Необходимость производной и понимание её полезности

[dgwuqtj]

stalvoron в сообщении #1649323 писал(а):

получается, что выпускник не поняв "почему так", запомнит " само это" но быстро забудет.

Речь же идёт про обучение инженеров и т.д., а не чистых математиков. Им можно неформально рассказать, почему так, но строгие доказательства просто по времени не влезут. Предполагается, что даже если они потом забудут какие-то рецепты решения задач, то смогут легко восстановить, открыв тот же учебник (или спросят программу). Главное, чтобы язык освоили.

[stalvoron]

В традициях ошибшегося, поканючу насчёт рисунка. Не совсем хорошо, что вертикальная риска упёрлась в крокодайла. Понятней условие было бы, если бы она (риска) на рисунке закончилась бы на противоположном берегу. Тогда бы , "х" стал однозначно локализован. Ну это жалобы в пользу бедных. Спасибо за подсказку.

[wrest]

stalvoron в сообщении #1649323 писал(а):

То что одарённый человек (с высокими способностями) в творчестве творит - это одно, но в преподавании, без объяснения , массе "средних умов" (сами понимаете ВУЗов много, "индиго" на всех не хватает) получается, что выпускник не поняв "почему так", запомнит " само это" но быстро забудет.

Чепуху-то не надо пороть. В дифференциальном и интегральном исчислении (первые 2..3 полугодия технического вуза на инженерных специальностях) нет ничего сложного. В учебниках всё разжевано до жидкого состояния, надо просто трудиться и не списывать нежелание это делать на непонятные объяснения преподавателей. Во всяком случае, что касается смысла и практического применения производной функции одной переменной.

[mihaild]

stalvoron в сообщении #1649323 писал(а):

Вот тут то и отличие и проблема для "не архимедов". То что одарённый человек (с высокими способностями) в творчестве творит - это одно, но в преподавании, без объяснения , массе "средних умов" (сами понимаете ВУЗов много, "индиго" на всех не хватает) получается, что выпускник не поняв "почему так", запомнит " само это" но быстро забудет

Так дифференциальное и интегральное исчисление (и большая часть остальной математики, которую преподают не-математикам) хороши как раз тем, что не требуют творчества, и после того как умные люди их придумали, пользоваться ими, и даже понять, как они работают, может примерно кто угодно.
Да, все еще нужно приложить некоторые усилия, чтобы разобраться. Но это теперь проторенный путь, просто брать, читать учебники/слушать лекции, и - обязательно - решать задачи.

[stalvoron]

Уважаемые, wrest, mihaild,
не спорю. Спасибо.

[realeugene]

strimax в сообщении #1649001 писал(а):

они смеются на теорию, которую подают через производные в том числе, т к после универа никто из них ни разу их не применял, как и интегралы.

Они для вас плохой образец.

Зачем уметь писать, если можно надиктовать Сири? Для того, чтобы быть вхожим в круг образованных людей. Все современные научные модели написаны на языке математики. Математический анализ - это самые-самые основы. Не знающий его человек просто не умеет читать. В России, конечно, очень много "инженеров" нифига не знают и, по сути, неграмотны, ну это так сложилось.

[wrest]

realeugene в сообщении #1650527 писал(а):

Зачем уметь писать, если можно надиктовать Сири? Для того, чтобы быть вхожим в круг образованных людей.

Похоже, сейчас можно не только надиктовать это Сири, а ещё и попросить переписать это в нужном стиле.
Высоким штилем, в стихах, в виде официального заявления, на езыке падонкоф и т.п.

-- 17.08.2024, 23:49 --

realeugene в сообщении #1650527 писал(а):

Не знающий его человек просто не умеет читать.

Вот! Надо уметь читать (понять написанное), а не только писать. Но и тут можно попросить Сири изложить написанное кем-то "как для 5-летнего ребенка"

[strimax]

wrest в сообщении #1650531 писал(а):

Вот! Надо уметь читать (понять написанное), а не только писать. Но и тут можно попросить Сири изложить написанное кем-то "как для 5-летнего ребенка"

вобщем нужно всё уметь делать прАвильно: и вопросы задавать, и задачи ставить, и читать (вникать в заданное или поставленное), и отвечать верно. Вначале этого обсуждения я задал казалось бы для всех очень простые вопрос, а и о них порассуждали не плохо.

[iifat]

wrest в сообщении #1650531 писал(а):

падонкоф

Падонкафф, безграмотный вы наш!

[EUgeneUS]

strimax в сообщении #1650538 писал(а):

Вначале этого обсуждения я задал казалось бы для всех очень простые вопрос, а и о них порассуждали не плохо.

Сразу скажу, что всё это обсуждение не читал. Но свои пять копеек вставлю, раз уж Вы, как ТС, продолжаете это читать.
Математика - абстрактная наука. Она оперирует абстрактными понятиями. Соответственно смысл и полезность производной (и интеграла) в курсе математики будут выражаться в абстрактных понятиях. Например, производная - тангенс угла наклона касательной к графику, а определенный интеграл - площадь под графиком.

Прикладными приложениями математических абстракций занимаются уже прикладные науки, физика, например, и сопромат с теормехом, как её разделы. Вот там уже будут понятия имеющие бОльшее приложение к реальному миру. Например, если функция - это скорость от времени ($v(t)$), то её производная - это ускорение, а определенный интеграл - длина пройденного пути.

Ваш вопрос, кстати, удивил. Ладно, в школьном курсе математике при прохождении темы про производную может возникать вопрос "а зачем это надо?" (и нормальный, даже не обязательно хороший, учитель должен на него ответить, приведя несколько примеров). Но в курсе сопромата и-или теормеха как раз ответы на него и содержатся - вот для этого. Какое-то "позднее зажигание", извините.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Да вопрос не о производной и не о том, зачем она нужна. Вопрос о том, что некоторые ммтематические преобразования, включая дифференциирование, не всегда очевидны. И на вопрос "а зачем тут дифференциировать" можно ответить только "а вот как у нас в результате все удачно получилось". Бывают случаи, когда лектор говорит "А теперь применим преобразование Гартвига...", но тебе в этом месте вовсе не очевидно, что именно это нужно сделать. Откуда он это взял? Вот об этом вопрос. И ответ в том, что да, так бывает. Не всегда рассуждение очевидно, многое еще зависит от опыта.

Часто решение задачи или доказательство утверждения в конечном виде вообще приведено "с отбрасыванием всех строительных лесов" или даже вообще изначально ход рассуждений был совсем другой. Потом все было отшлифовано, сокращено до минимума, везде расставлено "легко видеть" и "очевидно, что", и все представлено в виде блестящей догадки.

[nnosipov]

sergey zhukov в сообщении #1650659 писал(а):

Вопрос о том, что некоторые ммтематические преобразования, включая дифференциирование, не всегда очевидны.

Приведите конкретный пример задачи, в которой применение производной неочевидно (не кажется естественным, похоже на трюк и т.д.).

[Mihr]

nnosipov в сообщении #1650661 писал(а):

Приведите конкретный пример задачи, в которой применение производной неочевидно

Вообще, конечно, очевидность/неочевидность скорее индивидуальна, чем универсальна. То, что одному кажется очевидным, у другого может вызвать оторопь. Позволю себе небольшой пример из физики, который у многих моих студентов вызывал непонимание.

Известно, что спектральная плотность излучения абсолютно чёрного тела определяется равенством
$\varphi (\lambda, T)=\dfrac{1}{\lambda^5}\psi(\lambda T)$
где $\lambda$ - длина световой волны, $T$ - абсолютная температура излучающего тела, $\varphi$ - та самая спектральная плотность излучения. О функции $\psi$ известно лишь то, что это - какая-то гладкая функция. Отсюда требуется вывести закон смещения Вина:

$T \lambda_m=b$

Здесь $\lambda_m$ - длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности излучения, $b$ - некоторая константа.
Многим студентам (пожалуй, большинству из тех, кого я видел) кажется, что пока мы не знаем конкретный вид функции $\psi$, ничего конкретного получить из данного равенства нельзя. И дифференцирование этого равенства (содержащего непонятно какую функцию) с приравниваем нулю производной и выводу отсюда закона смещения Вина большинство студентов воспринимает как фокус. "А разве так можно???" - вот наиболее типичная реакция на эти несложные действия.

-- 19.08.2024, 11:30 --

В качестве примера из математики, пожалуй, могу сослаться на вот эту тему: Площадь поверхности как производная объема. Здесь то, что почти всем участникам темы кажется очевидным, у ТС вызывает поначалу явное непонимание. И неприятие.

[nnosipov]

Mihr в сообщении #1650666 писал(а):

Многим студентам (пожалуй, большинству из тех, кого я видел) кажется, что пока мы не знаем конкретный вид функции $\psi$, ничего конкретного получить из данного равенства нельзя. И дифференцирование этого равенства (содержащего непонятно какую функцию) с приравниваем нулю производной и выводу отсюда закона смещения Вина большинство студентов воспринимает как фокус.

Да просто студенты странные пошли. Вот даже мне (совсем не физику) здесь все понятно: раз речь идет о поиске максимума, нужно дифференцировать соответствующую функцию (это же как дважды два, совершенно стандартная ситуация). В данном случае константа $b$ --- это как раз точка максимума функции $\psi(x)$ (т.е. при $x=b$ функция $\psi(x)$ принимает максимальное значение). Для достаточно хорошей (любой!) функции $\psi(x)$ это означает, что $\psi'(b)=0$ (это и позволяет определить $b$, если задана конкретная $\psi(x)$). Похоже, студенты банально стандартную математику не знают, даже не в физике дело.

-- Пн авг 19, 2024 15:52:23 --

Mihr в сообщении #1650666 писал(а):

Здесь то, что почти всем участникам темы кажется очевидным, у ТС вызывает поначалу явное непонимание.

Ну, не знаю: когда я был школьником, это рассуждение (оно действительно было в учебнике Колмогорова) казалось мне довольно естественным, особенно если представишь картинку.

Да, про $\lambda^5$ я там забыл, но это не важно.

[Mihr]

nnosipov в сообщении #1650669 писал(а):

т.е. при $x=b$ функция $\psi(x)$ принимает максимальное значение

Немного не так. Ищется максимум не отдельно функции $\psi(x)$, а всего произведения $\dfrac{1}{\lambda^5}\psi(\lambda T)$. После приравнивания производной к нулю получается алгебраическое уравнение, содержащее неизвестную функцию и её производную.

-- 19.08.2024, 12:02 --

А, вижу, уже исправлено.