Парадокс лжеца

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634083 писал(а):

Если утверждение делается относительно n объектов, а отрицание относительно k<n, то отрицание частичное

Alpha AXP в сообщении #1634083 писал(а):

И утверждение, и отрицание могут иметь внутри неопределенность

Нет таких понятий в математической логике. Какие есть - можете почитать, например, в "Языках и исчислениях" Верещагина, Шеня.

В частности, если у нас есть предикатные символы $W$ и $P$ валентности $1$, которые мы интерпретируем как "жены" и "желающие меня отравить", то "все жены хотят меня отравить" записывается как $\forall x: (W(x) \rightarrow P(x))$, отрицание этого записывается, понятно, как $\neg \forall x: (W(x) \rightarrow P(x))$, что в классическом исчислении предикатов эквивалентно $\exists x: \neg(W(x) \rightarrow P(x))$, что, в свою очередь, эквивалентно $\exists x: (W(x) \wedge \neg P(x))$ - "существует $x$, являющийся женой и не желающий меня отравить".

[Dedekind]

Alpha AXP
Неправильно нарисовали. Допустим, есть 10 жен и мы выбрали в качестве отрицания к "Все жены хотят меня отравить" второе Ваше утверждение: "Хотя бы две, жены не хотят меня отравить". Итак, по закону исключения третьего, или утверждение, или его отрицание должны быть истинны, третьего не дано. А теперь рассмотрим ситуацию, когда меня хочет отравить ровно одна жена. Тогда утверждение "Все жены хотят меня отравить" - ложно. Но и Ваше "отрицание": "Хотя бы две, жены не хотят меня отравить" - тоже ложно. Противоречие с законом исключения третьего.

[Alpha AXP]

Dedekind в сообщении #1634091 писал(а):

Alpha AXP
Неправильно нарисовали. Допустим, есть 10 жен и мы выбрали в качестве отрицания к "Все жены хотят меня отравить" второе Ваше утверждение: "Хотя бы две, жены не хотят меня отравить". Итак, по закону исключения третьего, или утверждение, или его отрицание должны быть истинны, третьего не дано. А теперь рассмотрим ситуацию, когда меня хочет отравить ровно одна жена. Тогда утверждение "Все жены хотят меня отравить" - ложно. Но и Ваше "отрицание": "Хотя бы две, жены не хотят меня отравить" - тоже ложно. Противоречие с законом исключения третьего.

Ну, т.е. утверждение: "Хотя бы две, жены не хотят меня отравить" не отрицает утверждения: "Все жены хотят меня отравить". Тогда как соотносятся эти утверждения, если первое истинно? Никак? Замечательно.

Правильно будет ввести полное и неполное отрицание. Закон исключенного третьего работает только для полного отрицания.

[Dedekind]

Alpha AXP в сообщении #1634092 писал(а):

Ну, т.е. утверждение: "Хотя бы две, жены не хотят меня отравить" не отрицает утверждения: "Все жены хотят меня отравить".

Не отрицает.

Alpha AXP в сообщении #1634092 писал(а):

Тогда как соотносятся эти утверждения, если первое истинно? Никак? Замечательно.

Никак не соотносятся. Может быть как истинно, так и ложно.

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634092 писал(а):

Ну, т.е. утверждение: "Хотя бы две, жены не хотят меня отравить" не отрицает утверждения: "Все жены хотят меня отравить". Тогда как соотносятся эти утверждения, если первое истинно?

Что еще за гегелевщина с "утверждение что-то там отрицает"?
Из первого утверждения следует отрицание второго, эквивалентно из второго следует отрицание первого. Но из отрицания первого не следует отрицание второго. Довольно стандартная ситуация: $\vdash \varphi \rightarrow \psi$, но $\nvdash \neg \varphi \rightarrow \neg \psi$.

Dedekind в сообщении #1634094 писал(а):

Может быть как истинно, так и ложно

Вроде бы обязательно ложно. Из "хотя бы две жены не хотят меня отравить" следует "неверно, что все жены хотят меня отравить". Видимо либо Вы либо я запутались, что такое первое и второе утверждения.

[Alpha AXP]

Alpha AXP в сообщении #1634092 писал(а):

Правильно будет ввести полное и неполное отрицание. Закон исключенного третьего работает только для полного отрицания.

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634092 писал(а):

Правильно будет ввести полное и неполное отрицание

Ну вводите, когда сможете продемонстрировать пользу от этого для народного хозяйства - покажите. Тема, напоминаю, о классической логике, в ней никаких "неполных отрицаний" нет.

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1634098 писал(а):

Ну вводите, когда сможете продемонстрировать пользу от этого для народного хозяйства - покажите. Тема, напоминаю, о классической логике, в ней никаких "неполных отрицаний" нет.

Хотелось бы услышать от Вас ответы на следующие вопросы:

1. Если все 10 утверждений являются отрицаниями одного утверждения, то равны ли они между собой?
2. На основании чего Вы выбрали первое из этих 10-ти утверждений в качестве отрицания к утверждению?
3. Есть ли ответы на эти вопросы в рамках классической логики?

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634100 писал(а):

Если все 10 утверждений являются отрицаниями одного утверждения, то равны ли они между собой?

Тут нужно уточнить, что такое "является отрицанием" и "равны". Для первого есть два разумных варианта: "отрицанием утверждения $X$ является утверждение $\neg X$" и "отрицанием утверждения $X$ является утверждение, эквивалентное $\neg X$". Для второго есть варианты "утверждения равны если они равны как строки" и "утверждения равны если они эквивалентны".

Alpha AXP в сообщении #1634100 писал(а):

Есть ли ответы на эти вопросы в рамках классической логики?

Тут нужно немного уточнить перевод этих вопросов с русского на формальный - есть несколько вариантов перевода. Для каждого варианта перевода ответ есть.

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1634101 писал(а):

Тут нужно немного уточнить перевод этих вопросов с русского на формальный - есть несколько вариантов перевода. Для каждого варианта перевода ответ есть.

Уточняю:
Вы произвели выбор одного из 10 возможных отрицаний. Каким из разумных вариантов определения отрицания Вы пользовались и на основании чего произвели выбор одного из 10 возможных отрицаний?

mihaild в сообщении #1634101 писал(а):

Для каждого варианта перевода ответ есть.

(mihaild)

Если у Вас нет ответа на эти вопросы, то с Вас теория включающая полные и частичные отрицания )))

[Dedekind]

mihaild в сообщении #1634095 писал(а):

Вроде бы обязательно ложно. Из "хотя бы две жены не хотят меня отравить" следует "неверно, что все жены хотят меня отравить". Видимо либо Вы либо я запутались, что такое первое и второе утверждения.

Да, Вы правы, это я запутался.

Alpha AXP в сообщении #1634102 писал(а):

Вы произвели выбор одного из 10 возможных отрицаний.

Да нет никаких 10-ти отрицаний. Есть только одно (в классической логике). И не совсем понятно, что именно Вы хотите: разобраться как оно есть на самом деле в классической логике, или изобрести какую-то свою логику с блекджеком и куртизанками с 10-ю отрицаниями. Задекларируйте, пожалуйста, явно свою цель, чтобы участники не теряли времени:)

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634102 писал(а):

Вы произвели выбор одного из 10 возможных отрицаний

Нет никаких "10 возможных отрицаний".

Alpha AXP в сообщении #1634074 писал(а):

если мы положим отрицанием этого утверждения: "Хотя бы одна жена не хочет меня отравить", то с таким же успехом мы можем положить его отрицанием и "Хотя бы две, жены не хотят меня отравить"

Вот это неправда. Первое эквивалентно отрицанию утверждения "все жены хотят меня отравить", второе нет.
Вывод тавтологии $\forall \xi \varphi \leftrightarrow \neg \exists \xi \neg \varphi$ можете посмотреть в вышеупомянутой книге Верещагина и Шеня, страница 141 в четвертом издании.

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1634105 писал(а):

Вот это неправда. Первое эквивалентно отрицанию утверждения "все жены хотят меня отравить", второе нет.

Как тогда быть с этим?

mihaild в сообщении #1634095 писал(а):

Из "хотя бы две жены не хотят меня отравить" следует "неверно, что все жены хотят меня отравить".

[mihaild]

Alpha AXP в сообщении #1634107 писал(а):

Как тогда быть с этим?

Вы знаете отличие между эквивалентностью $\leftrightarrow$ и импликацией $\rightarrow$? Если не знаете, то можете прочитать в вышеупомянутой книжке.

[Alpha AXP]

В том и вопрос, почему Вы эквивалентность используете только в отношении первого утверждения, а в отношении остальных используете импликацию? Ведь "хотя бы 10 не хотят отравить" не выводится из "хотябы одна не хочет отравить". Логично было бы наоборот, "хотябы все 10 не хотят меня отравить" - эквивалентно отрицанию "все 10 хотят меня отравить", а уже. из "все 10 не хотят меня отравить" выводить следствие, что хотябы одна не хочет меня отравить.

Какая логика выбора эквивалентного орицанию утверждения из множества родственных?