Прямая или кривая?

[nnosipov]

График функции

$$G(t)=\sqrt{-8t+1+4(t+1)\sqrt[3]{t}}-\sqrt{t(t-8)+4(t+1)\sqrt[3]{t^2}}$$

на отрезке $-10+6\sqrt{3} \leqslant t \leqslant (5+3\sqrt{3})/4$ выглядит так (см. картинку). Это действительно прямая?

[waxtep]

Нет, не прямая. Видим, что $G(0)=1,G(1)=0$, и хотелось бы (в случае прямой) иметь $G(8)=-7$, но оно на самом деле $-9$.
Я сначала более мутным путем пошёл, заметив, что $G(t)/\sqrt t=g(t)-g(1/t)$ для некоторой функции $g$, но там как-то не пошлО

[mihaild]

waxtep
Вот только про $0$ и $8$ нас не спрашивали, они вне заданного интервала.
А функция с корнями может быть прямой на одном отрезке, но не везде. Элементарно $\sqrt{x^2}$.

[nnosipov]

A Gemini молодец. Да и deepseek тоже.

Между прочим, на указанном отрезке отличие функции $G(t)$ от хорды $L(t)$ всюду по абсолютной величине меньше, чем $0{,}02025$.

[waxtep]

А, прикольно, под корнями-то полные квадраты

$$G(t)=|2a^2-2a-1|-|a^3+2a^2-2a|,a\equiv\sqrt[3]t$$

Подсмотрел в вольфраме

[waxtep]

Магия какая-то. $G(t)$ действительно является честной прямой $-t-1$ на других участках (и чем-то ещё на каких-то ещё участках), а на указанном она вовсе $1+4\sqrt[3]t-4\sqrt[3]{t^2}-t$, но удивительным образом похожа на $\approx-2.25(t-1)$.
Но как, Холмс?!