Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.

[dick]

Вы хотите что бы я открыл новую тему, и в ней повторил то что было в Части 1, с добавлением имеющейся сейчас части доказательства того, что $x_1$ и $a_1/3$, а значит $z$ и $y$ всегда отличаются на единицу?

[kotenok gav]

Нет, я просто хочу новый пост.

[dick]

Вы уж извините мою старомодность, что значит новый пост? Просто сообщение, в котором будет собрано то, что сейчас добавлено к
начальной Части 1?

[kotenok gav]

Да.

[dick]

И в каком виде будет икс, или оставить оба?

[kotenok gav]

Оставьте то, что хотите.

[dick]

Итак по итогам Части1 имеем:
$(a_1/3)^2=(3A-3B/a_1)(x_1-a_1/3)$ (7)
где $a_1/3$ число кратное 6, $x_1$- корень исходного уравнения (1)

$(z-y)=(x_1-a_1/3)$ (5.1)

$x_1^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)$ (1.1)

Задача: доказать, что (5.1) может быть только единицей.
Для доказательства, будем исключать возможные формы числа (5.1) в связи с $x_1$ , кроме степени, а затем покажем что (5) не зависит от показателя степени.

Пусть $x_1$ простое число. В этом случае $(z-y)$ может быть равным либо $x_1$ либо 1.
Поскольку $(z^2+zy+y^2)$ не равно $(z-y)^2$, $(z-y)=1$.

Пусть $x_1$ составное число, не содержащее степень.
В этом случае $(z-y)$ может быть только числом из состава $x_1$. Но это значит, что правая часть (1.1) кратна $(z-y)^3$, что невозможно, поскольку $zy$ и $(z-y)$ взаимно простые числа.

Пусть $x_1$ составное число, содержащее степень, но не являющееся степенью.
В этом случае $x_1$ не кратно $(z-y)$, но $x_1^2$ кратно $(z-y)$, поскольку:
$x_1^2=(a_1/3+(x_1-a_1/3))^2=(3A-3B/a_1)(x_1-a_1/3)+(2a_1/3)(x_1-a_1/3)+(x_1-a_1/3)^2$

-- 19.06.2020, 20:43 --

Теперь я напутал.
Вместо "Пусть $x_1$ составное число не содержащее степень".
Должно быть "Пусть $(z-y)$ составное число не содержащее степень".

Вместо "Пусть $x_1$ составное число, содержащее степень, но не являющееся степенью".
Должно быть "Пусть $(z-y)$ составное число, содержащее степень, но не являющееся степенью".

[kotenok gav]

Давайте вы будете говорить вместо "не содержит степень" "свободно от квадратов". И пожалуйста, приведите все с самого начала. С подробным разъяснением, что значат $A$, $B$, и другие буквы.

[dick]

Говорить я буду своим языком, будут вопросы - отвечу. Далее, я предложил собрать то что было после Части 1. Вы согласились.
А теперь, "все с самого начала". Хотите сначала - читайте Часть 1. Что касается А и В, то это ,как было сказано, четные числа, частные от деления условных остатков на $x_1-a_1/3$, это все что знаю. Что такое "другие буквы" - не знаю, но думаю, что все символы которые использовались в Части 1, пояснялись. Если это не так - спрашивайте.

[kotenok gav]

dick в сообщении #1469660 писал(а):

Говорить я буду своим языком, будут вопросы - отвечу.

Ну нет, так дело не пойдет. Объясняйте тогда точно, что значит "число входит в состав другого числа" и "число не содержит степень".

-- 20 июн 2020, 05:12 --

dick в сообщении #1421337 писал(а):

Где $a_1,a_2,x_1$- натуральные числа

Не факт, что $a_1$ и $a_2$ натуральны.

[dick]

"Число входит в состав другого числа", значит, что весь состав простых множителей числа входит в состав простых множителей большего числа.
"Число не содержит степень", значит, что в составе числа нет простых множителей в количестве больше 1.
Что значит "не факт"?

[kotenok gav]

Не факт значит то, что это не доказано.

[dick]

Но это условие, которое мы сами приняли, потому что по условию теоремы рассматриваются натуральные числа. Чего же Вы хотите?

[Someone]

dick в сообщении #1469703 писал(а):

"Число входит в состав другого числа", значит, что весь состав простых множителей числа входит в состав простых множителей большего числа.

Означает ли высказывание "число $a$ входит в состав числа $b$", что выполняются два условия: 1) $a<b$ и 2) каждый простой делитель числа $a$ является делителем числа $b$? Например, число $72$ входит в состав числа $108$, но не входит в состав числа $54$?

dick в сообщении #1469703 писал(а):

в составе числа нет простых множителей в количестве больше 1

??? У меня два предположения относительно смысла этого высказывания: 1) число является простым или 2) число является степенью простого числа.

Вам предлагают использовать общепринятый термин "число свободно от квадратов", который означает, что число не делится на квадрат числа, большего $1$. Чем он Вам не нравится?

[kotenok gav]

dick в сообщении #1469731 писал(а):

Но это условие, которое мы сами приняли, потому что по условию теоремы рассматриваются натуральные числа. Чего же Вы хотите?

Мы принимали лишь условие, что $x$, $k_1$, и $k_2$ натуральны, и $x^3+(x+k_1)^3=(x+k_2)^3$. Больше никаких условий мы не принимали.

-- 20 июн 2020, 21:56 --

Короче, вы говорите, что многочлен $x^3+(x+k_1)^3-(x+k_2)^3$ (который обращается в ноль в точке $x=x_1$, где $x_1$ - некое натуральное число) тождественно равен многочлену $(x-x_1)^3+a_1(x-x_1)^2+a_2(x-x_1)$, где $a_1$ и $a_2$ - вещественные числа. Это так. Но почему $a_1$ и $a_2$ - целые?

-- 20 июн 2020, 22:03 --

Хотя, на самом деле, их целость следует из (5.1)-(5.3). Но откуда следует их натуральность?