Степень суммы

[Alek]

Alek в сообщении #1598737 писал(а):

И давайте всё же сделаю еще один подход к "proves too much", мне пришел в голову лучший вариант, чем пример с тремя кубами.
Alek, вдохновившись Вашим первым постом, я доказал великую теорему mihaild (ВТМ): неравенство $x^n + y^n \geq z^n$ при $n > 2$ не имеет решений в натуральных числах при ограничении $x < y < z$.
(доказательство)
Помогите найти ошибку, пожалуйста.

Даже не знаю))
Возможно ошибка та же? В том смысле, что не следует перекидывать алгоритмы, специально приспособленные для других выражений?))

А по сути Вашего неравенства, можно предположить, что подставляя вместо зет нужные величины, неравенство будет или истинным, или ложным))
Ведь зет в этом выражении – не обязано прямо проистекать из суммы в левой части, ведь так?))

Поправьте, если ошибаюсь. И тогда – помогите найти ошибку! Пожалуйста))

-- 23.06.2023, 07:54 --

Dedekind в сообщении #1598740 писал(а):

Они такие большие слева, после суммирования, что их сильно много не нужно.
Так что хватит, может даже чутка остаться лишних. Если, конечно, натуральная степень справа не будет слишком большой... Почему нет?

Да ведь речь о том, что именно количества квадратов, НЕ суммы всего числа! Никогда не хватит для формирования натурального результата в той же степени.

[Booker48]

Я бы всё же попросил продемонстрировать как работает доказательство на примерах.
$5^3 + 6^3$ сравнить с $7^3$
и
$6^3 + 7^3$ сравнить с $8^3$
Тут ведь в обоих случаях слева каких-то квадратов не хватает, не?

[wrest]

mihaild в сообщении #1598736 писал(а):

Вы хотите сказать, что где-то чему-то подобному школьников учат? Тогда этим не форум, а департамент образования заниматься должен.

Там написано, по ссылке

(Оффтоп)

КОНСПЕКТ ФАКУЛЬТАТИВА ПО МАТЕМАТИКЕ


СЕПЕНЬ СУММЫ



геометрическая и арифметическая интерпретации степени суммы, разбор степенного выражения из теоремы Ферма.




Для 7– 11 классов средних общеобразовательных школ

[mihaild]

Alek в сообщении #1598737 писал(а):

Определение «числа с показателем» (в теме о ВТФ):

Т.е. "число с показателем" - это упорядоченная пара чисел, из которых первое называется "числом" ("основанием"), а второе "показателем", так?
Ну теперь договоримся пары для такого случая записывать как $x^y$, и придем к тому, что я предлагал пару страниц назад.

Alek в сообщении #1598741 писал(а):

В том смысле, что не следует перекидывать алгоритмы, специально приспособленные для других выражений?

Так не работает. Нужно указать, где конкретно ошибка.
Представьте, что моё доказательство читает человек, ничего не знающий про Ваше, которому неизвестно, для чего там был приспособлен какой алгоритм.
Вы вообще знаете, что такое доказательство?

Alek в сообщении #1598741 писал(а):

Ведь зет в этом выражении – не обязано прямо проистекать из суммы в левой части, ведь так?

Что значит "число проистекает из суммы"?

wrest в сообщении #1598743 писал(а):

Там написано, по ссылке

Ну то что на каком-то сайте написано "для школьников" не означает существование хотя бы одной школы, где по этим материалам учат. Я надеюсь, что не означает.

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598741 писал(а):

Да ведь речь о том, что именно количества квадратов,

Слева 20 и 21 = 41 квадрат, справа, 29, но это даже замного, по факту их 25 -26.
Неужели не хватит?!
Речь ведь идет только о количестве, размерами пренебрегаем, да?

[Alek]

Booker48 в сообщении #1598742 писал(а):

Я бы всё же попросил продемонстрировать как работает доказательство на примерах.
$5^3 + 6^3$ сравнить с $7^3$
и
$6^3 + 7^3$ сравнить с $8^3$
Тут ведь в обоих случаях слева каких-то квадратов не хватает, не?

Если в парадигме ВТФ, о чём этот топик, то из первого выражения, нужны только $5^3 + 6^3$, потом $6^3 + 7^3$.
Числа для сравнения, здеь не нужны, это другой алгоритм.

Итак:
$5^3 + 6^3$

$5 \cdot\ 5^2 + 6 \cdot\ 6^2$ (пять квадратов со стороной пять, и шесть квадратов со стороной шесть).

Числа не Пифагоровы. Жаль, было бы намного быстрее и короче))
Вариант, ҡогда вначале, суммируются пары квадратов, внутри каждого слагаемого:

$5^2 + 2 \cdot\ 5^2 + 5^2 + 5^2= 10^2 + 5^2$

$ 6^2 + 2 \cdot\ 6^2 + 6^2 + 6^2 + 6^2 = 12^2 + 6^2+ 6^2$

$10^2 + 12^2 + 6^2+ 6^2 + 5^2$

Всё, итерация завершена.
Считаем количество получившихся квадратов: их ровно пять штук.
Считаем количество квадратов, бывших в наибольшем слагаемом: их шесть.
Исходя из соотношения: $z>y>x$, количество квадратов с основанием зет, априори должно быть больше, чем было изначально квадратов в наибольшем слагаемом. Поскольку их меньше, (даже чем было во втором) – пять, то вывод:
Равенство в выражении, невозможно.

Вариант, ҡогда суммируются не Пифагоровы пары квадратов, меж двух слагаемых:

$ 5^2 + 6^2 + 2 \cdot\ 5 \cdot\ 6$

$ 5^2 + 6^2 + 2 \cdot\ 5 \cdot\ 6$

И остаток – $6^2 + 6^2 + 5^2 + 2$,

$11^2 + 11^2 + 6^2 + 6^2 + 5^2 + 2$

Всё, итерация завершена.
Считаем количество получившихся квадратов: их ровно пять штук.( Если с «хвостом 2», то шесть элементов)
Считаем количество квадратов, бывших в наибольшем слагаемом: их шесть.
Исходя из соотношения: $z>y>x$, количество квадратов с основанием зет, априори должно быть больше, чем было изначально квадратов в наибольшем слагаемом. Поскольку не вышло больше – пять, то вывод:
Равенство в выражении, невозможно.

-- 23.06.2023, 09:40 --

Лукомор в сообщении #1598745 писал(а):

Слева 20 и 21 = 41 квадрат, справа, 29, но это даже замного, по факту их 25 -26.
Неужели не хватит?!
Речь ведь идет только о количестве, размерами пренебрегаем, да?

Размерами пренебрегаем, это Вы точно подметили)) Да и я Вам об этом рисовал..

Слева, в наибольшем слагаемом, всего 21 квадрат. До всех суммирований, помните?
После суммирования, слева – тоже 21 квадрат, а их размеры, никого не волнуют. И об этом үпоминалось))

Проверьте: именно так я и расписывал. Не нужно складывать количества квадратов первого и второго слагаемых.
Сравниваются количества квадратов в наибольшем слагаемом, и потом смотрим на соотношение: $z>y>x$.

Там мы видим: основание зет, больше основания игрек – наибольшего слагаемого.
И количество квадратов с основанием зет – из-за этого априори больше.
Но после всего лишь одного суммирования, их никогда НЕ больше.
Потому и равенства нужного не будет.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598746 писал(а):

количество квадратов с основанием зет, априори должно быть больше, чем было изначально квадратов в наибольшем слагаемом

Где их должно быть больше?

Alek в сообщении #1598746 писал(а):

Поскольку их меньше, (даже чем было во втором) – пять

Где их меньше (пять)?

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598746 писал(а):

Слева, в наибольшем слагаемом, всего 21 квадрат. До всех суммирований, помните?

А мы ничего не будем суммировать.
Слева всего $21+20=41$ квадрат.
справа асего 29 квадратов.
$41>29$ Квадратов хватает с большим запасом.
А их размеры никого не волнуют. Это одно замечание.
Второе.
Вы зачем-то сразу выбираете одно единственное значение $z$ связанное с другими двумя переменными выражением $z^2=x^2+y^2$.
А нужное решение, если бы оно было, спрятано в интервале $y<z<\sqrt{x^2+y^2}$
Вот и весь фокус. То что вы дклаете - это именно ловкий математический фокус.

[wrest]

Alek
Вы, кстати, в курсе, что любое натуральное число можно разбить на сумму не более чем четырёх квадратов? Так что, поскольку

Alek в сообщении #1598746 писал(а):

их размеры, никого не волнуют. И об этом үпоминалось)

то можно сразу сказать что слева можно получить сумму не более чем четырёх квадратов. А справа, при $z>4$, вашим способом всегда можно получить более четырёх квадратов. Поскольку, опять же,

Alek в сообщении #1598746 писал(а):

их размеры, никого не волнуют. И об этом үпоминалось)

то тем самым не нужно всех дополнительных рассуждений про пифагоровы тройки и $4x^2=(2x)^2$, и вывод о том что слева можно записать сумму из меньшего количества квадратов чем справа, очевиден прям сразу.

Но скажите, вас не смущает, что в примере $5^2=3^2+4^2$ -- слева один квадрат, справа в два раза больше квадратов, но равенство таки есть?

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1598705 писал(а):

У Вас тут случайно индексы суммирования совпали с переменными, или в этом есть глубокий смысл?

То есть если надо показать, что $x^2$ складывается икс раз, то это нельзя записывать через знак суммы, как я это сделал $\sum\limits_{x}^{}x^2$? Просто такая запись очень компактная получается. Можно конечно через многоточие записать, а с помощью фигурной скобки записать количество слагаемых, но это длинно будет

[wrest]

Antoshka в сообщении #1598763 писал(а):

но это длинно будет

Можно вот так ещё:

wrest в сообщении #1598392 писал(а):

$n^3=\sum \limits_{i=1}^{n}n^2$

по компактности норм.

[Alek]

mihaild в сообщении #1598747 писал(а):

Где их должно быть больше?

Справа.

mihaild в сообщении #1598747 писал(а):

Где их меньше (пять)?

Слева.

-- 23.06.2023, 17:09 --

Лукомор в сообщении #1598751 писал(а):

А мы ничего не будем суммировать.
Вот и весь фокус. То что вы дклаете - это именно ловкий математический фокус.

Цитата:

Слева всего $21+20=41$ квадрат.

Верно.

Цитата:

справа асего 29 квадратов.

Неверно))

Цитата:

$41>29$ Квадратов хватает с большим запасом.

Для сложения? Да.

Цитата:

А их размеры никого не волнуют. Это одно замечание.

Так.

Цитата:

Вы зачем-то сразу выбираете одно единственное значение $z$ связанное с другими двумя переменными выражением $z^2=x^2+y^2$.

Выбираю не значение зет, а констатирирую факт, что основание зет, больше основания игрек.

Цитата:

А нужное решение, если бы оно было, спрятано в интервале $y<z<\sqrt{x^2+y^2}$

Численное решение? В алгоритме не используются. Только количества квадратов.

-- 23.06.2023, 17:14 --

wrest в сообщении #1598752 писал(а):

Но скажите, вас не смущает, что в примере $5^2=3^2+4^2$ -- слева один квадрат, справа в два раза больше квадратов, но равенство таки есть?

Не смущает))
Не перепутаны ли местами сено-солома?.. Впрочем, то дело Вашего вкуса, пусть так.
Да и Пифагоровы тройки, выражением из ВТФ не считают))

[wrest]

Alek в сообщении #1598767 писал(а):

Да и Пифагоровы тройки, выражением из ВТФ не считают))

Так тут ВТФ уже и не пахнет, вы же всё разбиваете на сумму квадратов, после чего учитываете

Alek в сообщении #1598767 писал(а):

Только количества квадратов.

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598767 писал(а):

Цитата:
справа асего 29 квадратов. Неверно))

Согласен.
Ошибка у Вас.
На самом деле справа их 25 или 26.

[Alek]

wrest в сообщении #1598776 писал(а):

Так тут ВТФ уже и не пахнет, вы же всё разбиваете на сумму квадратов, после чего учитываете

В уравнении $3^2+4^2=5^2$? И впрямь, амбре никакого))
На квадраты всё не разбиваю.