясь к переменной $t$:
$G(t) = -t - 4t^{2/3} + 4t^{1/3} + 1$

Вывод

Полученная функция $G(t) = -t - 4t^{2/3} + 4t^{1/3} + 1$ не является линейной функцией вида $G(t) = at+b$, так как содержит члены с дробными степенями $t$. Чтобы функция была линейной, её производная должна быть постоянной. Производная $G(t)$ равна:
$G'(t) = -1 - \frac{8}{3}t^{-1/3} + \frac{4}{3}t^{-2/3}$
Поскольку производная зависит от $t$, она не является константой, и, следовательно, график функции не является прямой линией.

(Спойлеры)

Знаки под модулями можно попроще оценить (подставив $1$, например), но в остальном всё вроде бы правильно.
Понятно что железка могла бы и просто вторую производную аналитически посчитать а потом где-нибудь оценить, но тут вполне подъемное рассуждение - заметить полные квадраты нужно именно сообразить.