2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 10:17 


23/01/24

89
Вот придумал как очень просто доказать теорему Ферма. В принципе. всё ясно из рисунка.
Изображение
На основе квадратов из теоремы Пифагора строим кубы. Один куб в одном параллелепипеде, а два других в другом параллелепипеде. Объёмы параллелепипедов равны. Вычитаем из них равные объёмы четырёх призм. Сразу видно, что объём большого куба в любом случае не может быть равен сумме двух меньших кубов. Для $n = 3$ теорема доказана. Для более высоких степеней доказывается так же очень просто.

-- 23.01.2024, 13:02 --

Ну как ещё доказать. Вот теорема Пифагора может доказываться и таким визуальным способом. Из рисунка видно, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.Посмотрел человек и ему всё сразу ясно и понятно. Ну и так же в случае с теоремой Ферма для степени 3. Объёмы параллелепипедов равны. Объёмы 4-х призм так же равны. Если большой куб занимает весь объём, оставшийся после удаления 4-х призм, то 2 куба поменьше не могут занять весь оставшийся объём. Этот объём может занять только один куб, если второй куб исчезнет. И не нужны никакие математические выкладки на десятки страниц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 11:34 
Аватара пользователя


07/01/16
1606
Аязьма
Но ведь $1^3+2^3=(9^{1/3})^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 11:48 


23/01/24

89
Ну и что. Это не ко мне. Это всё объяснили до меня.
Для четвёртой степени доказательство такое. Если каждый член этого неравенства умножить, допустим, на 2 $2a^3 + 2b^3 < 2c^3$, то неравенство останется верным. Для лучшего понимания допустим, что $a = b$ и малые кубы равны. $a\cdot a^3 + a\cdot a^3 < c\cdot c^3$. Так как $c > a$, то неравенство сохраняется. $a^4 + a^4 < c^4$. Аналогично для любой степени $a^n\cdot a^3 + a^n\cdot a^3 < c^n\cdot c^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 13:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
K.,bntkm в сообщении #1626876 писал(а):
Это всё объяснили до меня
Процитируйте объяснение. Без него доказательство не является полным, потому что не использует натуральность чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 14:26 


23/01/24

89
Я так понимаю, что этот случай был рассмотрен ранее и до меня. Извините, но я школу закончил более сорока лет назад. Я не математик. Поэтому и доказал теорему таким простейшим способом. Поэтому не понял про натуральность чисел. Как это влияет на не полноту объяснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
K.,bntkm в сообщении #1626889 писал(а):
Я так понимаю, что этот случай был рассмотрен ранее и до меня
Какой "этот"?
K.,bntkm в сообщении #1626889 писал(а):
Поэтому не понял про натуральность чисел
Объясняю: если бы Ваше "доказательство" работало, то оно доказывало бы, что уравнение $a^3 + b^3 = c^3$ не имеет решений в положительных вещественных числах. А оно имеет. Значит, Ваше "доказательство" не работает.

Ладно, если по пунктам.
Вот у нас есть гипотетическое решение уравнения $a^3 + b^3 = c^3$. Вы хотите показать, что что-то там с одной стороны равно чему-то там, а с другой сторны меньше, так?
K.,bntkm в сообщении #1626871 писал(а):
На основе квадратов из теоремы Пифагора
Что такое "квадраты из теоремы Пифагора"?
K.,bntkm в сообщении #1626871 писал(а):
На основе квадратов [...] строим кубы
Что такое "построение кубов на основе квадратов"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 16:12 


23/01/24

89
Может я плохо объяснил. Рисунок с двумя большим квадратами (а) ложим горизонтально на стол. Мысленно достраиваем эти квадраты до параллелепипедов высотой $c$. В одном параллепепеде мысленно выстраиваем большой куб с гранями $c$ и 4 призмы со сторонами $a, b, c$ и высотой $c$. В другом параллелепипеде 4 призмы со сторонами $a, b, c$ и высотой $c$. А так же 2 куба. Один с гранями $a$, другой с гранями $b$. Объёмы параллелепипедов равны. Объёмы 4-х призм так же равны. Более большой куб занимает весь объём параллелепипеда, оставшийся после удаления 4-х призм. 2 других куба не могут занять весь объём во втором параллелепипеде после удаления 4 призм. То есть, объём большого куба в любом случае будет больше объёма двух более меньших кубов. $c^3 > a^3 + b^3$. И это неравенство верно при любых значениях. Есть три куба. Один куб с гранями $c$, равными гипотенузе прямоугольного треугольника. Два других куба с гранями, равными катетам $a$ и $b$ этого же треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
А, ну это классическая ошибка. Не доказано, что треугольник со сторонами $(a, b, c)$ - прямоугольный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 16:23 


23/01/24

89
А что, трудно принять условие, что эти треугольники прямоугольные по определению?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 16:25 


17/10/16
4759
K.,bntkm
Ну так это будет доказательство только для чисел $a, b, c$, образующих прямоугольный треугольник. А не вообще для всех чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
K.,bntkm в сообщении #1626896 писал(а):
А что, трудно принять условие, что эти треугольники прямоугольные по определению?
Тогда это будет другая теорема.
Поздравляю, Вы успешно доказали теорему K.,bntkm: "Если $a, b, c$ - стороны прямоугольного треугольника, то $a^3 + b^3 \neq c^3$".
Но теорема Ферма формулируется иначе. Для случая $n = 3$ вот так: "Если $a, b, c$ - натуральные числа, то $a^3 + b^3 \neq c^3$".
(на всякий случай подчеркнул различия)

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 16:59 


23/01/24

89
Ну да, у прямоугольного треугольника в каждом конкретном случае будут только три конкретных числа и совсем не обязательно натуральных. Если вместо катетов и гипотенузы подставлять произвольные натуральные числа, то треугольник уже будет не прямоугольным и этот способ не подойдёт. Но ведь каждый произвольный треугольник можно преобразовать в 2 прямоугольных треугольника. И используя данный метод для каждого отдельного треугольника как-то доказать теорему Ферма и для натуральных чисел. Хотя и у прямоугольного треугольника стороны могут быть натуральными числами 3,4,5. Это как бы частный случай теоремы Ферма. Зато очень легко доказывается для для любых степеней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 17:17 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
K.,bntkm в сообщении #1626896 писал(а):
А что, трудно принять условие, что эти треугольники прямоугольные по определению?

Не то, чтобы трудно - невозможно.
Потому что, по определению, треугольник со сторонами
$a, b, c$ в зависимости от $n$ в выражении $a^n+b^n=c^n$ ,будет тупоугольным при $n<2$, прямоугольным при $n=2$, и остроугольным при $n>2$.
Вот для остроугольных треугольников и доказывайте...

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
K.,bntkm в сообщении #1626899 писал(а):
Но ведь каждый произвольный треугольник можно преобразовать в 2 прямоугольных треугольника. И используя данный метод для каждого отдельного треугольника как-то доказать теорему Ферма и для натуральных чисел
Может быть и можно. Как докажете - напишите доказательство.
То, что Ваш текущий текст доказательством теоремы Ферма не является, Вы поняли?
Phi^2 в сообщении #1626904 писал(а):
Или совершенно я не понял- о чём речь
Не поняли.
Пусть у нас треугольник со сторонами $a, b, c$, причем $c \geq a, b$. Из теоремы косинусов мы знаем, что если $a^2 + b^2 - c^2 = 0$, то треугольник прямоугольный, если $a^2 + b^2 - c^2 < 0$, то тупоугольный, если $a^2 + b^2 - c^2 > 0$, то остроугольный.
Из школьной алгебры мы знаем, что если $a^x + b^x - c^x = 0$ для какого-то $x$, то:
если $x > 2$, то $a^2 + b^2 - c^2 > 0$
если $x < 2$, то $a^2 + b^2 - c^2 < 0$
если $x = 2$, то $a^2 + b^2 - c^2 = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Очень простое доказательство теоремы Ферма.
Сообщение23.01.2024, 18:15 


23/01/24

89
Я понял. Ладно, буду думать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group