Бесконечный спуск для кубов методами Ферма?

[Antoshka]

binki в сообщении #1453059 писал(а):

невозможно осуществить разложения разностей и суммы кубов с образованием кубов $(c_1-a_1), (c_1-b_1)$ и $3(a_1+b_1)$. Здесь $(a_1,b_1,c_1)$ новая тройка решения УФ.

Напишите, какое конкретно равенство не выполняется в случае 2 и 3

[venco]

binki в сообщении #1453004 писал(а):

Числа $(a,b,c)$ взаимно простые и пусть $(c-a) $ делится на три, тогда выражения $3(c-a), (c-b), (a+b)$ также взаимно простые

Мне вот этот переход неясен.

[binki]

Antoshka в сообщении #1453064 писал(а):

Напишите, какое конкретно равенство не выполняется в случае 2 и 3

Ещё раз. Случаи 2 и 3 не существуют для предположения, что ВТФ не верна. Для этих случаев ВТФ изначально верна. Действительно, при возведении в куб $(a+b-c)^3$ среди слагаемых есть выражение $a^3+b^3-c^3$. Если ВТФ верна, то есть куб не разлагается в сумму двух кубов, а именно $a^3+B=c^3$, то не может быть сформировано рассматриваемое произведение трех кубов $(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$. В этом случае $b= \sqrt [3]{B}, c-b=c-\sqrt [3]{B}, a+b=a+\sqrt [3]{B}$. Да и сама функция примет вид $f^3=(a+\sqrt [3]{B}-c)^3$. Поэтому для случаев 2 и 3 ничего доказывать не требуется.

-- 09.04.2020, 20:12 --

venco в сообщении #1453140 писал(а):

Мне вот этот переход неясен.

Уважаемый venco
Кубы $a^3,b^3,c^3$ из равенства Ферма являются составными числами

$$a^3=(c-b)(c^2+cb+b^2),\quad b^3=3(c-a)(c^2+ca+a^2)/3, \quad c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

.
Поэтому если $(a,b,c)$ взаимно простые, то взаимно простые и $3(c-a),\quad (c-b),\quad (a+b)$.

[Antoshka]

binki в сообщении #1453155 писал(а):

Ещё раз. Случаи 2 и 3 не существуют для предположения, что ВТФ не верна. Для этих случаев ВТФ изначально верна. Действительно, при возведении в куб $(a+b-c)^3$ среди слагаемых есть выражение $a^3+b^3-c^3$. Если ВТФ верна, то есть куб не разлагается в сумму двух кубов, а именно $a^3+B=c^3$, то не может быть сформировано рассматриваемое произведение трех кубов $(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$. В этом случае $b= \sqrt [3]{B}, c-b=c-\sqrt [3]{B}, a+b=a+\sqrt [3]{B}$. Да и сама функция примет вид $f^3=(a+\sqrt [3]{B}-c)^3$. Поэтому для случаев 2 и 3 ничего доказывать не требуется.

Смотрите, вы делаете постановку

Antoshka в сообщении #1453037 писал(а):

подстановку $x=a-d,y=b-d,z=c-d$, причём $x+y=a+b-2d=9h^3,h\in\mathbb{N}$, то есть $d=(a+b-9h^3)/2 $.

У вас не доказано, что такая постановка обращает уравнение $x^3+y^3-z^3=0$ именно в нуль, а ведь именно это утверждение вам нужно для применения бесконечного спуска

[venco]

Antoshka в сообщении #1453177 писал(а):

Смотрите, вы делаете постановку

Antoshka в сообщении #1453037 писал(а):

подстановку $x=a-d,y=b-d,z=c-d$, причём $x+y=a+b-2d=9h^3,h\in\mathbb{N}$, то есть $d=(a+b-9h^3)/2 $.

У вас не доказано, что такая постановка обращает уравнение $x^3+y^3-z^3=0$ именно в нуль, а ведь именно это утверждение вам нужно для применения бесконечного спуска

Точно, в этом и загвоздка.
$(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$ только при условии $a^3+b^3=c^3$, а для заменённых значений это не так.

[binki]

Antoshka в сообщении #1453177 писал(а):

У вас не доказано, что такая постановка обращает уравнение $x^3+y^3-z^3=0$ именно в нуль, а ведь именно это утверждение вам нужно для применения бесконечного спуска

1. Показано существование $f_1^3<f^3$
2. Показано, что $f_1^3$ не может существовать без существования новой тройки решения УФ.

[venco]

binki в сообщении #1453203 писал(а):

1. Показано существование $f_1^3<f^3$

Показано существования куба: $3(c_1-a_1)(c_1-b_1)(a_1+b_1)=g^3$.

binki в сообщении #1453203 писал(а):

2. Показано, что $f_1^3$ не может существовать без существования новой тройки решения УФ.

Не показано, что $3(c_1-a_1)(c_1-b_1)(a_1+b_1)=g^3=(a_1+b_1-c_1)^3$.
А именно это нужно, чтобы $a_1^3+b_1^3=c_1^3$.

[Утундрий]

binki
Математическое рассуждение - это последовательность коротких чётко сформулированных утверждений. Попробуйте представить свои результаты в подобной форме и скорее всего сами увидите все дыры.

[binki]

Утундрий в сообщении #1453210 писал(а):

Математическое рассуждение - это последовательность коротких чётко сформулированных утверждений. Попробуйте представить свои результаты в подобной форме и скорее всего сами увидите все дыры.

Уважаемый Утундрий
Полностью согласен с Вами. Но, показывая коротко суть возможного бесконечного спуска для кубов, я говорил, что существуют не разъясненные моменты, и возникнут вопросы, на которые надо будет отвечать.
Вопросы оказались загвоздистые, и куб $f_1^3$ может выйти не из той двери, на что указал Уважаемый venco. Поэтому здесь надо подумать.
Нет сомнения, что Ферма мог бы своими методами решить этот загвоздистый вопрос рассматриваемого бесконечного спуска.

[binki]

Antoshka в сообщении #1453037 писал(а):

в правой части будет $(3h)^3w^3m^3$,а слева $(a+b-c-d)^3$. Далее возможны три ситуации.
1)$(a+b-c-d)^3=(3h)^3w^3m^3$, что вы и рассматриваете методом бесконечного спуска

Здесь Вами допущена ошибка. Равенство $(a+b-c-d)^3=[(a-d)+(b-d)-(c-d)]^3$ выполняется. Но $a^3+b^3-(c+d)^3\ne (a-d)^3+(b-d)^3-(c-d)^3$.
Трактовка $(a+b-c-d)^3$ jошибочная.

[Antoshka]

binki в сообщении #1453508 писал(а):

Здесь Вами допущена ошибка. Равенство $(a+b-c-d)^3=[(a-d)+(b-d)-(c-d)]^3$ выполняется. Но $a^3+b^3-(c+d)^3\ne (a-d)^3+(b-d)^3-(c-d)^3$.
Трактовка $(a+b-c-d)^3$ jошибочная.

Я потом сформулировал вам вашу ошибку по-другому, после чего venco со мной согласился, а вы согласились с ним, что допустили ошибку