Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1633150 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

Истинная импликация это такая, которая при соблюдении условия является истинным высказыванием, а ложная импликация это такая, которая при соблюдении условия является ложным высказыванием.

Типа того. Только не "которая при соблюдении условия является истинным высказыванием", а "у которой вывод при соблюдении условия является истинным высказыванием".

Нет, именно "которая при соблюдении условия является истинным высказыванием".

Вот, например, импликация $(x<10)\to (x<100)$. Сам по себе ее вывод $(x<100)$ не является ни истинным, ни ложным высказыванием, но вся импликация при соблюдении условия $(x<10)$ является истинным высказыванием.

Mikhail_K в сообщении #1633150 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

Что же касается импликации при несоблюдении условия (то есть при наличии у нее ложной посылки), то я не согласен, что признаком ее истинности является то, что она представляет собой высказывание типа "из лжи следует ложь" или типа "из лжи следует истина", потому что при несоблюдении условия не только истинная, но и ложная импликация представляет собой либо высказывание типа "из лжи следует ложь", либо высказывание типа "из лжи следует истина".

Ошибаетесь. Последнее предложение я не понял.

Вот здесь:

Vladimir Pliassov в сообщении #1633071 писал(а):

2). А для импликации $(x<10)\to (x>100)$, если $x<10$, то $x\ngtr 100$, а если $x\nless 10$, то может быть как $x\ngtr 100$, так и $x>100$:

$(5<10)\to (5>100)$ -- "из истины следует ложь" -- ложное высказывание;

$(50<10)\to (50>100)$ -- "из лжи следует ложь" -- неопределенное высказывание;

$(500<10)\to (500>100)$ -- "из лжи следует истина" -- неопределенное высказывание.

как я понимаю, импликация $(x<10)\to (x>100)$ -- ложная (потому что она при соблюдении условия $x<10$ является ложным высказыванием).

А в двух последних строках эта же импликация в двух конкретных вариантах (вместо $x$ подставлены $50$ и $500$):

$(50<10)\to (50>100)$,

$(500<10)\to (500>100)$,

то есть $(50<10)\to (50>100)$ и $(500<10)\to (500>100)$ это ложные импликации, так как они произошли от ложной импликации $(x<10)\to (x>100)$.

[Уверен, что подчеркнутое предложение вызовет Ваше и не только Ваше возражение, но почему оно вызовет возражение? Ведь то, что в результате подстановки $50$ и $500$ вместо $x$ истинная импликация $(x<10)\to (x<100)$ превращается в истинные же импликации

$(50<10)\to (50<100)$ и

$(500<10)\to (500<100)$,

возражения не вызывает, почему же вызывает возражение то, что в результате подстановки $50$ и $500$ вместо $x$ ложная импликация $(x<10)\to (x>100)$ превращается в ложные же импликации

$(50<10)\to (50>100)$ и

$(500<10)\to (500>100)$? ]

При этом

$(50<10)\to (50>100)$ это "из лжи следует ложь", а

$(500<10)\to (500>100)$ это "из лжи следует истина".

Так что ложные импликации могут представлять собой высказывания типа "из лжи следует ложь" и типа "из лжи следует истина".

epros в сообщении #1633155 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

$(5<10)\to (5>100)$,

$(50<10)\to (50>100)$ или

$(500<10)\to (500>100)$,

но любое из этих выражений представляет собой импликацию $(x<10)\to (x>100)$, которая является ложной.

Что бы это значило? Вторая и третья импликации - истинные, как бы Вы ни считали, что они кого-то "представляют".

В том-то и дело, что я эти импликации считаю ложными, и пытаюсь это обосновать (об этом выше).

epros в сообщении #1633155 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633142 писал(а):

Нельзя в импликации $(500<10)\to (500<100)$ просто подставить $x$ вместо $500$, надо сначала выдвинуть гипотезу, что общим видом импликации является $(x<10)\to (x<100)$, а потом, подставив $500$ вместо $x$, убедиться, что получилась исходная импликация $(500<10)\to (500<100)$, которая истинна, так как получилась из истинной импликации $(x<10)\to (x<100)$.

Что вся эта фигня значит? Утверждение $(x<10)\to (x<100)$ истинно, потому что истинно при любом $x$.

Да, правда, пример неудачный. Я переделаю:

Нельзя в импликации $(500<10)\to (500>100)$ просто подставить $x$ вместо $500$, надо сначала выдвинуть гипотезу, что общим видом импликации является $(x<10)\to (x>100)$, а потом, подставив $500$ вместо $x$, убедиться, что получилась исходная импликация $(500<10)\to (500>100)$, которая ложна, так как получилась из ложной импликации $(x<10)\to (x>100)$.

(Почему она, по моему мнению, ложна, об этом выше.)

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

Нет, именно "которая при соблюдении условия является истинным высказыванием".

Тогда Вы ошибаетесь.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

Вот, например, импликация $(x<10)\to (x<100)$. Сам по себе ее вывод $(x<100)$ не является ни истинным, ни ложным высказыванием, но вся импликация при соблюдении условия $(x<10)$ является истинным высказыванием.

Вся импликация просто является истинным высказыванием (при любом $x$). И это означает, что при соблюдении условия её вывод является истинным высказыванием.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

Вот здесь:

Здесь Вы сочиняете свою логику. Обратите внимание, что логика нужна не просто "чтобы была", а чтобы на ней основывать любые математические доказательства. Если Вы в этом разберётесь, то увидите, что подходит для этого именно обычная математическая логика, безо всяких "неопределённых высказываний". Разберитесь, что такое дедукция, и объяснение epros, почему для логики важно, чтобы из лжи следовало что угодно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

как я понимаю, импликация $(x<10)\to (x>100)$ -- ложная

Здесь есть такой момент. Эта формула содержит свободную переменную $x$. Обычно такие формулы трактуются так, что вначале должен стоять квантор $\forall x$, просто его для краткости опустили.
Утверждение $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$ - действительно ложное.
Потому что сама импликация $(x<10)\to (x>100)$ ложна при некоторых $x$ (хотя при некоторых $x$ она истинна).

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

то есть $(50<10)\to (50>100)$ и $(500<10)\to (500>100)$ это ложные импликации, так как они произошли от ложной импликации $(x<10)\to (x>100)$.

[Уверен, что подчеркнутое предложение вызовет Ваше и не только Ваше возражение

Да, вызовет возражение. Подчёркнутое утверждение неверно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

почему же вызывает возражение то, что в результате подстановки $50$ и $500$ вместо $x$ ложная импликация $(x<10)\to (x>100)$ превращается в ложные же импликации

Дело здесь в кванторах. Истинным является утверждение $\forall x,\,(x<10)\to (x<100)$. Если такое утверждение истинно, вместо $x$ можно подставлять в него любое число и получить гарантированно верное утверждение. Далее, утверждение $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$ ложно, но это просто значит, что если мы будем подставлять вместо $x$ разные числа, мы не будем получать гарантированно верные утверждения (но совсем не факт, что получим гарантированно ложные).

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

Сам по себе ее вывод $(x<100)$ не является ни истинным, ни ложным высказыванием

В классической логике нет значения "не истинно, ни ложно". Закон исключённого третьего гласит, что утверждение либо истинно, либо ложно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

как я понимаю, импликация $(x<10)\to (x>100)$ -- ложная (потому что она при соблюдении условия $x<10$ является ложным высказыванием).

Утверждение со свободными переменными ложно, если оно не при всех значениях переменных истинно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

почему же вызывает возражение то, что в результате подстановки $50$ и $500$ вместо $x$ ложная импликация $(x<10)\to (x>100)$ превращается в ложные же импликации

$(50<10)\to (50>100)$ и

$(500<10)\to (500>100)$?

Потому что нет такого правила, что при подстановке значений переменных в ложное утверждение должно получиться ложное. Вы постоянно норовите придумать собственные правила.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

В том-то и дело, что я эти импликации считаю ложными, и пытаюсь это обосновать (об этом выше).

А не надо так считать, потому что они истинные. И обоснованием этому является ex falso quodlibet.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

получилась исходная импликация $(500<10)\to (500>100)$, которая ложна, так как получилась из ложной импликации $(x<10)\to (x>100)$.

Истинна, хотя и является результатом подстановки значения переменной в ложное утверждение.

[Vladimir Pliassov]

Привожу цитаты, которые подтверждают, что в действующей системе (не знаю, как она называется)

в результате подстановки конкретных значений вместо свободной переменной из истинной импликации всегда получается истинная (а ложная из ложной не всегда).

Mikhail_K в сообщении #1633209 писал(а):

Дело здесь в кванторах. Истинным является утверждение $\forall x,\,(x<10)\to (x<100)$. Если такое утверждение истинно, вместо $x$ можно подставлять в него любое число и получить гарантированно верное утверждение. Далее, утверждение $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$ ложно, но это просто значит, что если мы будем подставлять вместо $x$ разные числа, мы не будем получать гарантированно верные утверждения (но совсем не факт, что получим гарантированно ложные).

epros в сообщении #1633246 писал(а):

Утверждение со свободными переменными ложно, если оно не при всех значениях переменных истинно.

Mikhail_K в сообщении #1633209 писал(а):

Утверждение $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$ - действительно ложное.
Потому что сама импликация $(x<10)\to (x>100)$ ложна при некоторых $x$ (хотя при некоторых $x$ она истинна).

epros в сообщении #1633246 писал(а):

нет такого правила, что при подстановке значений переменных в ложное утверждение должно получиться ложное.

epros в сообщении #1633246 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633198 писал(а):

получилась исходная импликация $(500<10)\to (500>100)$, которая ложна, так как получилась из ложной импликации $(x<10)\to (x>100)$.

Истинна, хотя и является результатом подстановки значения переменной в ложное утверждение.

2.

А вот такой вопрос.

Понятно, что вот это: $(x<10)\to (x<100)$ -- импликация, то есть: "если $x<10$, то $x<100$".

Но что вот это: $(5<10)\to (5<100)$ -- импликация, не понятно, потому что эта запись означает: "если $5<10$ ..." Зачем говорить "если $5<10$ ..."? Ведь мы знаем, что это так.

Говорить "если ..." надо тогда, когда вместо переменной $x$ не подставлено ее значение, и мы не знаем, каким оно будет, а говорить "если ...", когда оно уже подставлено, это странно.

Может быть, когда вместо переменной $x$ в импликации $(x<10)\to (x<100)$ подставлено ее значение $5$, ее лучше оформлять не как импликацию $(5<10)\to (5<100)$, а как конъюнкцию $(5<10)\wedge (5<100)$:

при $x=5$ имеем $\big ( (x<10)\to (x<100)\big )\to \big ( (5<10)\wedge (5<100)\big )$?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633282 писал(а):

Зачем говорить "если $5<10$ ..."? Ведь мы знаем, что это так.

Никто не заставляет так говорить. Есть математическое понятие - импликация. Как его переводить на бытовой язык и стоит ли это делать вообще - каждый решает сам.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633282 писал(а):

Может быть, когда вместо переменной $x$ в импликации $(x<10)\to (x<100)$ подставлено ее значение $5$, ее лучше оформлять не как импликацию $(5<10)\to (5<100)$, а как конъюнкцию $(5<10)\wedge (5<100)$:

Вместо $x$ в $(x<10)\to (x<100)$ можно подставлять что угодно: хоть $5$, хоть $50$, хоть $500$. Это базовое правило, без которого не работает никакая математика. Например, если мы доказали равенство $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, то теперь можем подставлять в него вместо $x$ и $y$ что угодно. При этом нам не надо изменять никакие знаки: если доказано, что $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, то значит и $(-3+6)^2=(-3)^2+2\cdot(-3)\cdot 6+6^2$, и никак иначе. Так же и с импликацией: не надо заменять её на конъюнкцию. Тем более что если мы заменим импликацию на конъюнкцию, то ошибёмся при $x=50$ или при $x=500$.

Другое дело, что конъюнкцию легко получить, если она нам действительно зачем-то нужна. Ну вот, подставили мы $x=5$ и получили $(5<10)\to (5<100)$. Мы знаем, что $5<10$, поэтому по правилу modus ponens можем вывести из импликации, что $5<100$. Теперь мы знаем, что $5<10$ и $5<100$ - и вот она, конъюнкция.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633282 писал(а):

Но что вот это: $(5<10)\to (5<100)$ -- импликация, не понятно, потому что эта запись означает: "если $5<10$ ..." Зачем говорить "если $5<10$ ..."? Ведь мы знаем, что это так.

Говорить "если ..." надо тогда, когда вместо переменной $x$ не подставлено ее значение, и мы не знаем, каким оно будет, а говорить "если ...", когда оно уже подставлено, это странно.

Откуда Вы это знаете? В данном случае, может быть, из аксиом арифметики. А в каком-то другом случае Вы этого можете и не знать, несмотря на отсутствие свободных переменных.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633282 писал(а):

Может быть, когда вместо переменной $x$ в импликации $(x<10)\to (x<100)$ подставлено ее значение $5$, ее лучше оформлять не как импликацию $(5<10)\to (5<100)$, а как конъюнкцию $(5<10)\wedge (5<100)$:

при $x=5$ имеем $\big ( (x<10)\to (x<100)\big )\to \big ( (5<10)\wedge (5<100)\big )$?

Если Вы "оформите" импликацию как конъюнкцию, то получите совершенно другое утверждение.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1633284 писал(а):

Другое дело, что конъюнкцию легко получить, если она нам действительно зачем-то нужна. Ну вот, подставили мы $x=5$ и получили $(5<10)\to (5<100)$. Мы знаем, что $5<10$, поэтому по правилу modus ponens можем вывести из импликации, что $5<100$. Теперь мы знаем, что $5<10$ и $5<100$ - и вот она, конъюнкция.

Что-то такое я и имел в виду, но не знал, как правильно выразить.

Правда, и здесь не удается избежать странного выражения $(5<10)\to (5<100)$, поскольку оно получается при подстановке $5$ вместо переменной $x$ в выражении $(x<10)\to (x<100)$ -- тут никуда не денешься.

Но, наверное, то, что не удается избежать выражения $(5<10)\to (5<100)$, и есть доказательство того, что оно должно иметь место?

epros в сообщении #1633343 писал(а):

Если Вы "оформите" импликацию как конъюнкцию, то получите совершенно другое утверждение.

Что Вы имеете в виду? Разве не верно, что

при $x=5$ имеем $\big ( (x<10)\to (x<100)\big )\to \big ( (5<10)\wedge (5<100)\big )$?

epros в сообщении #1633343 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633282 писал(а):

Но что вот это: $(5<10)\to (5<100)$ -- импликация, не понятно, потому что эта запись означает: "если $5<10$ ..." Зачем говорить "если $5<10$ ..."? Ведь мы знаем, что это так.

Откуда Вы это знаете? В данном случае, может быть, из аксиом арифметики. А в каком-то другом случае Вы этого можете и не знать, несмотря на отсутствие свободных переменных.

Да, конечно. Я имел в виду, что мы полагаем, что это так, а раз мы уже полагаем, что это так, зачем же говорить: "Если ..."

Или можно сказать: "Мы полагаем, что это истинное высказывание".

Тут поднимается еще один пласт темы.

Зачем заниматься логикой высказываний? Нельзя ли заниматься непосредственно логикой фактов действительности? Неужели так интересно, что о них кто-то высказал?

[пианист]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633358 писал(а):

epros в сообщении #1633343

писал(а):
Если Вы "оформите" импликацию как конъюнкцию, то получите совершенно другое утверждение.
Что Вы имеете в виду?

Думаю, уважаемый epros подразумевает (стандартное) представление импликации через конъюнкцию и отрицание $A \to B = ¬(A \wedge ¬B)$

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633358 писал(а):

Разве не верно, что

при $x=5$ имеем $\big ( (x<10)\to (x<100)\big )\to \big ( (5<10)\wedge (5<100)\big )$?

В данном случае нам повезло и это верно. А для другой импликации нам не повезёт и окажется, что неверно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633358 писал(а):

Я имел в виду, что мы полагаем, что это так, а раз мы уже полагаем, что это так, зачем же говорить: "Если ..."

Или можно сказать: "Мы полагаем, что это истинное высказывание".

"Если" произносится тогда, когда мы не намерены утверждать предпосылку. Даже если предпосылка у нас $5 < 10$, мы можем не захотеть этого утверждать: Мало ли что мы думаем про аксиомы арифметики.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633358 писал(а):

Зачем заниматься логикой высказываний? Нельзя ли заниматься непосредственно логикой фактов действительности? Неужели так интересно, что о них кто-то высказал?

А что такое "факты действительности"? Высказывания - это предложения языка. Кстати, ими могут и утверждаться факты действительности. Хотя утверждение всегда можно интерпретировать совсем не так, как имел в виду автор, но тут уж ничего не поделаешь.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1633284 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633282 писал(а):

Зачем говорить "если $5<10$ ..."? Ведь мы знаем, что это так.

Никто не заставляет так говорить. Есть математическое понятие - импликация. Как его переводить на бытовой язык и стоит ли это делать вообще - каждый решает сам.

Правда! Ведь $ можно прочитать как: "Из того, что $5<10$, следует, что $5<100$ (потому что $10<100$ )".

Как-то сразу в голову не пришло.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1633246 писал(а):

нет такого правила, что при подстановке значений переменных в ложное утверждение должно получиться ложное.

А, вообще, есть такое правило, что можно подставлять значения переменных в любое утверждение, в том числе и в ложное?

Мне кажется, должно быть такое ограничение, что нельзя.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633401 писал(а):

А, вообще, есть такое правило, что можно подставлять значения переменных в любое утверждение, в том числе и в ложное?

Мне кажется, должно быть такое ограничение, что нельзя

Толку-то от такой подстановки. Получите какое-то утверждение, об истинности которого мы ничего не знаем. Правила вывода существуют для того, чтобы получать истинные утверждения (из других истинных).

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1633406 писал(а):

Правила вывода существуют для того, чтобы получать истинные утверждения (из других истинных).

Но, может быть, все-таки бывает, что при выводе используется ложное утверждение? Или такого никогда не бывает?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633432 писал(а):

Но, может быть, все-таки бывает, что при выводе используется ложное утверждение? Или такого никогда не бывает?

При доказательстве от противного бывает. Если надо доказать утверждение $A$, то доказывают импликацию $\neg A\to 0$ и по таблице истинности импликации делают вывод, что $\neg A$ ложно, то есть $A$ истинно.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1633435 писал(а):

При доказательстве от противного бывает. Если надо доказать утверждение $A$, то доказывают импликацию $\neg A\to 0$ и по таблице истинности импликации делают вывод, что $\neg A$ ложно, то есть $A$ истинно.

Спасибо, понятно.

А вот такая ситуация. Надо оценить истинность формулы $A$ и для этого надо оценить истинность ее атома $P$, который является импликацией $(x<10)\to (x>100)$

(я сейчас читаю "Математическую логику" Клини https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1973ru.pdf, очень хорошая книга, спасибо gefest_md за рекомендацию).

По определению, ложная импликация это та, которая имеет истинную посылку и ложное заключение.

Но импликация $P=(x<10)\to (x>100)$ имеет бесконечно много конкретизаций, среди которых есть и истинные, и ложные, например,

$(5<10)\to (5>100)$ -- "из истины ложь", --

$(50<10)\to (50>100)$ -- "из лжи ложь", -- и

$(500<10)\to (500>100)$ -- "из лжи истина", --

так как же оценить ее истинность -- как $t$ или как $f$?

Если истинность импликации $P$ зависит от того, какие конкретные значения подставлены вместо $x$, как же можно определить истинность формулы $A$?