Очень простое доказательство теоремы Ферма.

[Ende]

Выделена тема «Phi^2 и треугольники»

[K.,bntkm]

Это моё сообщение имеет прямое отношение к моему доказательству.
Есть очень большой прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна натуральному очень большому числу. Катеты не равны натуральным числам. Укорачиваем один из катетов $a$, чтобы он стал равен натуральному числу. Треугольник уже не прямоугольный. Равенство $a^3 + b^3 = c^3$ становится неравенством $a^3 + b^3 < c^3$, так как мы уменьшили $a$. Затем укорачиваем второй катет $b$, чтобы он так же стал равен натуральному числу. Получился непрямоугольный треугольник, у которого все стороны равны натуральным числам. Но при этом неравенство $a^3 + b^3 < c^3$ не нарушается, так как мы уменьшаем только $a$ и $b$, а $c$ остаётся неизменным. Треугольник имеет большой размер, поэтому можно создать множество треугольников, изменяя размеры $a$ и $b$. Таким образом можно подобрать множество троек натуральных чисел, кубы которых не равны. Потом у прямоугольного треугольника уменьшим гипотенузу до следующего натурального числа и можно повторить процедуру с укорочением катетов. Найдём множество других троек натуральных чисел, кубы которых не равны. Можно поступить и так. Есть прямоугольный треугольник, у которого катеты равны натуральным числам, а гипотенуза не равна натуральному числу. Удлиняем гипотенузу, чтобы она стала натуральным числом. Равенство $a^3 + b^3 = c^3$ становится неравенством $a^3 + b^3 < c^3$. Или укорачиваем гипотенузу до другого натурального числа. Равенство $a^3 + b^3 = c^3$ становится неравенством $a^3 + b^3 > c^3$. Но это неважно. В теореме Ферма ведь нет указания но то, что должно быть больше другого. Главное, что они не равны. Объяснил, как мог. Не стреляйте в пианиста - он играет, как может.

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1626970 писал(а):

Треугольник уже не прямоугольный. Равенство $a^3 + b^3 = c^3$ становится неравенством

Если $(a, b, c)$ были сторонами прямоугольного треугольника, то равенства $a^3 + b^3 = c^3$ не было с самого начала, было неравенство $a^3 + b^3 < c^3$.

[K.,bntkm]

mihaild в сообщении #1626975 писал(а):

Если $(a, b, c)$ были сторонами прямоугольного треугольника, то равенства $a^3 + b^3 = c^3$ не было с самого начала, было неравенство $a^3 + b^3 < c^3$.

Да, я согласен. Это моя ошибка. А есть ли другие ошибки?

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1626981 писал(а):

А есть ли другие ошибки?

Это бессмысленный вопрос, потому что после первого же ложного утверждения можно дальше получить что угодно.

[K.,bntkm]

K.,bntkm в сообщении #1626970 писал(а):

Равенство $a^3 + b^3 = c^3$ становится неравенством $a^3 + b^3 < c^3$, так как мы уменьшили $a$.

Ну ошибся. Ну будем считать, что я этого не писал. Просто в голове был заскок. Думало о равенстве в случае квадаратов и автоматом написал, что и в случае кубов будет равенство.

-- 24.01.2024, 17:50 --

Поправил.
Есть очень большой прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна натуральному очень большому числу. Катеты не равны натуральным числам. Укорачиваем один из катетов $a$, чтобы он стал равен натуральному числу. Неравенство $a^3 + b^3 < c^3$, остаётся верным, так как мы уменьшили $a$. Затем укорачиваем второй катет $b$, чтобы он так же стал равен натуральному числу. Получился непрямоугольный треугольник, у которого все стороны равны натуральным числам. Но при этом неравенство $a^3 + b^3 < c^3$ не нарушается, так как мы уменьшаем только $a$ и $b$, а $c$ остаётся неизменным. Треугольник имеет большой размер, поэтому можно создать множество треугольников, изменяя размеры $a$ и $b$. Таким образом можно подобрать множество троек натуральных чисел, кубы которых не равны. Потом у прямоугольного треугольника уменьшим гипотенузу до следующего натурального числа и можно повторить процедуру с укорочением катетов. Найдём множество других троек натуральных чисел, кубы которых не равны. Можно поступить и так. Есть прямоугольный треугольник, у которого катеты равны натуральным числам, а гипотенуза не равна натуральному числу. Удлиняем гипотенузу, чтобы она стала натуральным числом. Равенство $a^3 + b^3 = c^3$ становится неравенством $a^3 + b^3 < c^3$. Или укорачиваем гипотенузу до другого натурального числа. Равенство $a^3 + b^3 = c^3$ становится неравенством $a^3 + b^3 > c^3$. Но это неважно. В теореме Ферма ведь нет указания но то, что должно быть больше другого. Главное, что они не равны.

[mihaild]

Теперь Вы доказали, что если $a, b, c$ - стороны прямоугольного треугольника, и $a' < a$, $b' < b$, то $a'^3 + b'^3 < c^3$. Ну и что?

K.,bntkm в сообщении #1626998 писал(а):

Найдём множество других троек натуральных чисел, кубы которых не равны

Да я Вам бесплатно сколько хотите таких троек предоставлю. Вопрос же в том, существует ли хоть одна тройка, дающая равенство.
(только у Вас написано коряво: "тройка натуральных чисел, кубы которых не равны" означает "кубы двух разных чисел из тройки разные")

[K.,bntkm]

В принципе, можно считать, что прямоугольный треугольник это частный случай решения теоремы Ферма. Чтобы был общий случай, то надо как-то доказать, что неравенства $a^3 + b^3 < c^3$ или $a^3 + b^3 > c^3$ верны для любого произвольного треугольника. Будем думать.

[Лукомор]

K.,bntkm в сообщении #1627058 писал(а):

Чтобы был общий случай, то надо как-то доказать, что неравенства $a^3 + b^3 < c^3$ или $a^3 + b^3 > c^3$ верны для любого произвольного треугольника.

Для любого произвольного треугольника, кроме равностороннего, существует число $m$, такое, что $a^m+b^m=c^m$.
Соответственно, для этого конкретного треугольника, для любого натурального $n<m$, будет выполнено неравенство $a^n + b^n > c^n$, а для любого натурального $n>m$ будет выполнено неравенство $a^n + b^n < c^n$.
Вот только... к чему это все здесь?

[K.,bntkm]

Лукомор в сообщении #1627060 писал(а):

Соответственно, для этого конкретного треугольника, для любого натурального $n<m$, будет выполнено неравенство $a^n + b^n > c^n$,

Вы хотите сказать, что для $n = 3$ будет выполняться неравенство $a^3 + b^3 > c^3$ для любых натуральных чисел $a$, $b$ и $c$. Или я что-то не так понимаю.

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1627058 писал(а):

В принципе, можно считать, что прямоугольный треугольник это частный случай решения теоремы Ферма

В принципе $8$ - это тоже в какой-то степени $2$, но лучше перед тем как так начинать так считать - написать, что это собственно значит.

K.,bntkm в сообщении #1627066 писал(а):

Вы хотите сказать, что для $n = 3$ будет выполняться неравенство $a^3 + b^3 > c^3$ для любых натуральных чисел $a$, $b$ и $c$.

Нет, он хочет сказать что если например $a^{47} + b^{47} = c^{47}$, то $a^3 + b^3 > c^3$.

[Лукомор]

K.,bntkm в сообщении #1627066 писал(а):

Вы хотите сказать, что для $n = 3$ будет выполняться неравенство $a^3 + b^3 > c^3$ для любых натуральных чисел $a$, $b$ и $c$.

Я хочу сказать, прежде всего, что если треугольник прямоугольный, то не только для натуральный, но и например для иррациональных длин сторон, все равно выполняется равенство $a^2+b^2 = c^2$, и одновременно для него же верно, что
$a^3+b^3<c^3$.
Верно и наоборот:

mihaild в сообщении #1627067 писал(а):

что если например $a^{47} + b^{47} = c^{47}$, то $a^3 + b^3 > c^3$

Соответственно, для треугольника, у которого $a^3+b^3=c^3$ в то же время
$a^2 + b^2 > c^2$, и по этой причине он не будет прямоугольным.

[K.,bntkm]

Есть прямоугольный треугольник для которого верно неравенство $a^3 + b^3 < c^3$. Если мы будет увеличивать длину гипотенузы, то это неравенство будет быть верным в любом случае, так как увеличивается только $c$, а $a$ и $b$ остаются неизменными. Так увеличиваем длину гипотенузы до тех пор, пока гипотенуза и катеты не превратятся в прямую линию. Причём и для отрезков прямых линий это неравенство $a^3 + b^3 < c^3$ так же будет верным. Можно изменять $a$ и $b$ так, что $a + b = c$. Это неравенство выполняется для любых чисел. А так как натуральные числа - это частный случай из всех чисел, то это неравенство будет верно и для всех натуральных чисел.

[mihaild]

K.,bntkm в сообщении #1627100 писал(а):

Так увеличиваем длину гипотенузы до тех пор, пока гипотенуза и катеты не превратятся в прямую линию

Ну вот начнем с прямоугольного треугольника со сторонами $3, 4, 5$. До какого числа увеличивать гипотенузу? Я пока увеличил до $10^{100}$, треугольник уже не получился, а прямая линия всё еще не получилась, а я уже устал. Дальше сами, как получится прямая - напишите итоговую длину гипотенузы.

K.,bntkm в сообщении #1627100 писал(а):

Это неравенство выполняется для любых чисел

Какое "это"? $a^3 + b^3 < c^3$? Упражнение: подберите тройку натуральных чисел, для которых это неравенство неверно. Подсказка: рассмотрите случай $a = b = c = 1$.

[K.,bntkm]

mihaild в сообщении #1627112 писал(а):

До какого числа увеличивать гипотенузу?

$3 + 4 = 7$. У меня же написано $a + b = c$. Насколько уменьшаем $a$ - настолько же увеличивается $b$. Но в сумме $c$. $5^{100} + 5^{100} = 10^{100}$.

mihaild в сообщении #1627112 писал(а):

Подсказка: рассмотрите случай $a = b = c = 1$.

А при чём тут это. Ведь это неравенство для разных чисел. А так $1^3 + 2^3 = 3^3$.