Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била

[binki]

Andrey A в сообщении #1485250 писал(а):

Вот я докажу Вашим способом невозможность равенства $65=7^2+4^2$:
$65=13 \cdot 5=(7+4i)(7-4i).$ Отсюда $13=7+4i$, что не верно.

Уважаемый Andrey A
Пример конечно хороший. Но, число 65 составное, не степень, поэтому его составные числа и нельзя приравнивать сопряженным комплексным числам.
Другое дело, когда степень. Любая степень комплексного числа через бином однозначно определяет числа (c,b):
$(m+ni)^x=c+bi$,
где (c) равняется сумме целых чисел бинома, а (b) равняется сумме чисел с мнимой единицей. Понятно, что расписывать бином здесь не требуется.
Далее. В силу симметрии сопряженное число $(m-ni)^x=c-bi$. Откуда:
$(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c+bi)=c^2-b^2$.
Как видим каждая сопряженная степень однозначно равняется соответствующему сопряженному комплексному числу.
Поэтому определением суммы биквадратов через произведение сопряженных комплексных чисел и находится равенство $b_1=b\sqrt i$

Andrey A в сообщении #1485250 писал(а):

Кроме того $A$ может оказаться составным числом. Тогда количество разложений в сумму двух квадратов $A^x$ может значительно превышать количество разложений $A.$

Парой чисел (m,n) определяется любое $A=m^2+n^2$ простое или составное.

Andrey A в сообщении #1485250 писал(а):

оперируя двумя переменными, которые из больших букв превращаются в маленькие на основании замен, проведенных в предыдущих постах по каким-то иным поводам, предоставляя разбираться во всем этом читателю.

Большие буквы (А,В,С)- переменные. Маленькие (a,b,c)- решения. Подготавливаю материал, чтобы всё было в одном сообщении.
Спасибо за советы.

[Null]

binki в сообщении #1485259 писал(а):

$(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c+bi)=c^2-b^2$

Уже ошибка, при чем в каждом $=$
И еще $c$ и $b$ вам даны, вы не можете их определять. Вы обязаны доказать что существуют $m,n$ такие что $(m+ni)^x=c+bi$, такой теоремы нет.

[binki]

binki в сообщении #1485259 писал(а):

$(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c+bi)=c^2-b^2$.

Опечатка. Правильно, - $(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c+bi)=c^2+b^2$.

[Null]

binki в сообщении #1485291 писал(а):

$(c+bi)(c+bi)=c^2+b^2$

Не равно.

[binki]

Null в сообщении #1485292 писал(а):

Не равно.

Уважаемый Null
Спасибо.Сетую на себя. Даже опечатку не мог исправить. Конечно правильно будет
$(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c-bi)=c^2+b^2$.

Null в сообщении #1485290 писал(а):

И еще $c$ и $b$ вам даны, вы не можете их определять. Вы обязаны доказать что существуют $m,n$ такие что $(m+ni)^x=c+bi$, такой теоремы нет.

Может быть и нет такой теоремы. Потому что здесь свойство бинома Ньютона.
Если разложить в бином Ньютона левую часть, то она будет состоять из суммы целых чисел, которую обозначим как (c) и суммы чисел с мнимой единицей (i), которую обозначим как (b). Покажем это при показателе (x=3)
$(m+ni)^3=m^3+3m^2ni-3mn^2-n^3i=(m^3-3mn^2)+(3m^2n-n^3)i=c+bi$
$(m-ni)^3=m^3-3m^2ni-3mn^2+n^3i = (m^3-3mn^2)-(3m^2n-n^3)i= c-bi$
Перемножив соответственно правые и левые части этих равенств, получим:
$(m+ni)^3(m-ni)^3=(c+bi)(c-bi)$. Или $(m^2+n^2)^3=(c^2+b^2)$ Где, определенные из бинома Ньютона
$c=m^3-3mn^2; b=3m^2n-n^3$.
Как видим числа (c,b) не задаются, а определятся парой (m,n) .

[Null]

binki в сообщении #1485296 писал(а):

Как видим числа (c,b) не задаются, а определятся парой (m,n) .

Поэтому и неправильно. Должны задаваться. У вас логическая ошибка. $C$ и $B$ у вас уже есть, когда вы предположили что $A^x=C^4+B^4$. Вы должны доказать что они имеют вид $C^2+iB^2=(m+in)^x$. Это похоже на правду(Если $C$ и $B$ взаимно просты). Дальнейшие рассуждения даже для $x=3$ у вас с ошибкой, а для произвольного $x$ вообще не написаны.

[binki]

Null в сообщении #1485297 писал(а):

Поэтому и неправильно. Должны задаваться. У вас логическая ошибка.

Странно будет если решение уравнения $A^x=C^2+B^2$ будет задаваться изначально для двух неизвестных (C,B), когда любая пара (m,n) даёт решение сразу для трех неизвестных. Тем более, что не каждая сумма квадратов равна степени.
Изначально у нас есть только переменные(A,C,B). Какие ошибки вы обнаружили при показателе (x=3)? Конечно рассматриваем биквадраты $A^x=(C^2)^2+(B^2)^2$ с использованием существующего уравнения для квадратов $A^x=C^2+B^2$
Для произвольного (x) дано объяснение словами. не написана только формула. Будет длиннее чем для (x=3), но суть останется такой же.

[Null]

Вам требуется рассмотреть все $A,B,C$, а не только те которые вам нравятся. И у вас вроде раньше были 4тые степени.

[binki]

Null в сообщении #1485303 писал(а):

Вам требуется рассмотреть все $A,B,C$, а не только те которые вам нравятся. И у вас вроде раньше были 4тые степени.

Все переменные (A,B,C) и рассматриваются. А все существующие решения (a,b,c ) для них определяются парой (m,n).

[Null]

binki в сообщении #1485307 писал(а):

Все переменные (A,B,C) и рассматриваются. А все существующие решения (a,b,c ) для них определяются парой (m,n).

Можете сформулировать утверждение полностью(в этой формулировке оно не верно) и доказать либо указать ссылку на доказательство.
Скажем так, я верю что это правда(если выписать все условия), но, меня беспокоит, что делать дальше?

[binki]

Null в сообщении #1485308 писал(а):

Можете сформулировать утверждение полностью(в этой формулировке оно не верно) и доказать либо указать ссылку на доказательство.

Уравнение $A^x=C^2+B^2$ имеет бесчисленное множество целочисленных решений (a,b,c), получаемых через пары чисел (m,n), которые изначально определяют решение для одной переменной $A=m^2+n^2$.
Доказательство с использованием бинома Ньютона уже приводилось. Укажите, пожалуйста, что в нём не понятно.

[Null]

binki в сообщении #1485309 писал(а):

Доказательство с использованием бинома Ньютона уже приводилось.

Нет.

Null в сообщении #1485311 писал(а):

Укажите, пожалуйста, что в нём не понятно.

Вам уже писали. Ответьте корректно на все вопросы в теме. Не надо повторять то, что вы уже писали, в том что у вас написано доказательств нет.

[Valprim]

Доказательство для уравнения $A^x=(m+ni)^x(m-ni)^x=C^2+B^2$ действительно приводилось

binki в сообщении #1485296 писал(а):

Может быть и нет такой теоремы. Потому что здесь свойство бинома Ньютона.
Если разложить в бином Ньютона левую часть, то она будет состоять из суммы целых чисел, которую обозначим как (c) и суммы чисел с мнимой единицей (i), которую обозначим как (b). Покажем это при показателе (x=3)
$(m+ni)^3=m^3+3m^2ni-3mn^2-n^3i=(m^3-3mn^2)+(3m^2n-n^3)i=c+bi$
$(m-ni)^3=m^3-3m^2ni-3mn^2+n^3i = (m^3-3mn^2)-(3m^2n-n^3)i= c-bi$
Перемножив соответственно правые и левые части этих равенств, получим:
$(m+ni)^3(m-ni)^3=(c+bi)(c-bi)$. Или $(m^2+n^2)^3=(c^2+b^2)$ Где, определенные из бинома Ньютона
$c=m^3-3mn^2; b=3m^2n-n^3$.
Как видим числа (c,b) не задаются, а определятся парой (m,n) .

Вполне убедительно. Можно написать бином Ньютона для $(m+ni)^x$ на целую страницу. Все равно он будет состоять из суммы действительных (целых) чисел и суммы чисел при мнимой единице $(i)$, обозначенные соответственно как $(c)$ и $(b)$

[Null]

Это неверное доказательство.

Valprim в сообщении #1485332 писал(а):

$(m+ni)^3=m^3+3m^2ni-3mn^2-n^3i=(m^3-3mn^2)+(3m^2n-n^3)i=c+bi$

Почему они равны? Последнее равенство. Откуда взялись $m$ и $n$? В доказательстве все новые переменные должны определяться.

Прямо говорю если $c$ и $b$ не взаимно просто это просто неправда(а вы это факт в вашем "Доказательстве" не используете). $5^2+10^2=5^3$ - попробуйте представить в вашем виде.

[Andrey A]

binki в сообщении #1485309 писал(а):

Уравнение $A^x=C^2+B^2$ имеет бесчисленное множество целочисленных решений (a,b,c), получаемых через пары чисел (m,n), которые изначально определяют решение для одной переменной $A=m^2+n^2$.

$A=85$ имеет $2$ представления в виде суммы двух квадратов, $85^3$ имеет $8$ представлений, $85^5$ — соответственно $18$ представлений. Не первый раз обращаю Ваше внимание на это обстоятельство.