Бесконечный спуск существует тогда, когда новая тройка решения сохраняет свойства предыдущей
Попробую воспроизвести ваши рассуждения подробно. Итак, имеем уравнение
![$x^3+y^3=z^3$ $x^3+y^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/8/a7894bcb34304fa5dde145d2a56776db82.png)
. Требуется доказать, что оно не имеет решений в натуральных попарно взаимно простых числах. Предположим обратное, то есть что существует тройка
![$x=a,y=b,z=c$ $x=a,y=b,z=c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/c/4dcd70cf3aed2b5bc296528fe7ef06ed82.png)
, удовлетворяющая уравнению. Исходное уравнение равносильно такому
![$(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$ $(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/b/5eb00184d5eee4c477700a8c32e2c3d482.png)
, то есть в терминах
![$a,b,c$ $a,b,c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/1/0b1666db7be254fa8998cf3a27c985bb82.png)
имеем
![$(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$ $(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/4/39450d5a357461bde43d3bc722f44fdc82.png)
. Вспомним формулы Абеля. Получается, что в правой части стоит произведение трёх кубов. Ясно, что одно из чисел
![$a,b,c$ $a,b,c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/1/0b1666db7be254fa8998cf3a27c985bb82.png)
делится на три. Пусть это будет
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
. Тогда
![$a+b=9A^3,c-a=m^3,c-b=w^3$ $a+b=9A^3,c-a=m^3,c-b=w^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/2/812cb418ecb3896b3f31d78949090c5182.png)
, то есть действительно справа произведение трёх кубов. Далее, насколько я понимаю, вы делаете постановку
![$x=a-d,y=b-d,z=c-d$ $x=a-d,y=b-d,z=c-d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/3/e33f7117ecd1604db917c143eb5cb84f82.png)
, причём
![$x+y=a+b-2d=9h^3,h\in\mathbb{N}$ $x+y=a+b-2d=9h^3,h\in\mathbb{N}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277ecabc0546fd55e655aa7ee7ca002482.png)
, то есть
![$d=(a+b-9h^3)/2 $ $d=(a+b-9h^3)/2 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/6/a0676c30c7790ed6138afee43d53dbd382.png)
. Вы выбираете
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
таким образом, чтобы справа получить произведение трёх кубов. И действительно, в правой части будет
![$(3h)^3w^3m^3$ $(3h)^3w^3m^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/6/58694095d37ae6f8cba0e8cbb37fccef82.png)
,а слева
![$(a+b-c-d)^3$ $(a+b-c-d)^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/2/592cafccafd17745a181052807f434f682.png)
. Далее возможны три ситуации.
1)
![$(a+b-c-d)^3=(3h)^3w^3m^3$ $(a+b-c-d)^3=(3h)^3w^3m^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/a/3fabe32c7a7e33d21653ca3e08824ffc82.png)
, что вы и рассматриваете методом бесконечного спуска
2)
![$(a+b-c-d)^3<(3h)^3w^3m^3$ $(a+b-c-d)^3<(3h)^3w^3m^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/8/ee81a932025f95236a28639c668c56d882.png)
3)
![$(a+b-c-d)^3>(3h)^3w^3m^3$ $(a+b-c-d)^3>(3h)^3w^3m^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/1/9e16433d34c3de4dedbd149918d2cae682.png)
Случаи 2 и 3 и нужно рассмотреть