Диагональный аргумент Кантора

[zykov]

thepooh в сообщении #1607042 писал(а):

С Вас тогда доказательство обратного

Только после Вас!

[mihaild]

thepooh в сообщении #1607042 писал(а):

А в первом параграфе третьей главы я не нашёл доказательства того, что натуральные числа конечны, а их множество бесконечно.

Пардон, еще Вам нужен четвертый параграф третьей главы: из определения конечного множества прямо следует, что натуральные числа конечны, а теорема 10 говорит, что множество натуральных чисел бесконечно.

[thepooh]

mihaild в сообщении #1607052 писал(а):

Пардон, еще Вам нужен четвертый параграф третьей главы: из определения конечного множества прямо следует, что натуральные числа конечны, а теорема 10 говорит, что множество натуральных чисел бесконечно.

К теореме 10 вопросов нет.
А вот определение конечного множества вызывает вопросы.
"Множество $X$ называется конечным если $\left\lvert X\right\rvert=n$ для некоторого $n \in N$; в противном случае оно называется бесконечным."
Здесь заранее предполагается, что натуральные числа конечны.
Если же предположить, что натуральные числа могут быть бесконечными, то такое определение конечных множеств давать нельзя.

[mihaild]

thepooh в сообщении #1607061 писал(а):

Здесь заранее предполагается, что натуральные числа конечны

Нет, тут конечность определяется как равномощность некоторому натуральному числу. До этого у нас просто нет определения конечного множества. И можно давать ему какое угодно определение.
Точнее это Куратовский может давать ему какое угодно определение. Вам нужно или пользоваться данным им (или эквивалентным), или использовать другое слово.
UPD: а

thepooh в сообщении #1607061 писал(а):

предположить, что натуральные числа могут быть бесконечными

пока не дано определение конечности нельзя. Это то же самое, что предположить, что они могут быть абырвалг.

[Dedekind]

thepooh в сообщении #1607061 писал(а):

Если же предположить, что натуральные числа могут быть бесконечными, то такое определение конечных множеств давать нельзя.

А какое можно тогда?

[epros]

thepooh в сообщении #1607061 писал(а):

А вот определение конечного множества вызывает вопросы.
"Множество $X$ называется конечным если $\left\lvert X\right\rvert=n$ для некоторого $n \in N$; в противном случае оно называется бесконечным."
Здесь заранее предполагается, что натуральные числа конечны.

Это не "заранее предполагается", а таково определение понятия конечности.

[KhAl]

thepooh в сообщении #1607017 писал(а):

Выше встречалась фраза "все конечные натуральные числа". Эта фраза не имеет смысла по следующей причине. Мы можем взять конечное количество конечных натуральных чисел. Но как только мы попытаемся взять их "все", они начнут бесконечно возрастать и в пределе станут бесконечными. То есть сам оператор "все" вынуждает натуральные числа стать бесконечными. Это как парадокс брадобрея.

Это неверное рассуждение. То, что вы рассматриваете некоторый набор объектов, не значит, что вы должны вместе с ними рассматривать какие-то производные от них объекты — нельзя сказать, что множества {1, 2} не существует, потому что оно должно было бы вместе с числами 1 и 2 содержать их сумму 1+2. Предельный переход — это всего лишь одна из многих математических операций, и ничего не обязывает все множества быть замкнутыми относительно этой операции. Иначе нельзя было бы даже рациональные числа рассматривать как подмножество вещественных.

Вообще математики верят в "аксиому выделения": если есть множество $X$, и свойство $P$, то есть и множество $\{x \in X \mid x \text{ удовлетворяет свойству }P\}$. Так что если у вас есть множество, которое содержит каждое из конечных натуральных чисел, то есть и множество конечных натуральных чисел.

Что касается того, что именно обязывает каждое натуральное число быть конечным — мутный вопрос, из-за того, что плохо определено, что значит "конечное число" (и что такое "натуральное число" тоже). Но исторически натуральные числа использовались именно для подсчёта конечных наборов вещей, и незачем что-то менять. Можете считать, что это и есть аксиома. А можете считать натуральными числами то, что всегда считали, и всегда добавлять "конечные", когда говорите про конечные, но тогда на вас будут странно смотреть.

Формально конечность каждого из натуральных чисел закреплена аксиомой индукции. (можете применить индукцию к утверждению "число $n$ конечно", например)

thepooh в сообщении #1607017 писал(а):

Dedekind в сообщении #1607016 писал(а):

Неверно. И бесконечность множества натуральных чисел, и "конечность" каждого отдельного натурального числа - следует из их определения. А аксиомой в ZFC является то, что такое бесконечное множество вообще существует, следовательно, это определение - непротиворечиво.

Значит можно доказать, что эти определения непротиворечивы. А мне сказали что этого доказать нельзя.

Ну, это третьестепенный вопрос. Теоремы про то, что что-то там нельзя доказать, указывают, на основании каких аксиом нельзя это доказать. Например, нельзя доказать непротиворечивость ZFC при помощи ZFC. Но можно доказать непротиворечивость аксиом арифметики при помощи ZFC, зато её нельзя доказать какими-то более слабыми методами... Но это относится к математической логике, и сейчас нельзя в неё закапываться — для этого нужно слишком много нового узнавать, в сообщении на форуме не поместится, да и незачем.

-- 29.08.2023, 16:21 --

thepooh в сообщении #1607061 писал(а):

К теореме 10 вопросов нет.
А вот определение конечного множества вызывает вопросы.
"Множество $X$ называется конечным если $\left\lvert X\right\rvert=n$ для некоторого $n \in N$; в противном случае оно называется бесконечным."
Здесь заранее предполагается, что натуральные числа конечны.
Если же предположить, что натуральные числа могут быть бесконечными, то такое определение конечных множеств давать нельзя.

Этот разговор уже долгое время не имеет никакого отношения к диагональному методу. По вашему изначальному рассуждению у вас вопросы есть?

Кстати, замечу, что когда вы выписываете в столбик все свои "натуральные числа", вы пытаетесь построить биекцию между своими натуральнами числами и конечными натуральными числами — конечные будут соответствовать номерам строк, а ваши будут записаны в этих строках. Такой биекции действительно нет, поэтому я и сказал, что ошибки в рассуждении нет.

[talash]

thepooh в сообщении #1607061 писал(а):

К теореме 10 вопросов нет.
А вот определение конечного множества вызывает вопросы.
"Множество $X$ называется конечным если $\left\lvert X\right\rvert=n$ для некоторого $n \in N$; в противном случае оно называется бесконечным."
Здесь заранее предполагается, что натуральные числа конечны.
Если же предположить, что натуральные числа могут быть бесконечными, то такое определение конечных множеств давать нельзя.

Обратите внимание, что если отказаться от понятия "актуальной бесконечности", то есть если считать, что n может только стремиться к бесконечности, но никогда её не достигает, то тогда любое n будет конечным. А если сказать, "запишем бесконечное количество натуральных чисел", то тут уже непонятно, почему в этой записи не могут быть числа с бесконечным количеством цифр?

Глянул немного теории здесь. По-моему там всё можно переписать через индукцию и убрать актуальную бесконечность. Там же есть и доказательство несчётности действительных чисел без диагонального аргумента.

[thepooh]

Вы меня совсем запутали.
В самом начале темы кто-то писал что десятичная запись натурального числа содержит конечное количество ненулевых цифр. Но тогда самих натуральных чисел не может быть бесконечное количество. Нельзя же составить бесконечный набор чисел из конечного набора цифр. Мы получили противоречие. Значит натуральные числа могут быть бесконечными.

[Geen]

thepooh в сообщении #1607162 писал(а):

Но тогда самих натуральных чисел не может быть бесконечное количество.

Докажите.

[KhAl]

thepooh в сообщении #1607162 писал(а):

Нельзя же составить бесконечный набор чисел из конечного набора цифр.

Если у вас всего сто цифр, например — из них бесконечного набора чисел не составишь... Но можно составить бесконечный набор чисел, каждое из которых в отдельности состоит из конечного количества цифр — девять из одной цифры, девяноста из двух, и так далее

[bot]

KhAl в сообщении #1607175 писал(а):

Если у вас всего сто цифр

Зачем сто? Пусть всего одна цифра $1$. Что мешает составить бесконечный набор

$$1, 11, 111, 1111, \ldots ?$$

[thepooh]

Geen в сообщении #1607163 писал(а):

Докажите.

Так я же показал.
В начале темы я писал что-то вроде
...(бесконечное количество цифр)...2348798284
И называл это натуральными числами.
Мне сказали, что десятичная запись натурального числа может быть только следующего вида
...(бесконечное количество нулей)...(конечное количество ненулевых цифр)...2423414
Но если у числа справа конечное количество ненулевых цифр, то мы не можем получить бесконечный набор таких чисел.
А т.к. натуральный ряд бесконечен, то мы приходим к противоречию.
Значит исходная предпосылка неверна и десятичная запись натурального числа обязана иметь бесконечное количество ненулевых цифр. Тогда диагональный аргумент не работает.

[KhAl]

bot я неявно предположил, что ТС завёл себе мешок с цифрами, которые он достаёт по одному и составляет числа.

Теперь я явно предположу, что разговаривать с ТС смысла не имеет.

[thepooh]

KhAl в сообщении #1607175 писал(а):

Если у вас всего сто цифр, например — из них бесконечного набора чисел не составишь... Но можно составить бесконечный набор чисел, каждое из которых в отдельности состоит из конечного количества цифр — девять из одной цифры, девяноста из двух, и так далее

Хорошо, Вы будете составлять набор 9 из 1 цифры, 99 их 2-х, 999 из 3-х, и т.д.
Но пока количество цифр конечно Ваш набор будет конечен.
Либо Вы возьмёте все натуральные числа и тогда набор будет бесконечным, но и количество ненулевых цифр в десятичной записи каждого числа также будет бесконечно.
Эти две бесконечности существуют только парой.

-- 30.08.2023, 09:57 --

bot в сообщении #1607199 писал(а):

Зачем сто? Пусть всего одна цифра $1$. Что мешает составить бесконечный набор

$$1, 11, 111, 1111, \ldots ?$$

Так если у Вас количество единиц конечно, то Вы никак не получите бесконечный набор.