2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кинематика точки на кривой
Сообщение04.12.2018, 19:20 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Зададим кривую на плоскости радиус-вектром как функцией натурального параметра: $\boldsymbol r=\boldsymbol r(s),\quad |\boldsymbol r'(s)|=1.$
Штрихом обозначена производная по $s$.

Через $\boldsymbol n(s)$ обозначим единичный вектор, перпендикулярный вектору $\boldsymbol\tau(s):={\boldsymbol r'}(s)$ и такой , что пара $\boldsymbol\tau(s),\boldsymbol n(s)$ положительно ориентирована. Эта пара называется репером Френе плоской кривой (см Тайманов лекции по диф. геометрии).

Определим кривизну плоской кривой следующим образом
$$k(s):=\sigma |{\boldsymbol r''(s)}|,$$
Где $\sigma=1$, если пара ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ положительно ориентирована,
$\sigma=-1$ если пара ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ отрицательно ориентирована,
$\sigma=0$ если ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ линейно зависимы.


Предположим, что точка $A$ движется по данной кривой по закону $s=s(t)$ т.е. радиус-вектор точки $A$ на плоскости выражается формулой $\boldsymbol r_A(t)=\boldsymbol r(s(t))$.

Теорема. $\boldsymbol a_A=\ddot s\boldsymbol\tau+\dot s^2k\boldsymbol n$.

Замечание 1. Первое слагаемое в правой части этой формулы называется тангенциальным ускорением, второе слагаемое -- нормальным ускорением точки $A$.
Ни каких ограничений (кроме требования гладкости) на функцию $s(t)$ не накладывается , в частности, ее производная может менять знак или быть тождественным нулем.

Замечание 2. В случае пространственных кривых, для корректного определения репера Френе приходится требовать линейную независимость векторов $\boldsymbol r',\boldsymbol r''$, а кривизна определяется несколько иначе: $k=|\boldsymbol r''|.$ Однако, теорема остается верной и в этом случае.

Замечание 3. В задачах механики бывает удобно считать параметр $s$ координатой на кривой. Т.е. отсчитывать его в обе стороны от некоторой точки кривой, в которой $s=0$. В этом случае параметр $s$ может принимать отрицательные значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки на кривой
Сообщение04.12.2018, 19:21 


21/05/16
4292
Аделаида
А что обсуждается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки на кривой
Сообщение04.12.2018, 20:22 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
pogulyat_vyshel в сообщении #1358823 писал(а):
Теорема. $\boldsymbol a_A=\ddot s\boldsymbol\tau+\dot s^2k\boldsymbol n$.
Забыли дать определение $\boldsymbol a_A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки на кривой
Сообщение04.12.2018, 20:25 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Walker_XXI в сообщении #1358830 писал(а):
pogulyat_vyshel в сообщении #1358823 писал(а):
Теорема. $\boldsymbol a_A=\ddot s\boldsymbol\tau+\dot s^2k\boldsymbol n$.
Забыли дать определение $\boldsymbol a_A$.

Ускорение точки А ,вестимо, :) относительно системы координат, в которой кривая покоится

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки на кривой
Сообщение04.12.2018, 20:55 


27/08/16
9426
Сама кривая кусочно-гладкая, видимо, некоторого класса гладкости? В особых точках недифференцируемая по своему натуральному параметру? Т. е. условие $|\boldsymbol r'(s)|=1.$ задаётся вне особых точек? И тогда в особых точках никакие упомянутые вектора, кроме радиус-вектора, не определены?

Класс гладкости, видимо, всюду непрерывные и дважды кусочно-дифференцируемые кривые? Или дважды кусочно-непрерывно-дифференцируемые, чтобы определение ускорение получалось кусочно-непрерывным??

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки на кривой
Сообщение05.12.2018, 08:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pogulyat_vyshel в сообщении #1358823 писал(а):
$\sigma=0$ если ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ линейно зависимы.

Можно ли увидеть пример? $\boldsymbol{r}''\ne 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки на кривой
Сообщение05.12.2018, 08:53 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Munin в сообщении #1358945 писал(а):
pogulyat_vyshel в сообщении #1358823 писал(а):
$\sigma=0$ если ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ линейно зависимы.

Можно ли увидеть пример? $\boldsymbol{r}''\ne 0.$

И я типо по правилам форумуа должен отвечать, потому что тема моя и участник заслуженный . ok Вопрос нерелевантен. Я не утверждал, что существуют кривые для которых ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ зависимы, причем $\boldsymbol r''\ne 0$. Очевидно, что таких кривых нет , достаточно продифференцировать тождество $|\boldsymbol r'|^2=1$. На корректности условия "если ${\boldsymbol r'},{\boldsymbol r''}$ линейно зависимы." это замечание ни как не сказывается.

(Оффтоп)

Вы еще раз меня убедили в том, что я правильно делаю игноря вас

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки на кривой
Сообщение05.12.2018, 09:48 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Для сравнения, как вводится тангенциальное ускорение в некоторых учебниках общей физики.

Движение точки: $\boldsymbol r=\boldsymbol r(t)$
Скорость точки: $\boldsymbol v = \frac{d\boldsymbol r(t)}{dt}$
Введем единичный вектор, сонаправленный с вектором скорости: $\boldsymbol e_v = \frac{\boldsymbol v}{v}$
Тогда скорость точки можно записать так: $\boldsymbol v = v \boldsymbol e_v$ (1)
Найдем ускорение, продифференцировав (1) по времени:
$\boldsymbol a = \frac{d \boldsymbol v}{dt} = \frac {d v}{dt} \boldsymbol e_v + v \frac{d}{dt} \boldsymbol e_v$

Первое слагаемое называется тангенциальным ускорением.

1. Легко видеть, что если $v \ne 0$, то запись $\frac {d v}{dt} \boldsymbol e_v$ и запись $\ddot{s} \boldsymbol \tau$ задают один и тот же вектор.
2. Если $\dot{s} < 0$, то базисы, по которым раскладываем ускорение оказываются разными.
2.1. Однако, если везде $\dot{s} \ne 0$ (или что эквивалентно $v \ne 0$), то знак у $\dot{s}$ не меняется, и выбором натурального параметра можно добиться, чтобы везде было: $\dot{s} > 0$
3. Если в какой-то точке $\dot{s} = 0$, и кривая в этой точке не гладкая, то разложение ускорения на тангенциальное и нормальное не существует, в силу несуществования базиса.

Разногласия возникают в следующих случаях:

4. В точке, где $\dot{s} = 0$ кривая остается гладкой. Тогда $\ddot{s} \boldsymbol \tau$ - существует, а $\frac {d v}{dt} \boldsymbol e_v$ - не существует.
5. В точке, где $\dot{s} = 0$, $\dot{s}$ меняет знак. Тогда, если базисы до прохождения этой точки совпадали, то после прохождения этой точки будут различными.
5.1. Однако, пункт 1 всё равно будет оставаться в силе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки на кривой
Сообщение05.12.2018, 11:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pogulyat_vyshel в сообщении #1358948 писал(а):
Очевидно, что таких кривых нет

Спасибо, это я и хотел услышать. Мой вопрос был вызван тем, что от вас всегда можно ожидать подковырки на ровном месте.

pogulyat_vyshel в сообщении #1358948 писал(а):
Вы еще раз меня убедили в том, что я правильно делаю игноря вас

Странный вывод, если я всего лишь хотел уточнить, можно ли одно условие заменить другим. Как бы то ни было, спасибо за ответ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group