И всё-таки, вернёмся в

.
Стало очень интересно: можно ли выразить обычное умножение

через

,

и

? Вроде бы доказал, что нельзя.
Пусть

--- терм, составленный при помощи упомянутых операций, все переменные которого содержатся в наборе

. Этот терм можно естественным образом отождествить с некоторой функцией из

в

.
Лемма 1: Существуют константы

, такие что

при всех

.
Доказательство. Индукция по длине терма.
1)

есть переменная. Тогда можно взять

и

.
2)

. Пусть

и

--- нужные константы для термов

и

соответственно. Достаточно положить

и

.
3)

. Пусть

и

--- константы для

. Легко видеть, что для

подходят константы

и

.
4)

. Этот случай сводится к двум предыдущим, так как

(последнее равенство понимается как равенство значений функций, а не как равенство термов).

.
Невозможность представления функции

теперь легко следует из леммы, так как для этой функции не существует константы

.
Жаль, конечно. Умножение бы много позволило сделать
Аналогично лемме 1 легко доказывается
Лемма 2: Для произвольного

имеем
при некоторой

и

.
Доказательство почти аналогично, так что писать не буду.
Да, забавно. Щас подумаю, как в наиболее общем виде обработать случай многих переменных. Ясно, что если все переменные фиксируем, а одну стремим в бесконечность, то будет примерно то же самое. Но это недостаточно общая формулировка.