Угол

[A_I]

Интересная задачка - вроде, не было такой...

[wrest]

Ответ у меня нарисовался. Осталось поискать [простое] решение...

[gris]

Можно подвигать условие. Если вместо $78^{\circ}$ взять $60^{\circ}$, то $\alpha=0^{\circ}$, а если взять $90^{\circ}$, то $\alpha=90^{\circ}$. Предположив линейность, получим, что если $78^{\circ}$, то $\alpha=54^{\circ}$. Ну хотя бы приближённо
wrest я не на тот угол смотрел.

[wrest]

gris в сообщении #1457681 писал(а):

получим, что если $78^{\circ}$, то $\alpha=18^{\circ}$. Ну хотя бы приближённо

Даже приближенно -- нет. :) :(

[Pphantom]

Тут есть три четырехугольника, у которых есть три неизвестных угла (искомый, один из двух внизу слева и один из двух неизвестных внутренних). Соответственно, есть система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

[gris]

Если картинку растянуть по горизонтали, то относительно углов уравнения останутся, а ответ изменится. Надо учитывать, что шестиугольник правильный

[Pphantom]

gris в сообщении #1457685 писал(а):

Надо учитывать, что шестиугольник правильный

Конечно.

[wrest]

Pphantom в сообщении #1457684 писал(а):

Соответственно, есть система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Вот, а у меня составилась из 4-х с 4-мя неизвестными. Но с нулевым определителем.

-- 24.04.2020, 19:25 --

gris в сообщении #1457681 писал(а):

то $\alpha=54^{\circ}$. Ну хотя бы приближённо

Ну туда-сюда, в диапазоне 10 градусов верно.

[arseniiv]

Pphantom в сообщении #1457684 писал(а):

Тут есть три четырехугольника, у которых есть три неизвестных угла (искомый, один из двух внизу слева и один из двух неизвестных внутренних). Соответственно, есть система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Она недоопределена получается, если я всё правильно делал. Тоже хотел сказать «тут же простая система, какая же это загадка», а оказалось бам.

[A_I]

arseniiv в сообщении #1457692 писал(а):

Она недоопределена получается, если я всё правильно делал. Тоже хотел сказать «тут же простая система, какая же это загадка», а оказалось бам.

Мне запомнилось, как ещё в "моих" годах в школе, когда учитель по аналитической геометрии нам рассказывал, - "попробуйте в уме подвигать ключевые точки, если вы чувствуете, что много чего меняется, значит, почти 100% задача имеет аналитическое решение". Это он говорил, готовя нас к очередной олимпиаде...

[gris]

Если центральный левый угол равен $b$, а левый нижний $c$, то имеем:
$a+b+c+120=360;$
$ 120-c+78+78+120=360;$
$ 120-a+120-78+120+360-78-b=360$, то есть
$a+b+c=240; c=36; a+b=204$
И как использовать правильность?
В координатах всё несложно строится, но это же не то подразумевалось .

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1457684 писал(а):

Соответственно, есть система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Уж не вырожденная ли она будет? В таких задачах обычно требуются дополнительные построения (это если чисто геометрически решать). Ну, а вычислительное решение здесь очевидно.

-- Пт апр 24, 2020 23:43:38 --

A_I
Ответ выражается целым числом градусов?

[Someone]

arseniiv в сообщении #1457692 писал(а):

Она недоопределена получается, если я всё правильно делал.

Если считать только углы, то действительно неопределённая, потому что используется только сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника. Можно, например, растянуть исходный шестиугольник по горизонтали, не меняя заданных углов, тогда угол $\alpha$ изменится. Нужно считать длины отрезков. Например, можно провести диагонали двух четырёхугольников (нижнего и верхнего), проходящие через самую правую вершину шестиугольника, и по теореме синусов посчитать стороны треугольников. Для искомого угла получается уравнение

$$\tg\alpha=(1-\sin 54^{\circ})\tg 78^{\circ}.$$

Можно ещё учесть, что $54^{\circ}=\frac{3\pi}{10}$ и $78^{\circ}=\frac{13\pi}{30}$, и привести равенство к виду

$$\tg\alpha=\frac{3-\sqrt{5}}4\ctg\frac{\pi}{15}.$$

[wrest]

nnosipov в сообщении #1457698 писал(а):

Ответ выражается целым числом градусов?

Да, целым.

[nnosipov]

Если вычислять в соответствующем круговом поле, то $\alpha$ бесплатно (конечно, при условии, что ответ выражается целым числом градусов, что довольно вероятно).

-- Сб апр 25, 2020 00:00:40 --

wrest в сообщении #1457704 писал(а):

Да, целым.

Тогда задача решается не приходя в сознание.