Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел

[schekn]

manul91 в сообщении #1383851 писал(а):

получаем для $\rho$ (поскольку $\sin{\frac{\pi}{2}}=1$)

$$\rho=R=100$$

Предлагаете решить $\rho=R$ относительно $z$ ? Сами решили?
Не проще ли было задать $\rho=0$ и там искать? Хотя я не понимаю, что вам даст значение z и что это докажет?

[monky99]

manul91 в сообщении #1383768 писал(а):

Вы продолжете не понимать, что преобразованием координат нельзя сделать из одного тела две ?... :)

Так я этого и не делал. Это Ваши фантазии.

schekn в сообщении #1383760 писал(а):

У вас возникнет проблема сшить это решение с внутренним (где вещество) на границе .

Нет, не возникнет. Если в СК с диагональной метрикой эти два решения нормально сшиты. То при преобразовании координат эта сшивка не нарушится.

schekn в сообщении #1383760 писал(а):

Гладкими преобразованиями нельзя этого сделать.

Разумеется нельзя гладкими преобразованиями из гладкой метрики сделать метрику с разрывом.

[manul91]

schekn в сообщении #1383860 писал(а):

Предлагаете решить $\rho=R$ относительно $z$ ?

Что за чушь опять?

Предлагаю из преобразований топикстартера, найти значения его новых "цилиндрических" координат $\rho, z, \varphi$ ракеты, у которой сферические координаты имеют значения $R=100, \theta=\frac{\pi}{2}, \varphi=0$.
Что непонятного?

schekn в сообщении #1383860 писал(а):

Не проще ли было задать $\rho=0$ и там искать?

$\rho$ это "цилиндрическая" координата (из тех что спрашиваются) - я задаю координат ракеты в сферических $R=100,\theta=\frac{\pi}{2}$, а координаты топикстартера уже какие получатся (и $\rho$ у него получилось 100).

И да, я хочу искать для исходных координат $\theta=\frac{\pi}{2}, R=100$ - вам что слабо?

monky99 в сообщении #1383865 писал(а):

Сами решили?

Разумеется, иначе бы не спрашивал.

Как я уже говорил, подставляя $R=100,\theta=\frac{\pi}{2}$, у него из

$$\theta = \arcsin(\frac {\rho}{R})$$

следует $\rho=R=100$.

Осталось подставить

$$\rho=R=100, z_1=5, z_2=10$$

в

$$R=2\frac{\sqrt{(z-z_1)^2+\rho^2}\sqrt{(z-z_2)^2+\rho^2}}{\sqrt{(z-z_1)^2+\rho^2}+\sqrt{(z-z_2)^2+\rho^2}}$$

Получаем уравнение на $z$

$$100=2\frac{\sqrt{(z-5)^2+100^2}\sqrt{(z-10)^2+100^2}}{\sqrt{(z-5)^2+100^2}+\sqrt{(z-10)^2+100^2}}$$

И wolfram alpha для нас теперь его решает....

schekn в сообщении #1383860 писал(а):

Хотя я не понимаю, что вам даст значение z и что это докажет?

А вот это узнаете, после предъявления значения координаты $z$ ракеты в его новых "цилиндрических" координат (хотя бы и приближенного).

-- 24.03.2019, 20:24 --

monky99 в сообщении #1383865 писал(а):

Так я этого и не делал. Это Ваши фантазии.

Вы не ответили на вопрос post1383768.html#p1383768

[schekn]

manul91 в сообщении #1383870 писал(а):

И wolfram alpha для нас теперь его решает
....

Уверены, что решение есть?

[manul91]

schekn в сообщении #1383874 писал(а):

Уверены, что решение есть?

Наоборот разумеется, ясно что его нет : )

У этой ракеты, координата z в системе координат топикстартера не существует (а значит, и никакой валидный набор "цилиндрических" координат).

При преобразований топикстартера, ни в чем не повинная ракета зависшая на $R=100, \theta=\frac{\pi}{2}, \varphi=0$ - вдруг потерялась (волшебным махом брюки исчезли).

И это кстати, вообще от масс не зависит.
Очевидным образом, $M=2m$ шаров может иметь например ничтожную величину 0.002кг или вообще уменьшиться до нуля - при этом сферическая метрика практически не отличается от эвклидовой - и уже можно считать что $\rho=R=100$ меряется например в километрах - тем не менее, z для ракеты в "цилиндрических" координат топикстартера опять не существует - сидя на $R=100km, \theta=\frac{\pi}{2}, \varphi=0$, при переходе к "цилиндрических" координат топикстартера она исчезнет - даже если шары вообще имматериальны.

Как вы с топикстартером объясняете это?

[schekn]

manul91 в сообщении #1383879 писал(а):

Наоборот разумеется, ясно что его нет : )

И что ж вы чушь пишите . И даете нерешабельные задачи. А вот при $\rho=0$ оно есть. И весьма любопытное.

-- 24.03.2019, 20:12 --

manul91 в сообщении #1383879 писал(а):

Как вы с топикстартером объясняете это?

Об этом уже говорилось: нет взаимооднозначного перехода от одной системы координат (Шварцшильда) к системе ТС. Он и не настаивает на этом.

[manul91]

schekn в сообщении #1383881 писал(а):

Об этом уже говорилось: нет взаимооднозначного перехода от одной системы координат к системе ТС. Он и не настаивает на этом.

Но дело-то еще в том, что это совершенно от масс не зависит.

Даже если они нулевые (когда по-хорошему надо было бы ожидать, что "цилиндрические" координаты ТС превратятся в обычных цилиндрических на плоском пространстве).

Итого - СК координат "угадайка" топикстартера - ничего общего с решением для двух массивных тел не имеет.

Она вообще не имеет общего с никаких тел - а только с введенных констант с потолка $z_1,z_2$ (беспричинного уродования обычной цилиндрической системе координат) - что делает его систему координат ущербной - при любой ситуации, она не накрывает все пространство - даже если никаких тел вообще нет.

[schekn]

manul91 в сообщении #1383883 писал(а):

Но дело-то еще в том, что это совершенно от масс не зависит.

Даже если они нулевые (когда по-хорошему надо было бы ожидать, что "цилиндрические" координаты ТС превратятся в обычных цилиндрических на плоском пространстве).

Не знаю, не проверял, это к ТС вопрос, пускай занулит массу.

-- 24.03.2019, 20:29 --

manul91 в сообщении #1383883 писал(а):

Итого - СК координат "угадайка" топикстартера - ничего общего с решением для двух массивных тел не имеет.

Ну скорее всего так и есть, хотя в литературе я встречал такое мнение и решение с потолка.

[monky99]

Munin в сообщении #1383790 писал(а):

Приведите для начала постановку задачи. Дословно и из авторитетного источника.

Вы о чём? У нас разве есть цитатник Мао Цзе Дуна? Тфу! Оговорился. Сборник постановок задач, официально одобренный? И есть специальный штат постановщиков задач, который этот сборник регулярно дополняет? Задачу я сформулировал в стартовом сообщении. Если этот источник Вас не устраивает, это Ваши личные проблемы.

Munin в сообщении #1383790 писал(а):

Нет, не является.

Глупость.
Перед Вами уравнение $x+2=4$. Вы пишете $x=2$. Проверяем подстановкой $2+2=4$. Значит это значение икса является решением данного уравнения.
Перед Вами метрика, подставляете её в уравнения ОТО. В результате тензор Ричи получается нулевым. Т.е. уравнение превращается в тождество. И при этом Вы заявляете, то данная метрика не является решением.

Munin в сообщении #1383790 писал(а):

Вы не понимаете, что вообще ничего нового таким способом не делаете. Не создаёте нового решения. Перекраской машины из "Лады" не сделать "Тойоту".

Вы так ничего и не поняли.
Попробую объяснить, что из всего этого вытекает.
Представьте эллипсоид вращения. Тело, полученное вращением эллипса вокруг одной из осей. Оно покоится и не вращается. Теперь представьте поверхности, на которых $g_t_t$ постоянно. Очевидно, что это матрёшка из эллипсоидов вращения, которые чем дальше от тела, тем больше приближаются по форме к шару. Нумеруем эти поверхности координатой $R$. Расчерчиваем эти поверхности меридианами и параллелями. Меридианы нумеруем координатой $\varphi$ , параллели координатой $\theta$. Вектора базиса направлены, таким образом, $dR$ по направлению градиента $g_t_t$, а $d\varphi$ и $d\theta$ по касательным к поверхностям с постоянным $g_t_t$ Очевидно, что они будут ортогональны.
Что у нас с метрикой. (Часы, разумеется, синхронизированы по Шварцшильду.) $g_t_t$ зависит только от $R$ в силу выбора этой координаты и $R$ мы можем выбрать таким образом, чтобы $g_t_t=-\sqrt{1}{1+2M/R}$. Вся метрика не зависит от времени, поскольку тело не вращается и покоится, и не зависит от $\varphi$ как следствие осевой симметрии системы. Итак, $g_R_R,g_\theta_\theta,g_\varphi_\varphi$ могут зависеть только от $R$ и $\theta$. Но Координату $\theta$ мы можем выбрать таким образом, чтобы $g_\theta_\theta$ от неё не зависела.
Думаю, этого достаточно, чтобы единственным решением в данных координатах было решение Шварцшильда.
Вот такая частная задача, которую, наверное проще всего решить.

Что касается более общей задачи.
Вы ведь понимаете, что модель, коротая используется в ОТО имеет дело исключительно с картами. Нет, она конечно оперирует геометрическими объектами, которые существуют независимо от карт, но чтобы её тупые создатели могли использовать результаты, она выдаёт их в виде координат.
Представьте себе, что перед вами карта, на которой изображена матрёшка из эллипсоидов вращения. Запихиваете её в 3DMax и делаете из неё матрешку из сфер. Вполне осуществимо. А вот перед Вами карта с матрёшкой из сфер. Вполне можете сделать из неё карту с матрёшкой эллипсоидов. А можете взять карту с матрёшкой из каких-то крякозябликов и сделать из нее ту же матрёшку из сфер, эллипсоидов или ещё чего-нибудь.
Ну вот, перед Вами куча карт. Теперь я готов послушать Ваши рассуждения о симметриях разной степени мощности, которые Вы здесь сумеете увидеть.

Так вот, поскольку модель оперирует исключительно картами, т.е. ей глубоко наплевать, каким образом получена данная конкретная карта. И все выводы о симметрии, которые делаются на основе данной модели относятся исключительно к симметрии карт.
Другими словами. Теорема Биркхофа должна быть справедлива в следующей формулировке. Если метрика, независимая от времени, имеет диагональный вид, то это метрика Шварцшильда. Ну примерно так. Не настаиваю на точности данной формулировки.

(А способ построения СК нужен не модели, ей и без него хорошо. Он нужен нам, чтобы соотносить результаты модели с наблюдаемой реальностью.)
Вот такая общая задача.

А поскольку любую стационарную метрику можно привести к диагональному виду соответствующим выбором координат, то решение для любой стационарной задачи сводится к метрике Шварцшильда.
Это так сказать, часть общей задачи.

Ещё более общая задача. Любая метрика в ОТО сводится к решению задачи в СК, где метрический тензор имеет диагональный вид.

Вам не кажется, что если это будет математически строго доказано, то существенно упростит жизнь физикам?
Хотя до хрипоты спорить чей приближенный метод решения той или иной задачи разумеется гораздо увлекательнее.... Но зато при этом создаётся что-то новое!!!

Ещё один аспект. Вопрос насколько хороша ОТО.
Так вот. У ОТО таки есть существенный, на мой взгляд, недостаток. Массивные тела не притягиваются. Существуют решения, в которых тела не притягиваются друг к другу, не вращаясь относительно общего центра.
Признак этого недостатка виден уже при решении задачи о падении массивной частицы вдоль радиуса в метрике Шварцшильда. Насколько Вы помните, уравнение составляется на основе условий $p_0=\operatorname{const}$ и $p_ip^i=m$. Так вот, линия $r=\operatorname{const}$ тоже удовлетворяет этим условиям. Почему это решение отбрасывается нигде почему то не говорится. Его просто не замечают. Разумеется, есть ещё принцип движения по геодезическим... Но этот принцип работает только если есть фоновая метрика. А если речь идёт не о пробных частицах, то фоновой метрики нет. Это особенность ОТО. В МТУ об этом говорится даже с некоторой гордостью за теорию.
Кстати. Из моей метрики можно получить метрику, в которой эти два тела вращаются вокруг общего центра (а возможно и вокруг другого). Причём угловая скорость вращения будет любая. Просто в силу того, что $p_0=\operatorname{const}$ и $p_ip^i=m$ при движении по круговым орбитам, если расстояние между этими телам будет сохраняться.
Я этого ещё не пробовал, но думаю, что будет именно так.

Ещё один аспект. Если бы в пустом пространстве для неподвижных друг относительно друга тел существовало только решение, в котором они вращаются, возник бы вопрос: относительно чего вращаются. Это было бы доказательством абсолютного пространства.
А необнаружимость абсолютного пространства в рамках ОТО приводит к тому, что тела не обязаны падать друг на друга.

И по поводу применимости ОТО к предсказанию эволюции больших массивных систем, в частности Вселенной... У меня появилось смутное подозрение, что можно задать любой вариант эволюции и для него найдется точное решение. Но это на данный момент не более чем просто мысль вслух...

Перекраской машины из "Лады" не сделать "Тойоту" это разумеется верно. Но перед тем как красить не мешает убедиться, что это машина, и что она ездит.
Проверка теории это тоже небесполезная штука. Вы разве с этим не согласны?

-- 24.03.2019, 20:28 --

schekn в сообщении #1383886 писал(а):

Не знаю, не проверял, это к ТС вопрос, пускай занулит массу.

В четырехмерном пространстве-времени тензор Ричи может быть нулевым при ненулевом тензоре кривизны. Другими словами, истинные гравитационные поля могут существовать и в пустом пространстве. Так что в пустом пространстве в ОТО метрика не обязательно плоская.

-- 24.03.2019, 20:31 --

manul91 в сообщении #1383879 писал(а):

При преобразований топикстартера, ни в чем не повинная ракета зависшая на $R=100, \theta=\frac{\pi}{2}, \varphi=0$ - вдруг потерялась (волшебным махом брюки исчезли).

Ну что же Вы так, повнимательнее надо быть со своими вещами, тогда они теряться не будут.

[Geen]

Кажется троллинг.

[manul91]

Скорее, тут агрессивное невежество.

[monky99]

Ладненько, я высказал некоторые предположения. Дальше уже нужна математика. Если у кто либо даст советы по поводу того, каким образом это можно доказать или опровергнуть, буду благодарен.
Вести дискуссию на уровне бла бла бла мне не хочется. А на серьезном уровне на данный момент я не готов. Так что развивать дискуссию в этом направлении не буду.
И благодарю высказавших своё мнение.

[Someone]

manul91 в сообщении #1383913 писал(а):

Скорее, тут агрессивное невежество.

Скорее, всё-таки, троллинг. Потому что началось уже прямое враньё:

monky99 в сообщении #1383898 писал(а):

Munin в сообщении #1383790 писал(а):

Нет, не является.

Глупость.
Перед Вами уравнение $x+2=4$. Вы пишете $x=2$. Проверяем подстановкой $2+2=4$. Значит это значение икса является решением данного уравнения.
Перед Вами метрика, подставляете её в уравнения ОТО. В результате тензор Ричи получается нулевым. Т.е. уравнение превращается в тождество. И при этом Вы заявляете, то данная метрика не является решением.

Смотрим оригинал:

Munin в сообщении #1383790 писал(а):

monky99 в сообщении #1383759 писал(а):

Ну, новое или не новое решение (кстати а каково нынче определение термина "новое решение"?), но оно является решение поставленной задачи.

Нет, не является.

То есть, Munin пишет не о том, что представленная метрика не является решением уравнений ОТО, а о том, что она не является решением поставленной задачи

monky99 в сообщении #1382988 писал(а):

В пустом пространстве находятся два одинаковых сферически симметричных тела каждое массой $m$, неподвижных друг относительно друга.

Люди, понимающие, что такое система координат, и умеющие осознанно делать замену координат, как правило, понимают, что замена координат сама по себе не создаёт нового решения. Истина это настолько простая, что студенты первого курса это понимают. В частности, решение задачи об одном сферически симметричном теле остаётся решением задачи обо одном сферически симметричном теле, какие бы координаты мы ни придумали. Я не думаю, что monky99 этого не понимает.
Он также явно понимает, что его система координат не полная, как это заметил manul91, но вместо каких-либо объяснений по этому поводу предпочитает "пошутить":

monky99 в сообщении #1383898 писал(а):

Ну что же Вы так, повнимательнее надо быть со своими вещами, тогда они теряться не будут.

Поэтому это типичный троллинг.

[manul91]

Someone в сообщении #1383917 писал(а):

Люди, понимающие, что такое система координат, и умеющие осознанно делать замену координат, как правило, понимают, что замена координат сама по себе не создаёт нового решения. Истина это настолько простая, что студенты первого курса это понимают. В частности, решение задачи об одном сферически симметричном теле остаётся решением задачи обо одном сферически симметричном теле, какие бы координаты мы ни придумали. Я не думаю, что monky99 этого не понимает.

Не смотря на простоту этой истины, я не один раз говорил с людей (вроде бы иначе неглупых) - до которых это доходит с трудом (если вообще).
Живые примеры - schekn и теперь monky99 (вот смотрите что он наплел в сообщении к Munin - о том как эллипсоиды координатными преобразованиями преобразуются в чем угодно, и что якобы все статичные вакуумные решения ОТО суть решение Шварцшильда - по моему, он в этом искренне верит).

Типично - они думают - что если например на плоскости задан прямоугольный треугольник сторонами 3,4,5 - то если на плоскости мы перейдем из декартовых к каких-то криволинейных координат - что из-за новых координат, изначальный прямоугольный треугольник превратится в какую-то кривую загогулину.
Они и не подозревают - что в новых кривых координат точно также можно рассчитать длин и прямолинейность сторон,величин углов того же треугольника - и убедиться, что это тот же самый треугольник (хотя казалось бы и ежу понятно - что треугольнику ни жарко ни холодно от того, какими координатами его описывают).

Частично возможно проблема в том, что они никогда реально не работали криволинейными координатами в простейших ситуаций - чтобы извлекать из них инвариантных вещей (например - дана метрика эвклидовой плоскости в криволинейных координат - найти как выглядят уравнения прямых на плоскости в этих координат)

[Munin]

monky99 в сообщении #1383898 писал(а):

И при этом Вы заявляете, то данная метрика не является решением.

Я заявил нечто другое: что данная метрика не является решением задачи двух тел. А что она удовлетворяет уравнению Эйнштейна в вакууме, я готов поверить. Не позволю приписывать мне то, чего я не говорил.

monky99 в сообщении #1383898 писал(а):

Глупость.

monky99 в сообщении #1383898 писал(а):

Вы так ничего и не поняли.

Видимо, я пас.

— Позвольте, — перебил я, — а как же мне Лом говорил, что вы в картах умеете разбираться?
— О, это сколько угодно, — отвечает он. — Карты — это моя специальность, карты — это мой хлеб, только не морские, а, простите, игральные карты.