2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 01:45 


21/04/19
1183
Да, действительно, векторы плоскости $x, y$ отображаются не только в ось $z$, но и в плоскость $x, y$.

Значит, $R[A]=Z\cup A, \; R[B]=Y\cup B\Rightarrow R[A]\cap R[B]=(Z\cup A)\cap (Y\cup B)=X\cup Y\cup Z$.

Если бы было $R[A\cap B]=C$, все равно было бы $R[A\cap B]\not \subset R[A]\cap R[B]$, потому что $C\not \subset X\cup Y\cup Z$, но

Mikhail_K в сообщении #1520049 писал(а):
На самом деле, даже $R[A\cap B]=C$ неверно

Почему? Ведь все векторы, ортогональные векторам оси $x$, находятся в плоскости $y, z$, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 02:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8348
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1520069 писал(а):
Значит, $R[A]=Z\cup A$
Нет. Например вектор $(1, 0, 1)$, не принадлежащий $Z \cup A$, разве не ортогонален вектору $(0, 1, 0)$, принадлежащему $A$?
Vladimir Pliassov в сообщении #1520069 писал(а):
Ведь все векторы, ортогональные векторам оси $x$, находятся в плоскости $y, z$, разве нет?
Нет. На оси $x$ есть вектор, ортогональный, например, вектору $(1, 1, 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Geen в сообщении #1519360 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1519357

писал(а):
в учебнике сказано
Вот если Вам непонятно какое-то место в учебнике, а учебник Вы до этого места весь прочитали, то спрашивайте именно про это место

+100500
Таким способом как сейчас Вы Ленга (о какой книге речь, кстати?) никогда даже и не начнете изучать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 12:36 


21/04/19
1183
mihaild в сообщении #1520072 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1520069 писал(а):
Значит, $R[A]=Z\cup A$
Нет. Например вектор $(1, 0, 1)$, не принадлежащий $Z \cup A$, разве не ортогонален вектору $(0, 1, 0)$, принадлежащему $A$?

Ортогонален, вектор $(0, 1, 0)$ ортогонален всей плоскости $x z$, и каждый вектор плоскости $x y$ ортогонален соответствующей плоскости, ортогональной плоскости $x y$, так что, если $D$ обозначить множество всех векторов пространства $L$, имеем $R[A]=D$, аналогично, $R[B]=D$, и поэтому $R[A]\cap R[B]=D$.

mihaild в сообщении #1520072 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1520069 писал(а):
Ведь все векторы, ортогональные векторам оси $x$, находятся в плоскости $y, z$, разве нет?
Нет. На оси $x$ есть вектор, ортогональный, например, вектору $(1, 1, 1)$.

Это нулевой вектор? Тогда, конечно, $R[A\cap B]=D$, и

$$R[A\cap B]=R[A]\cap R[B].$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8348
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1520102 писал(а):
Это нулевой вектор? Тогда, конечно, $R[A\cap B]=D$,
Да, именно так. $R[X]$ - это множество векторов, ортогональных хоть какому-то вектору из $X$, а не всем, как может сначала показаться.

По поводу исходной задачи
Mikhail_K в сообщении #1519654 писал(а):
подобрать такое отношение $R$ и такие множества $A$ и $B$, чтобы $R[A\cap B]\neq R[A]\cap R[B]$.
Тут можно даже функциональное отношение взять. И нам нужен будет такой элемент $t$, что $f(a) = t$ для какого-то $a \in A$, аналогично $f(b) = t$ для какого-то $b \in B$ (возможно $a = b$, возможно нет), но если $c \in A \cap B$ то $f(c) \neq t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 13:59 


21/04/19
1183
Возвращаясь к тому, что обсуждалось несколькими строчками выше.

Если из всех рассматриваемых множеств исключить нулевой вектор, то касаемо $X$ получим $R[A\cap B]=C$, тогда, поскольку по-прежнему $R[A]\cap R[B]=D$, будет

$R[A\cap B]\neq R[A]\cap R[B]$ и при этом $R[A\cap B]\subset R[A]\cap R[B]$, то есть $R[A\cap B]\subsetneq R[A]\cap R[B]$.

Задача решена?

Но даже если решена, хотелось бы найти еще как можно больше решений -- используя советы
Mikhail_K в сообщении #1519716 писал(а):
Как это можно делать не вслепую? Ну вот смотрите. Благодаря теореме из книги Вы знаете, что в любом случае у Вас будет $R[A\cap B]\subset R[A]\cap R[B]$. Вам надо, чтобы при этом было $R[A\cap B]\neq R[A]\cap R[B]$. Это значит, что в множестве $R[A]\cap R[B]$ должен содержаться хотя бы один элемент, не принадлежащий $R[A\cap B]$. То есть элемент, одновременно лежащий в $R[A]$ и $R[B]$, но не в $R[A\cap B]$. Ну вот и подумайте, как построить отношение $R$ и множества $A$ и $B$, чтобы так получилось.

mihaild в сообщении #1520105 писал(а):
Тут можно даже функциональное отношение взять. И нам нужен будет такой элемент $t$, что $f(a) = t$ для какого-то $a \in A$, аналогично $f(b) = t$ для какого-то $b \in B$ (возможно $a = b$, возможно нет), но если $c \in A \cap B$ то $f(c) \neq t$.


-- 26.05.2021, 14:18 --

пианист в сообщении #1520095 писал(а):
Таким способом как сейчас Вы Ленга (о какой книге речь, кстати?) никогда даже и не начнете изучать.

Это Ленг "Алгебра" http://www.math.nsc.ru/LBRT/a1/files/leng.pdf

Я начал, но приостановил чтение, сейчас читаю Келли http://alexandr4784.narod.ru/dkelli/dkelli_00_03.pdf (то есть дошел до третьего пункта). Так что получается как Вы говорите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Vladimir Pliassov
Зачем с боями и большим трудом продираться через сложные книги? Может взять книги попроще? Например, алгебру проще читать по Кострикину или Винбергу или Калужнину ..., чем по Ленгу. А общую топологию проще изучать, например, по книге Сидней Моррис "Топология без слёз", чем по Келли. Хотя на вкус и цвет товарища нет. Это я лентяй люблю простые книги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 15:55 


21/04/19
1183
Пусть $R$ -- возведение в квадрат всех чисел, кроме $5$ и $7$, а $5$ и $7$ переводятся в $1$;

$A$ -- множество, состоящее из четных чисел и числа $5$;

$B$ -- множество, состоящее из чисел, которые делятся на $3$ и числа $7$. Тогда

$$A\cap B$ -- множество, состоящее из чисел, которые делятся на $6$;

$R[A\cap B]$ -- множество квадратов чисел, которые делятся на $6: \;\{\ldots 36, 144, 324, \ldots;\}$

$R[A]$ -- множество, состоящее из квадратов четных чисел и числа $1$;

$R[B]$ -- множество, состоящее из квадратов чисел, которые делятся на $3$ и числа $1$,

$R[A]\cap R[B]$ -- множество, состоящее из квадратов чисел, которые делятся на $6$ и числа $1: \; \{\ldots 1, 36, 144, 324, \ldots\}.$

Таким образом,

$$R[A\cap B]\subsetneq R[A]\cap R[B].$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8348
Цюрих
Да, так работает, но можно и гораздо проще. Зачем нам тут вообще слева что-то кроме $5$ и $7$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение26.05.2021, 18:57 


21/04/19
1183
1.

Да, правда.

Пусть $R$ переводит $5$ и $7$ в $1$;

$A=\{5\}$;

$B=\{7\}$. Тогда

$A\cap B=\varnothing$;

$R[A\cap B]=\varnothing$;

$R[A]=\{1\}$;

$R[B]=\{1\}$;

$R[A]\cap R[B]=\{1\}$.

Таким образом,

$$R[A\cap B]\subsetneq R[A]\cap R[B].$$

2.

Путь $\textbf x, \textbf y, \textbf z$ будет ортогональный базис в трехмерном евклидовом пространстве $L$.

Пусть $A$ будет множеством всех векторов линейной оболочки векторов $\textbf x, \textbf y$, кроме нулевого вектора,

$B$ -- множеством всех векторов линейной оболочки векторов $\textbf x, \textbf z$, кроме нулевого вектора,

$C$ -- множеством всех векторов линейной оболочки векторов $\textbf y, \textbf z$, кроме нулевого вектора,

$X$ -- множеством всех векторов линейной оболочки вектора $\textbf x$, кроме нулевого вектора,

$Y$ -- множеством всех векторов линейной оболочки вектора $\textbf y$, кроме нулевого вектора,

$Z$ -- множеством всех векторов линейной оболочки вектора $\textbf z$, кроме нулевого вектора,

$D$ -- множеством всех векторов пространства $L$, кроме нулевого вектора,

и пусть $R$ будет отношением ортогональности векторов пространства $L$.

Тогда $A\cap B=X, \; R[A\cap B]=C$, то есть каждый вектор множества $X$ ортогонален каждому вектору множества $C$,

$R[A]=D$, аналогично, $R[B]=D$, и поэтому $R[A]\cap R[B]=D$.

Таким образом,

$$R[A\cap B]\subsetneq R[A]\cap R[B].$$

-- 26.05.2021, 19:06 --

мат-ламер в сообщении #1520119 писал(а):
Зачем с боями и большим трудом продираться через сложные книги? Может взять книги попроще? Например, алгебру проще читать по Кострикину или Винбергу или Калужнину ..., чем по Ленгу. А общую топологию проще изучать, например, по книге Сидней Моррис "Топология без слёз", чем по Келли.

Мне хочется потруднее. :) За рекомендации спасибо, обязательно попробую.

Винберга попробовал угрызть -- не скажу, чтобы он оказался подарком.

Кстати, Келли пока идет хорошо (с помощью участников сайта).

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение27.05.2021, 20:12 


21/04/19
1183
Цитата:
В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:

$$\{6,11\}=\{11,6\}=\{11,11,6,11,6\}.$$
(Википедия)

Не знаю, хорошая ли это формулировка, но, во всяком случае, как я понимаю, добавление к множеству элементов, идентичных элементам, уже принадлежащим множеству, превращает его в мультимножество.

В таком случае при $a=b\ne c$ отношение равенства на $\{a, b, c\}$ есть отношение равенства на мультимножестве. Его матрица (не знаю, как ее правильно написать) --

$$\begin {matrix}
&a&b&c\\
a&1&1&0\\
b&1&1&0\\
c&0&0&1
\end {matrix}\;.\eqno {(1)}$$
Если же "очистить" мультимножество от элементов, делающих его мультимножеством, то получим множество, в данном случае -- если "очистить" от $a$, -- получим множество $\{b, c\}$, и матрицей отношения равенства на нем будет

$$\begin {matrix}
&b&c\\
b&1&0\\
c&0&1
\end {matrix}\;.\eqno {(2)}$$
То есть матрицей отношения равенства на множестве является единичная матрица. При этом речь может идти только о равенстве каждого элемента самому себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение27.05.2021, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Vladimir Pliassov в сообщении #1520245 писал(а):
Не знаю, хорошая ли это формулировка
Запись с фигурными скобками, например $\{a,b\}$ означает просто множество, которому принадлежат элементы $a$ и $b$ и не принадлежит никакой другой элемент.
Исходя из этого определения, понятно, что $\{a,a\}$ - это не мультимножество, а просто множество $\{a\}$.
Может быть, где-то под $\{a,a\}$ понимается и соответствующее мультимножество, но в теории множеств понимается вот это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение27.05.2021, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Vladimir Pliassov в сообщении #1520245 писал(а):
как я понимаю, добавление к множеству элементов, идентичных элементам, уже принадлежащим множеству, превращает его в мультимножество.
Нет. В теории множеств нет никаких мультимножеств, и $\{a,b\}\cup\{b\}=\{a,b\}$.
Но, разумеется, мультимножества можно смоделировать в теории множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение27.05.2021, 20:36 


21/04/19
1183
Но употребима ли (в теории множеств?) матрица отношения равенства на $\{a, b, c\}$ при $a=b\ne c$

$$\begin {matrix}
&a&b&c\\
a&1&1&0\\
b&1&1&0\\
c&0&0&1
\end {matrix}\;?\eqno {(1)}$$
Ведь отношения берутся на множествах, а $\{a, b, c\}$ -- мультимножество (пусть и не в теории множеств).

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение27.05.2021, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Vladimir Pliassov в сообщении #1520254 писал(а):
Но употребима ли (в теории множеств?) матрица отношения равенства
Никогда не встречал никаких матриц отношения. Бинарное отношение $R$ на множестве $X$ обычно отождествляется с подмножеством $X^2$, но матрицей это обычно не называют.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520254 писал(а):
на $\{a, b, c\}$ при $a=b\ne c$
Ещё раз: в теории множеств нет мультимножеств, и если у Вас $a=b\ne c$, то $\{a,b,c\}=\{a,c\}=\{b,c\}$ есть множество из двух элементов. Соответственно, отношению равенства на этом множестве соответствует множество $\{(a,a),(c,c)\}\subset\{a,c\}^2=\{(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)\}$. Если хотите, можете изобразить это "матрицей".

Vladimir Pliassov в сообщении #1520254 писал(а):
Ведь отношения берутся на множествах, а $\{a, b, c\}$ -- мультимножество (пусть и не в теории множеств).
Соответственно, надо пользоваться теорией мультимножеств, а не теорией множеств, либо строить модель теории мультимножеств в теории множеств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 127 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group