Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел

[manul91]

schekn в сообщении #1383730 писал(а):

Я нигде не говорил, что можно преобразованием координат изменить физику.

Неужели?;)
А это кто писал про "деление шаров на частей" и "перемещение получившихся частей" в разные места, путем преобразования координат:

schekn в сообщении #1383686 писал(а):

ТС втихоря разделил шар массы $M$ на 2 сферические части $M/2$ и переместил их в эти особые точки $z_1 , z_2$ , $\rho=0$ , чтобы совпадали центры сфер с этими точками.

-- 23.03.2019, 22:06 --

schekn в сообщении #1383730 писал(а):

Это мне и показалась странным. Если до этого "особенность " была связной (если хотите "точечной" в данных координатах) , то здесь она "распалась" на 2 несвязные. Ну не знаю, это у меня вызвало удивление.

Впервых отнюдь не точечной, это вообще поверхность.
Во вторых, ничего странного.
Координатную сингулярность можно и на 100 несвязных "распасть" - ведь новые координаты теряют накрытие прежней области пространства - касаясь прежней сингулярности только в ее подобластей.
Я же подробно написал как аналогичное проделать и в обычном 3d плоском эвклидовом пространстве (притом с наглядную ссылку на график - как выглядят линии постоянной величины, для новой вырожденной цилиндрической координатой $\rho'$)

[schekn]

manul91 в сообщении #1383729 писал(а):

Таким образом, новая метрика остается сингулярной только в этих двух точек (за счет того, что новые координаты, теперь вообще не накрывают большую область 3d пространства содержащее ось

Об этом Geen и писал, что локальные карты разные.

-- 23.03.2019, 21:08 --

manul91 в сообщении #1383731 писал(а):

А это кто писал про "деление шаров на частей" и "перемещение получившихся частей" в разные места, путем преобразования координат:

Эта было некое предположение, если хотите, за рамками обсуждения. Если вы не поняли, то забудьте. Я говорил о физическом перемещении шаров, а не преобразовании координат. Вы плохо читаете текст. После слов "ПС. ... " никаких преобразований координат нет.

[manul91]

schekn в сообщении #1383732 писал(а):

Я говорил о физическом перемещении шаров, а не преобразовании координат. Вы плохо читаете текст.

Именно - вы говорили про физическом делениии и перемещении шаров - и во всем остальном сообщении далее объясняли, какими именно последовательными преобразованиями координат ТС этого добился ; )

schekn в сообщении #1383732 писал(а):

После слов "ПС. ... " никаких преобразований координат нет.

Прежде этого, все ваше остальное сообщение про преобразований координат

[schekn]

manul91 в сообщении #1383731 писал(а):

Во вторых, ничего странного.
Координатную сингулярность можно и на 100 несвязных "распасть" - ведь новые координаты теряют накрытие прежней области пространства - касаясь прежней сингулярности только в ее подобластей.

Мне было бы интересно услышать математиков про корректность такого перехода.

-- 23.03.2019, 21:24 --

manul91 в сообщении #1383733 писал(а):

После этого, все ваше остальное сообщение про преобразований координат

(Оффтоп)

Давайте вы не будете врать.

[manul91]

(Оффтоп)

schekn в сообщении #1383734 писал(а):

Давайте вы не будете врать. Там нет слов про координатные преобразования, это была последняя фраза в сообщении.

Правильно, тем не менее по сути все верно я сказал.
Все сообщение писали про преобразований координат, а в П.С. подвели итог что по-вашему, было проделано ; ))

[schekn]

manul91

(Оффтоп)

Цитата:

в Правильно.
Все сообщение про преобразований координат, а П.С. подвели итог что было проделано ; ))

Давайте мы возьмем шар, разделим на 2 части и переместим один в точку $R_1$ , а вторую в $R_2$ , физически, думаете не изменится конфигурация пространства-времени? А уже потом будем играть координатами.

[manul91]

(Оффтоп)

schekn в сообщении #1383736 писал(а):

Давайте мы возьмем шар, разделим на 2 части и переместим один в точку $R_1$ , а вторую в $R_2$ , физически, думаете не изменится конфигурация пространства-времени? А уже потом будем играть координатами.

Так вы сделали другое: начали с шварцшильда (одного шара) - далее объясняли как ТС менял координаты - и в конце концов пришли к выводу что якобы ТС поделил шар на части, и части были куда-то перемещены ; ))
Не отвертитесь.

[Munin]

Да, я слова schekn переоценил.

[schekn]

(Оффтоп)

manul91 в сообщении #1383737 писал(а):

Так вы сделали другое: начали с шварцшильда (одного шара) - далее объясняли как ТС менял координаты - и в конце концов пришли к выводу что якобы ТС поделил шар на части, и части были куда-то перемещены ; ))
Не отвертитесь.

Ладно, я неудачно построил пример, предполагая, что может смоделировать ТС, а вы придрались. Но вопрос про разделение одной особенности на две по прежнему остался.

[monky99]

schekn в сообщении #1383686 писал(а):

ПС. Мне кажется, что ТС втихоря разделил шар массы $M$ на 2 сферические части $M/2$ и переместил их в эти особые точки $z_1 , z_2$ , $\rho=0$ , чтобы совпадали центры сфер с этими точками.

Ну почему же втихаря? Обижаете, сударь.

monky99 в сообщении #1382988 писал(а):

В пустом пространстве находятся два одинаковых сферически симметричных тела каждое массой $m$, неподвижных друг относительно друга.

Это входит в условие задачи.

schekn в сообщении #1383686 писал(а):

Вы и другие правильно говорите, но непонятно, где ТС сделал ошибку. Если Риччи всюду ноль (не проверял), кроме особых точек, то вроде как некорректным способом получено осесимметричное вакуумное решение.
Я тут слегка проанализировал ситуацию.
Сначала monky99 берет метрику Шваршильда в стандартных координатах и делает такое преобразование:

Вы несколько неточно проанализировали ситуацию. Есть старая истина, что в действительности всё не так, как на самом деле. Так вот, я сначала угадал решение задачи. А потом обнаружил, что преобразование координат, приводящее к метрике диагонального вида, даёт метрику вид которой совпадает с видом метрики Шварцшильда. Как Вам такой вариант событий?
Можно конечно подискутировать о том, корректен или нет метод угадывания.... Хотя по моему мнению, корректный способ это тот, который приводит к правильному результату. Других критериев корректности не знаю.
Более интересен вопрос, это совпадение просто случайность или нечто большее...

schekn в сообщении #1383686 писал(а):

Возникает вопрос о корректности последнего преобразования.

Не думаю, что этот вопрос так уж важен. Я вот это писал раньше:

monky99 в сообщении #1383029 писал(а):

Если тела неподвижны друг относительно друга, то можно построить СК в которой метрика будет независима от времени. Метрический тензор представляет собой симметричную матрицу. Такую матрицу можно привести к диагональному виду.

Т.е. у нас есть два тела изначально. Мы построили вокруг них СК. Мы можем даже метрику определить прямыми измерениями. Вот, а дальше приводим эту метрику к диагональному виду и обнаруживаем.... По большому счёту не важно, насколько корректны данные преобразования. Всё равно мы из той СК возвращаемся в исходную. А последовательное проведение прямого и обратного преобразования даёт тождественное преобразование в корректности которого сомнений ведь нет.
Вас удивляет, что одна особенность распалась на две. Так ничего удивительного. Просто СК в которой метрика диагонального вида в данном случае весьма неудачная. В ней эти самые две особенности имеют одинаковые координаты. Собственно говоря, Ваш анализ корректности преобразований координат именно к такому выводу и приведёт. Ну и что? Во-первых, я нигде не говорил, что СК с диагональной метрикой в данном случае хороша для рассмотрения в ней чего либо.
Кстати, при переходе из координат Шварцшильда в координаты Крускала центральная сингулярность распадается на две. Вследствии неполноты координат Шварцшильда . Можете на досуге глянуть на преобразования координат между ними. Там не так уж безоблачно всё. Но метрика Крускала является решением уравнений ОТО, и это главное.

Munin в сообщении #1383691 писал(а):

Да, это, вроде, все уже поняли. ТС не понял, что этим не создал нового решения.

Ну, новое или не новое решение (кстати а каково нынче определение термина "новое решение"?), но оно является решение поставленной задачи.
Если честно, то мне полученная мною метрика не нравится. То ли я неудачное преобразование координат выбрал. То ли не ту диагональную метрику взял. Это в том случае, если для диагональной метрики, независящей от времени, возможно более чем одно решение.
Так что ещё поиграюсь с этим.
Кстати, Вы натолкнули меня на любопытную мысль. Пожалуй, на досуге позанимаюсь идиотизмом. Попробую метрику одного тела привести к диагонально-единичному виду, наложить на неё Шварцшильдовскую метрику второго тела ,а потом вернуть обратно при помощи тех же самых, разумеется несуществующих преобразований, и глянуть что из этого получится. Мало ли, а вдруг...

[schekn]

monky99 в сообщении #1383759 писал(а):

Как Вам такой вариант событий?
Можно конечно подискутировать о том, корректен или нет метод угадывания.... Хотя по моему мнению, корректный способ это тот, который приводит к правильному результату.

У вас возникнет проблема сшить это решение с внутренним (где вещество) на границе .

-- 24.03.2019, 04:16 --

monky99 в сообщении #1383759 писал(а):

при переходе из координат Шварцшильда в координаты Крускала центральная сингулярность распадается на две.

Гладкими преобразованиями нельзя этого сделать.

[manul91]

monky99 в сообщении #1383759 писал(а):

Так вот, я сначала угадал решение задачи. А потом обнаружил, что преобразование координат, приводящее к метрике диагонального вида, даёт метрику вид которой совпадает с видом метрики Шварцшильда. Как Вам такой вариант событий?
Можно конечно подискутировать о том, корректен или нет метод угадывания....

Вы продолжете не понимать, что преобразованием координат нельзя сделать из одного тела две ?... :)

Ладно, ответьте тогда на вопрос попроще.

Вы в начале писали:

monky99 в сообщении #1383029 писал(а):

Следующая метрика
$ds^2=-\frac {1}{1+2M/R}dT^2+(1+2M/R)dR^2+(R+2M)^2d \theta ^2+(R+2M)^2 \sin^2( \theta )d \varphi ^2 $
является решением уравнений Эйнштейна.
Остаётся только выбрать подходящее преобразование координат, чтобы получить более понятную систему. Я выбрал следующие преобразования:
$T=t$, $R=\frac{2R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{2\sqrt{{{\left( z-\mathit{z_1}\right) }^{2}}+{{\rho}^{2}}}\,\sqrt{{{\left( z-\mathit{z_2}\right) }^{2}}+{{\rho}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( z-\mathit{z_2}\right) }^{2}}+{{\rho}^{2}}}+\sqrt{{{\left( z-\mathit{z_1}\right) }^{2}}+{{\rho}^{2}}}}$, $\theta = \arcsin(\frac {\rho}{R})$, $\varphi =\varphi$
А поскольку метрика получена в результате преобразования координат, то она тоже является решением уравнений Эйнштейн

Пусть в исходных координат $R,\theta,\varphi$, точка имеет координаты $R=100, \theta=\frac{\pi}{2}, \varphi=0$.

Например, скажем на этих координат $R=100, \theta=\frac{\pi}{2}, \varphi=0$ неподвижно зависла ракета (если нужно, $m$ допустим пренебрежимо малым, типа $m=0.00000001$)

Допустим также для определенности, что $z_1=5, z_2=10$.

Каковы координаты той же ракеты, в величин новых - "угаданных вами" - "цилиндрических" координат $\rho, \varphi, z$?

Более конкретно, интересует ее координата z.

[schekn]

manul91 в сообщении #1383768 писал(а):

$R=100, \theta=\frac{\pi}{2}, \varphi=0$

Вы не очень хорошее значение для координаты $\theta$ взяли. Потому что $\theta=\pi/2$ при бесконечной $\rho$ .

-- 24.03.2019, 10:36 --

monky99
А вы такой интеграл не считали? А то лень переписывать длинное выражение:

$\int_{z_1+\delta}^{z_2-\delta}{g_{zz}dz}$ при $\rho=0$

[Munin]

monky99 в сообщении #1383759 писал(а):

Ну, новое или не новое решение (кстати а каково нынче определение термина "новое решение"?), но оно является решение поставленной задачи.

Нет, не является.

Приведите для начала постановку задачи. Дословно и из авторитетного источника.

monky99 в сообщении #1383759 писал(а):

Если честно, то мне полученная мною метрика не нравится. То ли я неудачное преобразование координат выбрал. То ли не ту диагональную метрику взял.

Вы не понимаете, что вообще ничего нового таким способом не делаете. Не создаёте нового решения. Перекраской машины из "Лады" не сделать "Тойоту".

[manul91]

schekn в сообщении #1383774 писал(а):

Вы не очень хорошее значение для координаты $\theta$ взяли. Потому что $\theta=\pi/2$ при бесконечной $\rho$ .

Да ну, что за глупость.

Впервых каждая точка имеющая координаты в сферических координат, имеет таковых и в цилиндрических (и наоборот).

Координата $\theta$ в цилиндрических координат вообще не существует - и у него как обычно, сферические обозначены $T,R,\theta,\varphi$, а "цилиндрические" обозначены как $t, z, \rho, \varphi$ (если абстрагироваться от шелуху с промежуточных переменных $R_1$ и $R_2$)

(Оффтоп)

При обычном преобразовании от сферических $R,\theta,\varphi$ к цилиндрических $z, \rho, \varphi$, было бы

$$\rho = R\sin\theta, z = R\cos\theta, \varphi=\varphi$$

- а значит, точка на сферических координат

$$R=100,\theta=\frac{\pi}{2},\varhpi=0$$

будет иметь цилиндрические координаты

$$\rho=100, z=0, \varphi=0$$

Во вторых, подставляя

$$R=100,\theta=\frac{\pi}{2}$$

в его собственном преобразовании

$$\theta = \arcsin(\frac {\rho}{R})$$

получаем для $\rho$ (поскольку $\sin{\frac{\pi}{2}}=1$)

$$\rho=R=100$$

Так что с величины $\rho$ у него при $\theta=\frac{\pi}{2}$ все в порядке (при $R=100,\theta=\frac{\pi}{2}$, у него будет также $\rho=100$).