Не особо понимаю иррациональные числа

[frostysh]

Проблема в том, что сегодня изучал пределы периметра правильных многоугольников, вписанных и описанных в окружностях, при этом естественно получилось постоянство отношения длины окружности (это придел многоугольника) к диаметру, называемым числом Пифагора. Сразу сознание начало морозиться и судоржно вспоминать давно забытые и не особо понятные сечения Дедекинда с Фихтенгольца первого тома, и вообще что это за такие-эдакие числа иррациональные, а точней почему они такие удобные в использовании, в книге об этом ничего почти нету. Уровень книги — техникум, цель сего разбирательства для меня в неких вещах теории чисел — лучше понять физику родимую.

Собственно, у нас есть иррациональное число $\pi$, оно не может быть выражено никакой рациональной дробью, более того, его невозможно выразить каким-то рядом конкретных дробей, складывая их, ибо оно не переодическое. С другой стороны оно выражается гемотерическим соотношением $C / D$, то есть длину окружности поделить на диаметр, причем можно показать что это справедливо для любой окружности. Могу ли я считать иррациональным числом вот такое $\sqrt{C / D}$? А вот такое $\left(C / D\right)^{C / D}$? А вот такое $\ln{C / D}$? Если подобные свойства этих чисел имеются и их можно объяснить "на пальцах", заранее спасибо.

[mihaild]

Рациональных чисел для нужд анализа и геометрии не хватает: если ими ограничиться, то получается что то корень из двойки не извлекается, то у окружности длины нет, то становится непонятно, сколько вам денег выплатить со вклада под $100\%$ годовых с непрерывной выплатой процентов. Но оказывается что можно рассмотреть вещественные числа - некоторое множетсво, включающее в себя рациональные числа, где таких проблем нет. Ну а те его элементы, которые не являются рациональными числами, обзовем иррациональными.

frostysh в сообщении #1449640 писал(а):

Могу ли я считать иррациональным числом вот такое $\sqrt{C / D}$? А вот такое $\left(C / D\right)^{C / D}$? А вот такое $\ln{C / D}$?

Вопрос надо ставить не "можете ли считать", а "являются ли они". $\sqrt{\pi}$ иррациональным числом является (т.к. квадрат рационального числа рационален), про остальные, если верить википедии, вопрос открыт (т.е. сейчас ответа на него никто не знает).

[frostysh]

mihaild

Спасибо, я так и думал что это сложно со свойствами иррациональных чисел, надо было у Википедии посмотреть а не только в книге. Да, про проценты тоже изучал не так давно немного, там основание натурального логарифма будет. То есть допустим обычное число и его квадрат: $5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5^{2}$, это тоже самое свойство что и $\underbrace{\pi + \pi + \dots}_{\pi}= \pi^{2}$? То есть квадрат иррационального числа является иррационален всегда и соответственно любой квадратный корень с любого иррационального будет иррационален ибо всегда существует такое иррациональное числа что если его поднести до квадрата получится любое нужное нам но другое иррациональное число?

[Mikhail_K]

frostysh в сообщении #1449663 писал(а):

$\underbrace{\pi + \pi + \dots}_{\pi}= \pi^{2}$?

Не вижу в этой формуле никакого смысла.

frostysh в сообщении #1449663 писал(а):

То есть квадрат иррационального числа является иррационален всегда

Нет. Например, $\sqrt{2}$ - иррациональное число, а его квадрат - нет.

frostysh в сообщении #1449663 писал(а):

соответственно любой квадратный корень с любого иррационального будет иррационален

Вот это верно, но что Вы написали после "ибо" - на объяснение не тянет.

[wrest]

frostysh в сообщении #1449640 писал(а):

Уровень книги — техникум,

Судя по совокупности ваших тут тем и проявленных знаний, техникум (т.е. - школьная программа) для вас может быть уже слишком сложно. Перед поступлением в аспирантуру, я бы вам посоветовал порешать ЕГЭ (или ваш эквивалент) и подтянуть сперва школьную математику и физику.

[frostysh]

Mikhail_K

А, точно, корень квадратный с двойки, глуплю как всегда. На счет формулы, просто по аналогии думал получится. Ну тогда что такое квадратный корень иррационального числа? — Это некое число, что после его подношения до квадрата получится иррациональное число. Нам нужно показать является ли это число иррациональным. Пока не буду рытся в Гугле и учебниках специализированных, сначала допустим от противного и по памяти (хотя почти ниче не помню с этой темы матане), пусть корень с иррационального числа будет рационален, тогда $\sqrt{\pi} = r$, причем $r = p / q$, где $p$ и $q$ — обычные числа по определению их, которое таки вспомнилось. Поднесем обе части уравнения до квадрата, это не сломает равность

$$\left(\sqrt{\pi}\right)^{2} = \dfrac{p^{2}}{q^{2}} \mkern 20mu \pi = \dfrac{p \times p}{q \times q} = \dfrac{p}{q} \times \dfrac{p}{q},$$

а этого не может быть в математике, так как правая часть уравнения является обычным числом, а левая — иррациональным. Все! Понял! Вот и это напомнили, и разобрались, нужно так почаще делать.

wrest

Нет, книжка для техникумов мне совершенно понятная, есть редкие моменты с которыми, слава богам, помогают форумы, вот этот и еще один человек на другом форуме. Я потихоньку дохожу до задачника Иродова, ток ряды начну по техникуме и все, сразу за Иродова, и очень надеюсь что этот форум с ним поможет. А там смотри, и до квантов да задачника Галицкий, Корнаков, Коган доберусь, ну таков план по крайней мере в плане задачников. И вообще, не обижайте мой энтузиазм.

[Brukvalub]

frostysh в сообщении #1449640 писал(а):

это придел многоугольника

Знаю про придел к Храму, но кто что придел к многоугольнику?

[Someone]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1449695 писал(а):

Знаю про придел к Храму

В деревне, в которой я жил у родственников в дошкольном возрасте, приделом называли пристройку к дому, в которой хранили всякую всячину, нужную в хозяйстве.
В храме это тоже пристройка к чему-то.
Видимо, придел многоугольника — это тоже какая-то пристройка к многоугольнику.

[Утундрий]

Цитата:

Не особо понимаю иррациональные числа

А зачем их, собственно, понимать?

[frostysh]

Утундрий

А какой вообще их смысл, этих чисел иррациональных? Ну в физике без них никак, поэтому хотелось бы лучше понять числа всякие, в этом наверное их смысл, в том что их интересно понимать. Пардон за философию.

Brukvalub

Это предел в котором вписанный, или описанный вокруг окружности многоугольник на плоскости превращается в эту самую окружность, а его периметр стает длинной окружности при росте количества сторон многоугольника к бесконечности.

---Добавлено---

А, моя ошибка, не придел а предел, все понял, пардон!

[Утундрий]

frostysh в сообщении #1449726 писал(а):

А какой вообще их смысл, этих чисел иррациональных?

Представьте, что у вас выпал зуб. Вы тут же вставляете в прореху язык. Так и здесь. Только вместо зуба - диагональ квадрата, а вместо языка - иррациональности.

[Brukvalub]

frostysh в сообщении #1449726 писал(а):

Это предел в котором вписанный, или описанный вокруг окружности многоугольник на плоскости превращается в эту самую окружность

А как определяется предел последовательности геометрических фигур? Напомните здесь это определение.

[frostysh]

Утундрий

А, понятно, это логично, сначала обнаружили что например $\sqrt{2}$ нельзя выразить как рациональную дробь, а потом математики той эпохи, как Дедекинд например, на основе математической логики и теории множеств создали то, что заполнило пустоту.

Brukvalub

Впервые слышу о таком пределе, искать не буду, отвечу с головы: ну если эти фигуры уменьшаются постоянно — точка будет их предел. Если увеличиваются одно относительно другого, тогда самой большой фигуры не будет вообще. Также пределом может быть другая фигура, если мы всегда можем найти маленькую разницу между фигурой последовательности и предельной фигурой?

[Brukvalub]

frostysh в сообщении #1449731 писал(а):

Впервые слышу о таком пределе, искать не буду, отвечу с головы: ну если эти фигуры уменьшаются постоянно — точка будет их предел. Если увеличиваются одно относительно другого, тогда самой большой фигуры не будет вообще. Также пределом может быть другая фигура, если мы всегда можем найти маленькую разницу между фигурой последовательности и предельной фигурой?

Какие-то несуразные фантазии. Как же вы рассуждаете о том, о чем не имеете разумных представлений?

[frostysh]

Brukvalub

Ну извините, первое что пришло в голову, то и ответил. Завтра поищу в книгах пределы последовательностей геометрических фигур. Сегодня уже без двадцати два ночи...