Шарик в лифте (ОТО)

[chislo_avogadro]

realeugene в сообщении #1682809 писал(а):

Geen в сообщении #1682764 писал(а):

Увы, я не умею без метрики.

$$ds^2 = \left(1+\frac 2 {c^2} \varphi(z)\right)c^2dt^2 - \left(1-\frac 2 {c^2} \varphi(z)\right)\left(dx^2+dy^2+dz^2\right)$$

см. ЛЛ2 (106,3)

Если есть сомнения в применимости этой линеаризованной метрики, можно рассмотреть метрику Шварцшильда при $r = c \sqrt {\frac {r_s} {2 g}}$, устремив радиус Шварцшильда в бесконечность.

UPD: А не получится, так как $r$ уйдёт под радиус Шварцшильда.

Из метрики Шварцшильда это выражение получено в §100, задача 4. Там вводятся "изотропные" координаты и затем делается переход к слабому полю.

realeugene в сообщении #1683223 писал(а):

epros в сообщении #1683215 писал(а):

Вертикальные силы в составе силы тяжести и реакции пола всё время остаются скомпенсированными, горизонтальных сил нет. Поэтому скорость шарика относительно пола не изменится.

Это верно, но при условии, что горизонтальный импульс брошенного с крыши кирпича сохраняется.

Непонятно, какая причина может привести к изменению горизонтального импульса, если не имеет горизонтальной составляющей. Сила рассмотрена в §88, задача 1. От скорости зависит лишь квадратично.

Впрочем, Окунь в своей статье о массе даёт другую формулу для силы. Но её вывода там нет.

[epros]

realeugene в сообщении #1683729 писал(а):

Смотрите на метрику выше.

Выше была речь об однородном гравитационном поле. Это метрика Риндлера. А то, что Вы привели, однородным гравитационным полем не является.

realeugene в сообщении #1683729 писал(а):

Кстати, эти поправки к координатным компонентам метрики важны, чтобы сохранялся горизонтальный импульс шарика.

Это какой-то абсурд. Компоненты метрики показывают связь интервалов с координатами, а импульс сохраняется тогда, когда нет сил. Это абсолютно перпендикулярные вещи.

realeugene в сообщении #1683729 писал(а):

epros в сообщении #1683720 писал(а):

А в чём был этот вопрос?

Не просто ли это дефект зрения наблюдателя?

Какое это имет отношение к "физичности" замедления времени? Чем "дефект зрения" нефизичен? Вообще, это какая-то философия пошла.

realeugene в сообщении #1683752 писал(а):

Эта метрика отличается от метрики Риндлера тем, что метрика Риндлера возникает просто в ускоренной системе отсчёта и не содержит поправок у пространственных компонент, а эта с гравитационным потенциалом у пространственных компонент строится суперпозицией по всем тяготеющим массам линеаризованной шварцшильдовой метрики и, поэтому, она является реальной стационарной метрикой вокруг гравитирующих тел в ньютоновском пределе.

Метрика Риндлера соответствует вполне "реальному" полю тяготения бесконечной плоскости.

[realeugene]

epros в сообщении #1684142 писал(а):

А то, что Вы привели, однородным гравитационным полем не является.

Является. Именно однородным гравитационным полем, сформированным гравитирующими телами, а не преобразованием координат.

-- 28.04.2025, 13:00 --

epros в сообщении #1684142 писал(а):

а импульс сохраняется тогда, когда нет сил.

И когда есть определённые симметрии.

-- 28.04.2025, 13:01 --

epros в сообщении #1684142 писал(а):

Какое это имет отношение к "физичности" замедления времени? Чем "дефект зрения" нефизичен? Вообще, это какая-то философия пошла.

Я перестал понимать вашу терминологию. Что такое по-вашему "дефект зрения наблюдателя" и как должно выглядеть "бездефектное зрение"?

-- 28.04.2025, 13:05 --

epros в сообщении #1684142 писал(а):

Метрика Риндлера соответствует вполне "реальному" полю тяготения бесконечной плоскости.

У которой масса внутри выбранной сферы с центром на плоскости пропорциональна квадрату радиуса этой сферы, а значит, гравитационный радиус для такой плоскости, также, бесконечен?

[DimaM]

realeugene в сообщении #1684143 писал(а):

У которой масса внутри выбранной сферы с центром на плоскости пропорциональна квадрату радиуса этой сферы, а значит, гравитационный радиус для такой плоскости, также, бесконечен?

В классике, помнится, однородное поле получается в сферической полости внутри однородного шара. Если взять шар и полость достаточно большими, там можно построить платформу и сравнить с лифтом.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1684147 писал(а):

В классике, помнится, однородное поле получается в сферической полости внутри однородного шара.

Нет, внутри сферы плоское пространство-время, то есть гравитация нулевая. В задаче рассматривается однородное ускорение свободного падения.

Подозреваю, что можно построить только приближение к однородному полю. Типа катушек Гельмгольца.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1684149 писал(а):

Нет, внутри шара плоское пространство, то есть гравитация нулевая.

Нулевая в концентрической полости. В неконцентрической классика дает как раз однородное ускорение свободного падения (пропорциональное расстоянию между центрами шара и полости).

[realeugene]

DimaM в сообщении #1684150 писал(а):

В неконцентрической классика дает как раз однородное ускорение свободного падения (пропорциональное расстоянию между центрами шара и полости).

Интересно, не знал.

[epros]

realeugene в сообщении #1684143 писал(а):

epros в сообщении #1684142 писал(а):

А то, что Вы привели, однородным гравитационным полем не является.

Является. Именно однородным гравитационным полем, сформированным гравитирующими телами, а не преобразованием координат.

Вы не уважаете принцип эквивалентности. Силы тяготения - и есть нечто, сформированное (или устраняемое) выбором системы отсчёта (ака - преобразованием координат).

realeugene в сообщении #1684149 писал(а):

плоское пространство-время, то есть гравитация нулевая.

Вы повторяете классическую ошибку, уравнивая "гравитацию" и "кривизну пространства-времени". Нет никаких отличий между "истинной гравитацией, образованной тяготеющими телами" и "эффектами преобразования координат". Принцип эквивалентности, однако.

realeugene в сообщении #1684143 писал(а):

epros в сообщении #1684142 писал(а):

Какое это имет отношение к "физичности" замедления времени? Чем "дефект зрения" нефизичен? Вообще, это какая-то философия пошла.

Я перестал понимать вашу терминологию. Что такое по-вашему "дефект зрения наблюдателя" и как должно выглядеть "бездефектное зрение"?

Это я не понимаю Ваших рассуждений про "физичность" замедления времени. Я же говорил, что рассуждая о "замедлении времени", нужно всегда держать в голове ответ на вопрос: "Что с чем и как сравнивается?". Вы предложили сравнить частоты фотона при испускании и при поглощении. Можно это назвать "дефектом зрения", который "нефизичен"?

realeugene в сообщении #1684143 писал(а):

epros в сообщении #1684142 писал(а):

Метрика Риндлера соответствует вполне "реальному" полю тяготения бесконечной плоскости.

У которой масса внутри выбранной сферы с центром на плоскости пропорциональна квадрату радиуса этой сферы, а значит, гравитационный радиус для такой плоскости, также, бесконечен?

Сюрприз: Силы тяготения (то бишь те компоненты связности, которые выражают ускорение свободного падения) связаны не с массовой (т.е. нулевой) компонентой ТЭИ, а с компонентами, выражающими напряжения.

Есть решение для статической тяготеющей плоскости, поверхностная плотность массы которой нулевая.

[realeugene]

epros в сообщении #1684164 писал(а):

Вы не уважаете принцип эквивалентности. Силы тяготения - и есть нечто, сформированное (или устраняемое) выбором системы отсчёта (ака - преобразованием координат).

Только локально.

epros в сообщении #1684164 писал(а):

Вы повторяете классическую ошибку, уравнивая "гравитацию" и "кривизну пространства-времени". Нет никаких отличий между "истинной гравитацией, образованной тяготеющими телами" и "эффектами преобразования координат". Принцип эквивалентности, однако.

Там вообще речь про другое шла.

-- 28.04.2025, 15:10 --

epros в сообщении #1684164 писал(а):

Это я не понимаю Ваших рассуждений про "физичность" замедления времени. Я же говорил, что рассуждая о "замедлении времени", нужно всегда держать в голове ответ на вопрос: "Что с чем и как сравнивается?". Вы предложили сравнить частоты фотона при испускании и при поглощении. Можно это назвать "дефектом зрения", который "нефизичен"?

Почему же, я предложил ещё сравнить и промежуток между сигналами точного времени, приходящими снизу. И свозить бабушкин будильник вниз на первый этаж, подержать его там, вернуть его через некоторое время назад обратно на десятый этаж и посмотреть, на сколько он отстанет от часов с кукушкой, которые всё это время висели на стене. Не только в покраснении фотонов дело, а в том, что внизу время течёт медленнее на самом деле.

-- 28.04.2025, 15:12 --

epros в сообщении #1684164 писал(а):

Есть решение для статической тяготеющей плоскости, поверхностная плотность массы которой нулевая.

То есть ещё более странные решения без ньютоновского предела? Типа тех упоминавшихся в соседней ветке варп-пузырей, о которых многие мечтают, но которые требуют для создания невозможной материи?

Собственно из этого параграфа в ЛЛ2 следует, что какая бы материя ни гравитировала, и как бы они ни была расположена, какой гравитационный потенциал будет в ньютоновском пределе стоять в нулевой компоненте, такой же будет стоять и в других компонентах метрики. Но в первом приближении на движение влияет только нулевой компонент метрики, а остальные компоненты несущественны.

[epros]

realeugene в сообщении #1684169 писал(а):

epros в сообщении #1684164 писал(а):

Вы не уважаете принцип эквивалентности. Силы тяготения - и есть нечто, сформированное (или устраняемое) выбором системы отсчёта (ака - преобразованием координат).

Только локально.

Силы тяготения и есть локальные.

realeugene в сообщении #1684169 писал(а):

Почему же, я предложил ещё сравнить и промежуток между сигналами точного времени, приходящими снизу.

Для этого нужно определить способ синхронизации. Кстати, синхронизация перетаскиванием бабушкиного будильника плоха тем, что не сказано, как именно он будет перетаскиваться.

realeugene в сообщении #1684169 писал(а):

Не только в покраснении фотонов дело, а в том, что внизу время течёт медленнее на самом деле.

Сколько ни ссылайся на это "самое дело", а пока не определено о чём речь, и непонятно будет о чём речь.

realeugene в сообщении #1684169 писал(а):

То есть ещё более странные решения без ньютоновского предела?

В чём Вам нужен ньютоновский предел? Вот есть решение для массивной сферы массы $M$, снаружи оно Шварцшильд, внутри - Минковский. Если мы находимся от центра этой сферы достаточно далеко (много дальше гравитационого радиуса), то формула для силы тяготения в пределе обращается в ньютоновское "масса делить на квадрат расстояния". Это оно?

Так возьмите сферу офигенно большого радиуса и её сегмент будет почти плоскостью с почти нулевой поверхностной плотностью массы. Компоненты кривизны пространства-времени будут исчезающе малы (т.е. почти Минковский) при конечном ускорении свободного падения около этой поверхности, ибо они (компоненты кривизны) имеют более высокий порядок малости в этом "ньютоновском" пределе. Мехнические напряжения в поверхности, однако, исчезающе малыми не станут, ибо они прямо связаны со скачком силы тяготения при переходе через эту поверхность.

realeugene в сообщении #1684169 писал(а):

Собственно из этого параграфа в ЛЛ2 следует, что какая бы материя ни гравитировала, и как бы они ни была расположена, какой гравитационный потенциал будет в ньютоновском пределе стоять в нулевой компоненте, такой же будет стоять и в других компонентах метрики.

Не понимаю о чём Вы. В компонентах метрики может стоять что угодно и это зависит от выбора координат.

[realeugene]

epros в сообщении #1684182 писал(а):

Силы тяготения и есть локальные.

Обсуждаемый гравитационный потенциал глобален.

-- 28.04.2025, 16:48 --

epros в сообщении #1684182 писал(а):

Для этого нужно определить способ синхронизации. Кстати, синхронизация перетаскиванием бабушкиного будильника плоха тем, что не сказано, как именно он будет перетаскиваться.

Ставим рядом и записываем куда показывают стрелки.

Традиционно перетаскивают мед-лен-но, но как перетаскивать вообще не важно, если перетаскивать всегда одинаково, но оставлять на разное время внизу неподвижным. Тогда можно посмотреть на приращения времени вверху и внизу несмотря на эффекты изменения скорости хода движущихся часов.

-- 28.04.2025, 16:52 --

epros в сообщении #1684182 писал(а):

Так возьмите сферу офигенно большого радиуса и её сегмент будет почти плоскостью с почти нулевой поверхностной плотностью массы.

И расходимость ускорения свободного падения из-за направленности его к центру шара и гравитационный потенциал уменьшаются обратно попорционально $R$, поэтому, расходимость радиусов забъёт сходимость стенок из-за изменения гравитационного потенциала. А если начать увеличивать массу, наша сфера в конце концов уйдёт под гравитационный радиус.

-- 28.04.2025, 16:54 --

epros в сообщении #1684182 писал(а):

Не понимаю о чём Вы. В компонентах метрики может стоять что угодно и это зависит от выбора координат.

Гравитирующая метрика с гравитационным потенциалом внутри - малая поправка к метрике Лоренца в ортогональных координатах. На бесконечности вдали от тяготеющих тел поправка нулевая.

[epros]

realeugene в сообщении #1684185 писал(а):

epros в сообщении #1684182 писал(а):

Силы тяготения и есть локальные.

Обсуждаемый гравитационный потенциал глобален.

Не понимаю о чём Вы. Гравитационный потенциал - это либо из Ньютоновской теории тяготения, либо из статического решения ОТО. В последнем случае он выражается через нулевую компоненту метрики. Ускорение свободного падения в таком случае рассчитывается как пространственный градиент потенциала. Что у Вас не локально?

realeugene в сообщении #1684185 писал(а):

Традиционно перетаскивают мед-лен-но, но как перетаскивать вообще не важно, если перетаскивать всегда одинаково, но оставлять на разное время внизу неподвижным. Тогда можно посмотреть на приращения времени вверху и внизу несмотря на эффекты изменения скорости хода движущихся часов.

При медленном перетаскивании вообще непонятно, время в каком месте Вы в итоге измерили. Не мучились бы уж, а прямо сказали, что одновременность определяется Эйнштейновской синхронизацией. Или что Вы просто смотрите на показания удалённых часов в тот момент, когда свет от них дойдёт до Вас. Главное, понимать, что всё это синхронизация, а не "на самом деле сейчас там такое время".

realeugene в сообщении #1684185 писал(а):

epros в сообщении #1684182 писал(а):

Так возьмите сферу офигенно большого радиуса и её сегмент будет почти плоскостью с почти нулевой поверхностной плотностью массы.

И расходимость ускорения свободного падения из-за направленности его к центру шара и гравитационный потенциал уменьшаются обратно попорционально $R$, поэтому, расходимость радиусов забъёт сходимость стенок из-за изменения гравитационного потенциала. А если начать увеличивать массу, наша сфера в конце концов уйдёт под гравитационный радиус.

Что-то я ничего у Вас не могу понять. Я Вам говорю, что есть решение со статической тяготеющей плоскостью, в котором метрика - Риндлеровская. Это и есть желаемая Вами однородная гравитация. Но если Вам не нравится, то можете взять очень большую сферическую массу и уйти от её центра очень далеко. И метрика там будет почти Риндлеровская, потому что Шварцшильд в бесконечности - это почти Минковский. Никаких градиентов в горизонтальных направлениях там не будет.

realeugene в сообщении #1684185 писал(а):

Гравитирующая метрика с гравитационным потенциалом внутри - малая поправка к метрике Лоренца в ортогональных координатах. На бесконечности вдали от тяготеющих тел поправка нулевая.

Какая малая поправка? Ускорение свободного падения не мало, т.е. вертикальный градиент нулевой компоненты метрики не мал. Проходимое лифтом вертикальное расстояние не мало, значит и изменение нулевой компоненты метрики не мало. Это не малая поправка к Лоренцу.

[realeugene]

epros в сообщении #1684194 писал(а):

либо из статического решения ОТО.

Гравитационный потенциал - это результат нерелятивистского предела решений ОТО. Его в ОТО получают отождествлением ньютоновского гравитационного потенциала с поправкой к $g_{00}$. Всё почти плоское, есть только небольшие линейные поправки. На бесконечности поправки обнуляются.

epros в сообщении #1684194 писал(а):

При медленном перетаскивании вообще непонятно, время в каком месте Вы в итоге измерили. Не мучились бы уж, а прямо сказали, что одновременность определяется Эйнштейновской синхронизацией. Или что Вы просто смотрите на показания удалённых часов в тот момент, когда свет от них дойдёт до Вас. Главное, понимать, что всё это синхронизация, а не "на самом деле сейчас там такое время".

При медленном перетаскивании будет интегральное замедление вдоль пути. И что?

Нет, важна не синхронизация "в данный момент внизу происходит то-то и то-то", что довольно бессмысленно, важно, что внизу приращение собственного времени покоящегося тела за один и тот же промежуток глобального времени меньше, чем вверху. И не надо придираться к "глобальному времени", если у нас есть гравитационный потенциал - в той же модели есть и глобальное время. Для всех разумных процедур сравнения это замедление окажется одинаковым.

epros в сообщении #1684194 писал(а):

Я Вам говорю, что есть решение со статической тяготеющей плоскостью, в котором метрика - Риндлеровская. Это и есть желаемая Вами однородная гравитация.

Это решение не обнуляется на бесконечности, значит, оно не является "истинным" гравитационным полем (ЛЛ2 параграф 81).

epros в сообщении #1684194 писал(а):

Никаких градиентов в горизонтальных направлениях там не будет.

Там поправки одного порядка по $r^{-1}$ как в расходимости радиусов, так и в гравитационном потенциале у пространственных координат. Позже посчитаю точнее. Но, да, вблизи горизонта событий ЧД пространство тоже вытягивается в трубочку, приводя к меньшей сходимости близких радиусов на один их метр чем в плоском пространстве.

epros в сообщении #1684194 писал(а):

Это не малая поправка к Лоренцу.

В поправке к метрике гравитационный потенциал делится на $c^2$. То есть вблизи Земли поправка порядка $10^{-16}$ на метр в дополнение к единице в метрике Лоренца. Вблизи поверхности Земли $g_{00}=1-1.6\cdot 10^{-9}$.

epros в сообщении #1684194 писал(а):

т.е. вертикальный градиент нулевой компоненты метрики не мал.

Вертикальный компонент градиента метрики ещё же на половину квадрата скорости света умножается, чтобы получить ускорение свободного падения в привычных единицах.

PS Очень странно, что мне приходится рассказывать вам про величину поправки.

[epros]

realeugene, Вы какой-то фигнёй занимаетесь, определитесь уже с тем, чего хотите.

realeugene в сообщении #1684204 писал(а):

epros в сообщении #1684194 писал(а):

либо из статического решения ОТО.

Гравитационный потенциал - это результат нерелятивистского предела решений ОТО. Его в ОТО получают отождествлением ньютоновского гравитационного потенциала с поправкой к $g_{00}$. Всё почти плоское, есть только небольшие линейные поправки. На бесконечности поправки обнуляются.

Вообще-то не нужны никакие приближения ни к чему и пределы: В статическом решении гравитационный потенциал точно выражается логарифмом $g_{00}$, а ускорение свободного падения точно выражается пространственным градиентом этого гравитационного потенциала. Но если Вам нравятся приближения, то можете, конечно, вспомнить, что логарифм примерно равен $x-1$.

realeugene в сообщении #1684204 писал(а):

При медленном перетаскивании будет интегральное замедление вдоль пути. И что?

А вот что:

epros в сообщении #1684194 писал(а):

При медленном перетаскивании вообще непонятно, время в каком месте Вы в итоге измерили.

realeugene в сообщении #1684204 писал(а):

важно, что внизу приращение собственного времени покоящегося тела за один и тот же промежуток глобального времени меньше, чем вверху. И не надо придираться к "глобальному времени", если у нас есть гравитационный потенциал - в той же модели есть и глобальное время.

Как же мне не придираться, если Вы непонятно о чём говорите? Вот теперь какое-то "глобальное время" придумали. Это что за модель? И, главное, зачем, если в метрике Риндлера задача решается точно? И ответы на все вопросы про расстояния между вертикальными верёвками и про не изменение горизонтальной скорости шарика после поднятия лифта будут получены правильные, а не основанные на ошибках приближения.

realeugene в сообщении #1684204 писал(а):

epros в сообщении #1684194 писал(а):

Я Вам говорю, что есть решение со статической тяготеющей плоскостью, в котором метрика - Риндлеровская. Это и есть желаемая Вами однородная гравитация.

Это решение не обнуляется на бесконечности, значит, оно не является "истинным" гравитационным полем (ЛЛ2 параграф 81).

Это какие-то странные доводы. Где там у Вас бесконечности? Лифт поднялся на конечную высоту, сила тяготения везде конечна (и не мала). Метрика Риндлера - самая адекватная модель для этой области пространства-времени. Можете считать что лифт изначально стоял на огромном тяготеющем блине. Уверяю Вас, что если блин достаточно огромный (сравнительно с лифтом), то эффекты кривизны пространства-времени становятся пренебрежимыми, т.е. метрика Риндлера - самое то.

Но если Вам не нравится, то можете считать в метрике Шварцшильда. Да, там расстояния между вертикальными верёвками будут снизу меньше, чем сверху, а при движении от центра лифта к стенкам будут появляться горизонтальные силы, направленные в сторону центра лифта. Как я уже говорил, это потому что Земля круглая (а не плоский блин). Но если выбрать вместо Земли гораздо более массивное тяготеющее тело и отлететь от него достаточно далеко (чтобы силы тяготения стали приемлемыми), то все эти эффекты минимизируются и мы приближаемся всё к той же метрике Риндлера.

realeugene в сообщении #1684204 писал(а):

PS Очень странно, что мне приходится рассказывать вам про величину поправки.

Вы просто запутались в своих приближениях, которые непонятно зачем нужны. Довольно глупо из шарообразности Земли выводить глобальный закон о том, что при поднятии лифта в однородном гравитационном поле горизонтальный импульс шарика якобы не сохраняется.

[realeugene]

epros в сообщении #1684294 писал(а):

В статическом решении гравитационный потенциал точно выражается логарифмом $g_{00}$

Про приближение я прочитал в ЛЛ2, а откуда вы взяли определение про "логарифм", можно ознакомиться?

epros в сообщении #1684294 писал(а):

При медленном перетаскивании вообще непонятно, время в каком месте Вы в итоге измерили.

Интегрировать вроде бы мы умеем с детсада чтобы верифицировать модель.

epros в сообщении #1684294 писал(а):

Это что за модель?

Слабого гравитационного поля ЛЛ2 §87.

epros в сообщении #1684294 писал(а):

Уверяю Вас, что если блин достаточно огромный (сравнительно с лифтом), то эффекты кривизны пространства-времени становятся пренебрежимыми, т.е. метрика Риндлера - самое то.

А в том-то и дело, что нет. В любом истинном гравитационном поле гравитационный потенциал при временной и пространстввенных координатах одинаков. И вблизи блина. А в метрике Риндлера пространственные компоненты строго единичны. Эти пространственные компоненты пренебрежимы для динамики людей, потому что люди - тормоза, и пока человек моргнёт, свет пролетает сотню тысяч километров. Но в самой метрике для любого реального слабого гравитационного поля эти поправки по модулю вообще одинаковы.

epros в сообщении #1684294 писал(а):

Но если выбрать вместо Земли гораздо более массивное тяготеющее тело и отлететь от него достаточно далеко (чтобы силы тяготения стали приемлемыми), то все эти эффекты минимизируются и мы приближаемся всё к той же метрике Риндлера.

Нет, если оставлять поправки одного порядка малости и сводить к ортогональным координатам на бесконечности, то к метрике ньютоновского предела из ЛЛ2.

epros в сообщении #1684294 писал(а):

из шарообразности Земли

У меня в этой задаче Земля плоская, шарообразность вы домыслили.