Топология, первое знакомство.

[Vladimir Pliassov]

Кажется, у меня разрешается одно недоразумение.

Есть два значения термина «открытое множество»: первое --

Цитата:

Открытое множество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (Википедия)

и второе --

Цитата:

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры) (Википедия)

То есть, если взять множество $X=\mathbb R$ в качестве основного множества дискретного пространства $(X, \Omega)$, то, поскольку элементами топологии $\Omega$ будут все подмножества множества $\mathbb R$, и поэтому среди них будут как открытые промежутки $(a, b)$ -- то есть открытые множества (в смысле первого определения), -- так и замкнутые промежутки [c, d], -- то есть замкнутые множества, -- эти замкнутые множества будут называться открытыми множествами, потому что так называются элементы множества $\Omega$.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519346 писал(а):

эти замкнутые множества будут называться открытыми множествами

Нет, но множества, замкнутые в одной топологии, могут быть открытыми в другой.
Сами по себе множества не являются ни замкнутыми, ни открытыми.

И перестаньте читать "левые источники" - все определения есть в учебнике, который Вы читаете (и лучше читать только один учебник).

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519346 писал(а):

То есть, если взять множество $X=\mathbb R$ в качестве основного множества дискретного пространства $(X, \Omega)$, то, поскольку элементами топологии $\Omega$ будут все подмножества множества $\mathbb R$, и поэтому среди них будут как открытые промежутки $(a, b)$ -- то есть открытые множества (в смысле первого определения), -- так и замкнутые промежутки [c, d], --то есть замкнутые множества, -- эти замкнутые множества будут называться открытыми множествами, потому что так называются элементы множества $\Omega$.

Всё, кроме зачёркнутого, верно. На самом деле здесь нет двух разных определений открытого множества. В пространстве $\mathbb{R}$ с дискретной топологией отрезки $[a,b]$ и вообще любые множества будут открытыми множествами и в смысле первого определения тоже - потому что в пространстве $\mathbb{R}$ с дискретной топологией термин "окрестность" будет означать не то, что в пространстве $\mathbb{R}$ со стандартной топологией. (Вообще, это определение сформулировано в Википедии для метрических пространств, но его можно переформулировать и для топологических пространств, просто тогда оно будет скорее не определением, а утверждением. Здесь надо ещё иметь в виду, что термин "окрестность" в топологии многозначный. Поэтому Вам и не советуют читать интернет - в интернете могут использоваться не те значения терминов, что в Вашем учебнике.) Какие множества открытые, какие множества являются окрестностями - определяется топологией. В пространстве $\mathbb{R}$ с дискретной топологией они одни, в пространстве $\mathbb{R}$ со стандартной топологией они другие.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

Насчет учебников.

Я не встречал ни одного учебника, в котором последовательно, без скачков материал излагался бы с азов.

Недавно взял Ленга, честно, с самого начала, с самых элементарных вещей, но уже через несколько страниц он приводит пример из топологии. Вот занялся топологией, освою ее, а потом начну изучать абелевы группы.

Или еще: в учебнике сказано, что множества топологии называются открытыми, а почему они так называются, сразу не говорят, даже не намекают, так что пытаешься как-то сам выяснить, читаешь запрещенный интернет, но и там сразу не говорят и не намекают.

Правда, учебник Келли пока что идет хорошо, посмотрим, как будет дальше.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519357 писал(а):

в учебнике сказано

Вот если Вам непонятно какое-то место в учебнике, а учебник Вы до этого места весь прочитали, то спрашивайте именно про это место. Так будет понятнее что Вы спрашиваете, и как именно Вам лучше отвечать.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519357 писал(а):

а почему они так называются, сразу не говорят, даже не намекают

Вы матанализ изучали? Помните там многие теоремы формулируются/доказываются с использованием открытых "окрестностей"? Так вот эти теоремы остаются справедливыми при любом выборе топологии. Т.е. в доказательстве этих теорем от "открытости" используются только свойства "топологии".

[Vladimir Pliassov]

Не могу похвастаться глубоким знанием анализа, но мне кажется, что я хотя бы понимаю, о чем там идет речь, а в топологии -- совсем не понимаю: если в ней замкнутые промежутки могут являться открытыми множествами, то о чем говорить?

Впрочем, наверное, надо набраться терпения, читать учебник с самого начала (что я и делаю) и когда-нибудь, может быть, дойти до понимания.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov

Наверное, Вы слышали, что в узком смысле топология изучает свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при деформациях без разрывов и склеиваний. Ну, сферу например можно такой деформацией превратить в куб, но нельзя превратить в бублик.

Если мы хотим изучать только такие свойства, то в нашей теории не должно быть упоминаний про какие-нибудь углы или расстояния - потому что всё это при деформациях меняется. Но, например, эта теория должна говорить нам про границы и внутренности тех или иных множеств. Если мы нарисуем на сфере множество, а потом начнём сферу деформировать вместе с этим множеством на ней, то точки границы этого множества после деформации так и останутся точками границы, а точки внутренности так и останутся точками внутренности. Если мы возьмём на сфере открытое множество (в стандартном смысле), то после деформаций оно так и останется открытым.

Оказалось, что такую теорию можно построить на аксиомах, описывающих как раз свойства открытых множеств. Интуитивный смысл открытого множества - это множество, "окутывающее со всех сторон" любую свою точку. То есть если мы возьмём любую точку открытого множества, то "в непосредственной близости" от неё будут находиться только точки того же самого множества, а точки его дополнения будут "поодаль". Аксиомы топологии, в общем, соответствуют этому интуитивному образу: если мы возьмём объединение произвольной системы открытых множеств, и возьмём точку из этого объединения, то она "окутывается" даже тем открытым множеством из системы, которому принадлежит, а уж объединением "окутывается" тем более; значит, объединение открыто. Если у нас есть пересечение двух открытых множеств, то каждая точка пересечения "окутывается" одновременно и первым множеством, и вторым, а значит и пересечением, поэтому пересечение открыто. Как-то так.

Но после того как аксиомы сформулировали, оказалось, что им удовлетворяют не только привычные нам открытые множества, но и совсем непривычные. Это не уникальный случай в математике. Когда Лобачевский формулировал свою геометрию Лобачевского, он говорил в ней про "точки", "прямые", и видимо представлял их себе как "настоящие" точки и прямые, пусть и со странными свойствами. Но впоследствии оказалось, что аксиомам двумерной геометрии Лобачевского удовлетворяют также, вместо точек всей плоскости Лобачевского - точки одного открытого круга, а вместо прямых - хорды этого круга.

Такое явление можно считать неприятностью - вроде бы, хотели сформулировать аксиомы для описания свойств фигур, не меняющихся при деформациях - но обычных деформациях и в обычном "мире" - на числовой прямой, или на плоскости, или в $\mathbb{R}^3$ со стандартной топологией. А оказалось, что аксиомам удовлетворяют также совсем необычные "открытые множества" в совсем необычных "мирах" (топологических пространствах), допускающих совсем необычные "деформации".

Но можно считать такое явление, наоборот, достоинством. Потому что теперь мы автоматически можем применять топологические методы не только для описания обычного "мира" (какого-нибудь $\mathbb{R}^n$ со стандартной топологией), но и всех этих необычных. Например, мы можем взять множество не точек, а функций, задать в этом множестве удовлетворяющие аксиомам "открытые подмножества" - и дальше решать задачи, связанные с функциями, с помощью готового топологического аппарата. Или какую-нибудь поверхность в $\mathbb{R}^n$ со стандартной топологией, бутылку Клейна какую-нибудь, бывает удобно заменить её развёрткой - например плоской развёрткой - но уже с нестандартной топологией (фактортопологией), так как можно установить, что эти два пространства, со стандартной и с нестандартной топологией, топологически неразличимы (гомеоморфны).

Как-то так.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо! Это было очень интересно и информативно, мне кажется, я еще приблизился к пониманию предмета.

Mikhail_K в сообщении #1519367 писал(а):

Интуитивный смысл открытого множества - это множество, "окутывающее со всех сторон" любую свою точку. То есть если мы возьмём любую точку открытого множества, то "в непосредственной близости" от неё будут находиться только точки того же самого множества, а точки его дополнения будут "поодаль".

Если мы возьмем совокупность непересекающихся открытых множеств и в каждом множестве одну точку, то получим дискретное множество этих точек (можно так сказать? Я уже запутался) -- такую дискретную топологию я понимаю.

Mikhail_K в сообщении #1519367 писал(а):

если мы возьмём объединение произвольной системы открытых множеств, и возьмём точку из этого объединения, то она "окутывается" даже тем открытым множеством из системы, которому принадлежит, а уж объединением "окутывается" тем более

но это если эти открытые множества пересекаются?

Mikhail_K в сообщении #1519367 писал(а):

А оказалось, что аксиомам удовлетворяют также совсем необычные "открытые множества" в совсем необычных "мирах" (топологических пространствах), допускающих совсем необычные "деформации".

Общий смысл здесь ясен, но, конечно, хотелось бы со временем познакомиться с деталями

Mikhail_K в сообщении #1519367 писал(а):

теперь мы автоматически можем применять топологические методы не только для описания обычного "мира" (какого-нибудь $\mathbb{R}^n$ со стандартной топологией), но и всех этих необычных.

Наш трехмерный мир наделен стандартной топологией?

Mikhail_K в сообщении #1519367 писал(а):

Например, мы можем взять множество не точек, а функций, задать в этом множестве удовлетворяющие аксиомам "открытые подмножества" - и дальше решать задачи, связанные с функциями, с помощью готового топологического аппарата.

Это в общем понятно.

Mikhail_K в сообщении #1519367 писал(а):

Или какую-нибудь поверхность в $\mathbb{R}^n$ со стандартной топологией, бутылку Клейна какую-нибудь, бывает удобно заменить её развёрткой - например плоской развёрткой - но уже с нестандартной топологией (фактортопологией), так как можно установить, что эти два пространства, со стандартной и с нестандартной топологией, топологически неразличимы (гомеоморфны).

В это надо еще вникнуть, но теперь мне кажется, что это возможно. Еще раз спасибо!

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519370 писал(а):

но это если эти открытые множества пересекаются?

Почему? Не обязательно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519370 писал(а):

Наш трехмерный мир наделен стандартной топологией?

По всей видимости, да, но вообще это дискуссионный вопрос в физике. Кто знает, может, наша Вселенная является каким-нибудь трёхмерным многообразием, отличным от $\mathbb{R}^3$ - типа (например и очень грубо), "если долго лететь в одну сторону, то рано или поздно прилетишь в исходную точку с другой стороны".
Локально, конечно, топология стандартная - если не делать круговселенных путешествий (если таковые возможны), отличий от стандартной топологии не заметить.

[пианист]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519370 писал(а):

Общий смысл здесь ясен, но, конечно, хотелось бы со временем познакомиться с деталями

Например, топология Зарисского.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1519367 писал(а):

если мы возьмём объединение произвольной системы открытых множеств, и возьмём точку из этого объединения, то она "окутывается" даже тем открытым множеством из системы, которому принадлежит, а уж объединением "окутывается" тем более

Mikhail_K в сообщении #1519380 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519370 писал(а):

но это если эти открытые множества пересекаются?

Почему?

Если под тем, что она "окутывается", Вы имеете в виду, что имеется ее окрестность, которая принадлежит тому множеству, которым она "окутывается", то, если открытые множества, о которых идет речь, не пересекаются, эта окрестность не принадлежит остальным множествам, и, значит, ими точка не "окутывается".

Кстати, в этом случае объединение системы открытых множеств есть дискретное объединение непрерывных множеств -- можно так сказать?

Mikhail_K в сообщении #1519380 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519370 писал(а):

Наш трехмерный мир наделен стандартной топологией?

Локально, конечно, топология стандартная - если не делать круговселенных путешествий (если таковые возможны), отличий от стандартной топологии не заметить.

Хорошо, какая-то определенность есть.

-- 21.05.2021, 12:32 --

пианист в сообщении #1519390 писал(а):

Например, топология Зарисского.

Для прямой:

Цитата:

$X=\mathbb R$, а $\Omega$ состоит из пустого множества и дополнений всевозможных конечных подмножеств прямой $\mathbb R$

http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf стр. 12

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519396 писал(а):

эта окрестность не принадлежит остальным множествам, и, значит, ими точка не "окутывается".

Но всё равно "окутывается" целым объединением.

[Vladimir Pliassov]

Топология Зарисского состоит из всевозможных "проколотых" в конечном числе точек копий $\mathbb R$?

-- 21.05.2021, 12:55 --

Mikhail_K в сообщении #1519397 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519396 писал(а):

эта окрестность не принадлежит остальным множествам, и, значит, ими точка не "окутывается".

Но всё равно "окутывается" целым объединением.

То есть, так сказать, заслуга одного множества объединения приписывается всему объединению?

[пианист]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519398 писал(а):

Топология Зарисского состоит из всевозможных "проколотых" в конечном числе точек копий $\mathbb R$?

Да. Но ${\mathbb R}^1$ это вырожденный случай, не особенно интересный, разве лишь как экзотический пример.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519398 писал(а):

То есть, так сказать, заслуга одного множества объединения приписывается всему объединению?

Любое множество (кроме пустого) можно представить как объединение двух (непересекающихся) множеств. А "минимальное" множество совсем не обязано существовать. Например, в стандартной топологии на прямой Вы не найдёте для точки такую окрестность, которой можно было бы "приписать заслугу".