Шарик в лифте (ОТО)

[realeugene]

epros в сообщении #1683209 писал(а):

Результат будет один, если определять скорость как производную перемещения по местному времени, потому что от не местного времени он зависеть не будет.

Вы же про сравнение скорости хода двух разных часов на двух разных этажах комментировали. Там не только местное время.

В общем, пока что это рассуждения на пальцах. Может быть вы правы. Или нет.

[epros]

realeugene, там рассуждения на пальцах в СО пола лифта простые: Вертикальные силы в составе силы тяжести и реакции пола всё время остаются скомпенсированными, горизонтальных сил нет. Поэтому скорость шарика относительно пола не изменится.

[Geen]

realeugene в сообщении #1683211 писал(а):

В общем, пока что это рассуждения на пальцах.

Симметрии ПВ в ОТО точно также порождают законы сохранения как и в "классике".
Так что остаётся только вопрос "сохраняется ли масса"....

[realeugene]

Geen в сообщении #1683220 писал(а):

Симметрии ПВ в ОТО точно также порождают законы сохранения как и в "классике".
Так что остаётся только вопрос "сохраняется ли масса"....

Почему тогда в космологии при расширении пространства тормозятся механические движения?

-- 21.04.2025, 12:10 --

epros в сообщении #1683215 писал(а):

Вертикальные силы в составе силы тяжести и реакции пола всё время остаются скомпенсированными, горизонтальных сил нет. Поэтому скорость шарика относительно пола не изменится.

Это верно, но при условии, что горизонтальный импульс брошенного с крыши кирпича сохраняется. Собственно это уже наверное можно посчитать для данной метрики в лоб, так как кирпич летит по геодезической.

[realeugene]

Хе-хе, а прямой расчёт показывает, что при движении по геодезической в слабом однородном гравитационном поле с написанной ранее метрикой горизонтальный импульс тела всё-таки изменяется с относительной скоростью, пропорциональной ускорению свободного падения умножить на вертикальную скорость. Все остальные компоненты символов Кристоффеля в горизонтальном собственном ускорении нулевые, а $\Gamma^1_{12} = \Gamma^1_{21} \propto \frac {d \varphi} {dz}$, где $x=x^1, z=x^2$. Важно что $g_{11} \ne 1$.

UPD: А может быть и вру: это же координатное ускорение, а нам нужно физическое. Метры тоже разные на разных высотах.

[realeugene]

Да, действительно, горизонтальный импульс шарика относительно пола лифта сохраняется при подъёме лифта. Но при этом внизу время течёт медленнее, и если свесить вертикальные верёвки, внизу будет больше расстояние между ними. Так что если смотреть с высоты десятого этажа, шарик будет на первом этаже двигаться медленнее, но он будет ускоряться по мере подъёма лифта. А ещё и лифтовая шахта будет сжиматься.

[epros]

realeugene в сообщении #1683254 писал(а):

Но при этом внизу время течёт медленнее, и если свесить вертикальные верёвки, внизу будет больше расстояние между ними.

Это такой дефект зрения удалённого наблюдателя? Вообще-то расстояние между вертикальными верёвками внизу будет меньше, потому что Земля круглая

realeugene в сообщении #1683254 писал(а):

шарик будет на первом этаже двигаться медленнее, но он будет ускоряться по мере подъёма лифта. А ещё и лифтовая шахта будет сжиматься.

А это - продолжение дефекта зрения удалённого наблюдателя?

[realeugene]

epros в сообщении #1683349 писал(а):

Это такой дефект зрения удалённого наблюдателя? Вообще-то расстояние между вертикальными верёвками внизу будет меньше, потому что Земля круглая

По условию рассматриваемое гравполе однородное вертикальное. В упомянутой метрике из ЛЛ2 поправка с гравитационным потенциалом сидит в метрике не только во временной, но и во всех пространственных координатах. Так что внизу то же координатное расстояние соответствует большему физическому. Верёвки свисают вдоль вертикальной координаты, так как так направлен градиент гравпотенциала, да и просто всё симметрично. Так что внизу между верёвками такое же координатное, но большее физическое расстояние.

По поводу физичности замедления времени в гравпотенциале, надеюсь, вопросов нет?

[epros]

realeugene в сообщении #1683699 писал(а):

По условию рассматриваемое гравполе однородное вертикальное. В упомянутой метрике из ЛЛ2 поправка с гравитационным потенциалом сидит в метрике не только во временной, но и во всех пространственных координатах. Так что внизу то же координатное расстояние соответствует большему физическому.

Не знаю, где Вы это накопали. Гуглите координаты Риндлера - это как раз про однородное гравитационное поле. Там пространственные компоненты метрики единичные.

realeugene в сообщении #1683699 писал(а):

Верёвки свисают вдоль вертикальной координаты, так как так направлен градиент гравпотенциала, да и просто всё симметрично. Так что внизу между верёвками такое же координатное, но большее физическое расстояние.

Так что независимо от того, что Вы называете "координатным расстоянием", то расстояние, которое измеряется линейками, между верёвками везде будет одинаковым.

realeugene в сообщении #1683699 писал(а):

По поводу физичности замедления времени в гравпотенциале, надеюсь, вопросов нет?

А в чём был этот вопрос?

[realeugene]

epros в сообщении #1683720 писал(а):

Не знаю, где Вы это накопали.

realeugene в сообщении #1682809 писал(а):

$$ds^2 = \left(1+\frac 2 {c^2} \varphi(z)\right)c^2dt^2 - \left(1-\frac 2 {c^2} \varphi(z)\right)\left(dx^2+dy^2+dz^2\right)$$

см. ЛЛ2 (106,3)

epros в сообщении #1683720 писал(а):

Так что независимо от того, что Вы называете "координатным расстоянием", то расстояние, которое измеряется линейками, между верёвками везде будет одинаковым.

Смотрите на метрику выше. Уверен, вы сможете её проинтегрировать между верёвками. Если вам не нравится эта метрика из ЛЛ2 - можете рассказать, почему, готов выслушать.

Кстати, эти поправки к координатным компонентам метрики важны, чтобы сохранялся горизонтальный импульс шарика. Без них горизонтальный импульс шарика сохраняться не будет. У летящего по геодезической шарика есть горизонтальное координатное ускорение, но горизонтальные компоненты 4-ускорения обнуляются, если учесть эти дополнительные поправки к метрике. Выбирайте, что вам милее.

UPD: Впрочем, нужно пересчитать кристоффелей без них сначала.

UPD2: Да, без них горизонтальные кристоффели обнуляются и импульс сохраняется.

epros в сообщении #1683720 писал(а):

А в чём был этот вопрос?

Не просто ли это дефект зрения наблюдателя?

[Geen]

realeugene в сообщении #1683729 писал(а):

можете рассказать, почему, готов выслушать.

Тензор Риччи посчитайте...
И перечитайте начало параграфа.

-- 25.04.2025, 20:11 --

realeugene в сообщении #1683729 писал(а):

Кстати, эти поправки к координатным компонентам метрики важны, чтобы сохранялся горизонтальный импульс шарика.

Нет.

[realeugene]

Geen в сообщении #1683740 писал(а):

Тензор Риччи посчитайте...

Согласно ЛЛ2 это приближение слабого поля без членов высших порядков. Так что строгое равенство нулю не требуется, если оно в старших порядках малости по $\varphi$.

[Geen]

realeugene в сообщении #1683742 писал(а):

Согласно ЛЛ2 это приближение слабого поля без членов высших порядков.

Нет. Перечитайте начало параграфа.

realeugene в сообщении #1683742 писал(а):

Так что строгое равенство нулю не требуется

Вы считали или считаете?

[realeugene]

Geen в сообщении #1683744 писал(а):

Вы считали или считаете?

Я доверяю ЛЛ. Просто неравенство нулю ещё ничего не значит. Линеаризация есть линеаризация.

[realeugene]

Geen в сообщении #1683740 писал(а):

Тензор Риччи посчитайте...

А вот тензор Риччи для линеаризованного гравполя покомпоненто пропорционален просто лапласианам соответствующих компонент метрического тензора. См. ЛЛ2 (105,11), (105,12). Так что если компоненты метрического тензора бездивергентные, а в выбранной метрике с указанием про однородность гравполя они бездивергентные по условию, то и тензор Риччи нулевой.

Эта метрика отличается от метрики Риндлера тем, что метрика Риндлера возникает просто в ускоренной системе отсчёта и не содержит поправок у пространственных компонент, а эта с гравитационным потенциалом у пространственных компонент строится суперпозицией по всем тяготеющим массам линеаризованной шварцшильдовой метрики и, поэтому, она является реальной стационарной метрикой вокруг гравитирующих тел в ньютоновском пределе.