счетность множества действительных чисел

[PAV]

ZVS писал(а):

Есть только одна причина, почему до сих пор так мало недовольных создавшимся положением вещей.Дело в том, что противоречия разрешаются, если знать, что обьект изменил свойства на каком либо шаге!

Есть другая причина - эти "противоречия" Вы придумали сами, а убедить нормальных математиков в их существовании Вам ну никак не удается. В обсуждаемом рассуждении у нас нет никаких шагов и нет никаких изменений свойств объектов.

[Captious]

ZVS писал(а):

Всё логично вроде бы,НО изменения невозможны согласно вневременности обьектов анализа!

Встречал я аналогичные рассуждения о том, что в математике якобы нет "времени"... А как же тогда быть с известными всем из матанализа переменными величинами? Они-то уж, точно изменяются и даже порой "стремятся" к каким-то пределам. Я не прав?

Someone писал(а):

Не правы. Они ни к чему не стремятся и никак не изменяются. Это не более чем исторически сложившиеся наглядные описания. [...]

Возьмем стандартное определение предела числовой последовательности. [...]
Что здесь "изменяется" и "стремится"?

$f_k$ где $k\in B_n$
То бишь, член числовой последовательности $f$.
Именно он "изменяется" и "стремится"... к пределу $l$...

Someone писал(а):

Например, пусть $n=10$ и $k=20\in B_{10}$. Значит, Вы утверждаете, что $f_{20}$ изменяется и к чему-то стремится?

Не-е... Просто в общем случае $f_{k} \neq f_{k+1}$...

Someone писал(а):

А почему Вы вписываете ответы в свои старые сообщения? Хотите, чтобы эти ответы никто не заметил?

Просто не хочу способствовать размножению вашего флуда...

Someone писал(а):

Тогда лучше отыскать какие-нибудь совсем старые сообщения в забытых темах.

А у вас, "батеньки", что старое, что новое ... Ну, никакого прогресса!
Так что я и дальше не буду специально выделять для "общения" с вами отдельных постов... А может быть лучше вообще не реагировать на ваши "ремарки"

[Someone]

Captious писал(а):

А как же тогда быть с известными всем из матанализа переменными величинами? Они-то уж, точно изменяются и даже порой "стремятся" к каким-то пределам. Я не прав?

Не правы. Они ни к чему не стремятся и никак не изменяются. Это не более чем исторически сложившиеся наглядные описания.

Возьмем стандартное определение предела числовой последовательности.

Числовая последовательность - это отображение $f\colon\mathbb N\to\mathbb R$. Исторически сложилось обозначение $f_n$ для значения этого отображения в точке $n\in\mathbb N$.

На множестве $\mathbb N$ определим базу фильтра $\mathcal B=\{B_n:n\in\mathbb N\}$, где $B_n=\{k\in\mathbb N:k>n\}$, $\n\in\mathbb N$. Эта база фильтра традиционно обозначается $n\to\infty$ (вместо буквы $n$ может быть любая другая).

Для произвольной точки $a\in\mathbb R$ определим базу фильтра $\mathcal O_a=\{O_{\varepsilon}(a):\varepsilon\in\mathbb R_+\}$, где $O_{\varepsilon}(a)=\{x\in\mathbb R:|x-a|<\varepsilon\}$, $\varepsilon\in\mathbb R_+=\{x\in\mathbb R:x>0\}$.

Далее, к множеству $\mathbb R$ присоединим элементы $\infty$, $+\infty$ и $-\infty$, которые не являются числами и будут называться бесконечностями. Базы фильтров в этих точках определим как совокупности множеств
$O_{\varepsilon}(\infty)=\{\infty,x\in\mathbb R:|x|>\frac 1{\varepsilon}\}$,
$O_{\varepsilon}(+\infty)=\{+\infty,x\in\mathbb R:x>\frac 1{\varepsilon}\}$,
$O_{\varepsilon}(-\infty)=\{-\infty,x\in\mathbb R:x<-\frac 1{\varepsilon}\}$,
где $\varepsilon\in\mathbb R_+$.

Пусть задана последовательность $f\colon\mathbb N\to\mathbb R$, и пусть $l$ есть действительное число или одна из перечисленных бесконечностей.
$l$ называется пределом последовательности $f$ (обозначается $l=\lim\limits_{n\to\infty}f_n$), если для каждого $\varepsilon\in\mathbb R_+$ существует такое $n\in\mathbb N$, что для всех $k\in B_n$ выполняется $f_k\in O_{\varepsilon}(l)$ (короче: $f(B_n)\subseteq O_{\varepsilon}(l)$).

Что здесь "изменяется" и "стремится"?

[ZVS]

PAV писал(а):

эти "противоречия" Вы придумали сами, а убедить нормальных математиков в их существовании Вам ну никак не удается. В обсуждаемом рассуждении у нас нет никаких шагов и нет никаких изменений свойств объектов.

Ну вот.Всё по плану.
1.Есть "нормальный" математик.
2.У него проблемы нет.
До джентльменского набора не хватает последнего пункта.
А именно, упоминания о личном знакомстве с Колмогоровым,Арнольдом,Зоричем и их уважении к имярек..
P.S.Так если нет никаких шагов и УЖЕ существует бесконечная последовательность пронумерованных действительных чисел,откуда возьмется хотя бы еще одно?Действительные числа,что были на отрезке, мы пронумеровали,иначе последовательность не окончена, то есть не существует как совокупность членов , данная последовательность, вообще имеет начало, а конца пусть и бесконечного нет.Приплыли.
Тут обычно и происходит прыжок на бесконечность с кратковременной амнезией.
P.P.S.-Так нельзя!
-Да можно..(С)

[ewert]

ZVS писал(а):

P.S.Так если нет никаких шагов и УЖЕ существует бесконечная последовательность пронумерованных действительных чисел,откуда возьмется хотя бы еще одно?

Поздравляю, Вы доказали, что числа 2 не существует, и теперь Вам на любом экзамене ничего не грозит.

Действительно, рассмотрим последовательность:

1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....

Мы её уже пронумеровали -- самим выписыванием:
$a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=4,\ a_4=5,\ a_5=6,\ a_6=7,\ a_7=8$ и т.д.
Господи, а где же двойка-то? откуда она возьмётся-то? мы ведь уже всё пронумеровали?

[Brukvalub]

Вот вы, ewert и попались! Попробуйте теперь заявить, что вы незнакомы с Зоричем.
Кстати, я и сам с Зоричем знаком, много лет вел упражнения в его потоке, два раза сдавал экзамен Арнольду - на 2-м курсе и в аспирантуре, и на Совете в день моей защиты присутствовал А.Н. Колмогоров.
Так что, согласно ZVS-критерию, я имею полное право заявить следующее: мы все здесь напрасно тратим силы на убеждение этого самого ZVS и подобных ему Давидюков в правильности доказательства несчетности множества точек любого невырожденного отрезка.
Дело прежде всего в том, что этим "господам" истина вовсе и не важна.
Им просто нравится "тусоваться" среди умных людей, а, так как по всеобщему убеждению, самыми умными людьми являются математики, то приятнее всего "тусоваться" именно среди математиков и раз за разом задавать им всякие "каверзные" вопросики про бесконечность.
А ответы этих самых математиков вышеуказанные господа даже и не читают, ибо сами "про бесконечность" понять ничего все равно не могут. Но это же не мешает им вновь и вновь задавать свои вопросы.
Вот так они и развлекаются.
Лучше всего такого рода поведенческие мотивы схвачены в рассказе В. Шукшина "Срезал":
http://lib.ru/SHUKSHIN/srezal.txt

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Вот вы, ewert и попались! Попробуйте теперь заявить, что вы незнакомы с Зоричем.

Погодите-погодите, почему из моего (довольно натужного) анекдота следует, будто я знаком с Зоричем?
Он что, тоже что-то подобное говорил?

[Captious]

ZVS писал(а):

Так если нет никаких шагов и УЖЕ существует бесконечная последовательность пронумерованных действительных чисел,откуда возьмется хотя бы еще одно?

Действительно, если по условию ВСЕ числа из бесконечного(!) списка УЖЕ получили свои номера(=имена), то "новое" число получить можно только с помощью ухищрений, связанных с нарушением закона логического тождества. Ведь никому не придет в голову, например, в уже сосчитанном стаде коров взять от каждой из них "по кусочку" и составить из них "новую корову", которой нет в списке... А вот с бесконечными дробями такое проделывают...
При пересчете элементов какого-либо множ-ва они считаются "неделимыми". Разные "по качеству" элементы получают и разные номера-имена. Именно это обстоятельство и используется в разбираемом здесь доказательстве: если мы сумеем найти такое число, которое от первого числа в списке будет отличаться 1-ой цифрой,..., от n-го n-ой цифрой, то свою цель мы достигнем. При таком методе продвижения вдоль списка по порядку следования пронумерованных элементов вроде бы уже и не надо проверять совпадение разрядов "новой" бесконечной дроби с какими-либо уже имеющимся в списке( не обязательно по порядку следования их в списке). Это и есть первая "уловка гения".

ZVS писал(а):

Действительные числа,что были на отрезке, мы пронумеровали,иначе последовательность не окончена, то есть не существует как совокупность членов , данная последовательность, вообще имеет начало, а конца пусть и бесконечного нет.Приплыли.

Вторая "уловка" состоит в некритическом принятии утверждения о том, что каждое вещественное число можно однозначно представить в форме бесконечной дроби ( периодической или непериодической). Как мы знаем, иррациональные числа представляются "гнездом интервалов" или сечениями в множ-ве рац-х чисел.
А в разбираемом здесь доказательстве они представлены только лишь одной бесконечной дробью, т.е. одним "представителем" нижнего или верхнего класса сечения, определяющего данное число.

P.S. Для "нормальных" математиков и премудрых модераторов дополнительно сообщаю, что из приведенных мною замечаний относительно разбираемого здесь доказательства несчетности множ-ва R отнюдь не следует что это множ-во счетно.
Есть и другие доказ-ва, в которых совершенно не требуется прибегать к нарушениям законов логики...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ewert писал(а):

Вы в состоянии доказать, что каждое сечение "представимо" как минимум двумя представителями?

Ну, если вы сами не в состоянии посмотреть хотя бы определение сечения по Дедекинду (или вспомнить его - вы ведь, по вашим же словам, "систематически" изучали этот вопрос?) , то зачем вам ещё какие-то доказательства определений(!)?

ewert писал(а):

или Вы считаете, что "представитель" -- это "элемент", т.е. что каждая бесконечная дробь есть рациональное число?

молчу, молчу...

ewert писал(а):

или Вы вообще хоть что-то имели в виду?

Конечно имел! Но пока "нормальным" математикам объяснишь хоть что- нибудь, пройдет уйма времени... Не успеешь оглянуться - премудрый модератор тут как тут... Так что не будем офтопить и пусть всё идет так, как шло...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

observer писал(а):

А в арифметике 1+1=2 строго, точно и навсегда! "Почувствуйте разницу!"

Ну, что бы мы без ВАС тут делали, г-н хороший? - Так бы и пребывали в невежестве...
А вы знаете, что логике 1+1 =1 строго, точно и навсегда! Почувствовали разницу?
Флудите, флудите... Вам за это ничего не будет...

[Brukvalub]

Captious писал(а):

Вторая "уловка" состоит в некритическом принятии утверждения о том, что каждое вещественное число можно однозначно представить в форме бесконечной дроби ( периодической или непериодической). Как мы знаем, иррациональные числа представляются "гнездом интервалов" или сечениями в множ-ве рац-х чисел.
А в разбираемом здесь доказательстве они представлены только лишь одной бесконечной дробью, т.е. одним "представителем" нижнего или верхнего класса сечения, определяющего данное число.

Ну вот, теперь стало ясно видно, что этот "батенька" просто не понимает одной из моделей действительных чисел, вот и все. Не уверен, что он понимает другие модели, но с моделью "бесконечные десятичные дроби" он уж точно еще не разобрался.
Незачёт, придете пересдавать осенью, голубчик.
А пока поработайте с учебниками, скажем, проработайте главу 2 в: Никольский С.М. — Курс математического анализа (том 1)
Иначе и осенью будет Незачёт.

[ewert]

Captious писал(а):

Вторая "уловка" состоит в некритическом принятии утверждения о том, что каждое вещественное число можно однозначно представить в форме бесконечной дроби ( периодической или непериодической). Как мы знаем, иррациональные числа представляются "гнездом интервалов" или сечениями в множ-ве рац-х чисел.

А Вы можете доказать, что две эти интерпретации неэквивалентны? тогда -- в студию, плиз.

Captious писал(а):

А в разбираемом здесь доказательстве они представлены только лишь одной бесконечной дробью, т.е. одним "представителем" нижнего или верхнего класса сечения, определяющего данное число.

Ну это уже нечто. Вы в состоянии доказать, что каждое сечение "представимо" как минимум двумя представителями? или Вы считаете, что "представитель" -- это "элемент", т.е. что каждая бесконечная дробь есть рациональное число? или Вы вообще хоть что-то имели в виду?

[observer]

Captious писал(а):

$f_k$ где $k\in B_n$
То бишь, член числовой последовательности $f$.
Именно он "изменяется" и "стремится"... к пределу $l$...

Извините, что встреваю. Просто раз что-то изменяется, то значит существует и скорость v этого изменения. (Хорошенькая математика получается!) Будьте добры, приведите значение этой v или хотя бы одно из его значений. Для моей коллекции.

Добавлено спустя 1 час 36 минут 13 секунд:

Captious писал(а):

Ведь никому не придет в голову, например, в уже сосчитанном стаде коров взять от каждой из них "по кусочку" и составить из них "новую корову", которой нет в списке... А вот с бесконечными дробями такое проделывают...

С числами и не такое проделывают! А вот с коровами... Что, по вашему будет служить ответом на вопрос: "Сколько будет корова и корова?" Неужели две коровы?! (Подсказка: если одна корова крупная, а другая помельче, то это две коровы или уже полторы?) А в арифметике 1+1=2 строго, точно и навсегда! "Почувствуйте разницу!"

[Someone]

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Не правы. Они ни к чему не стремятся и никак не изменяются. Это не более чем исторически сложившиеся наглядные описания. [...]

Возьмем стандартное определение предела числовой последовательности. [...]
Что здесь "изменяется" и "стремится"?

$f_k$ где $k\in B_n$
То бишь, член числовой последовательности $f$.
Именно он "изменяется" и "стремится"... к пределу $l$... :wink:

Да??? Например, пусть $n=10$ и $k=20\in B_{10}$. Значит, Вы утверждаете, что $f_{20}$ изменяется и к чему-то стремится?

P.S. А почему Вы вписываете ответы в свои старые сообщения? Хотите, чтобы эти ответы никто не заметил? Тогда лучше отыскать какие-нибудь совсем старые сообщения в забытых темах.

Добавлено спустя 49 минут 33 секунды:

Captious писал(а):

Вторая "уловка" состоит в некритическом принятии утверждения о том, что каждое вещественное число можно однозначно представить в форме бесконечной дроби ( периодической или непериодической).

Нет, вообще говоря, не каждое. Например, $0.50000000\ldots=0.49999999\ldots$. Существует счётное множество чисел, которые в десятичной системе счисления записываются двумя способами (при этом в одной записи все цифры, начиная с некоторой, равны $0$, а в другой - $9$). Часто в доказательствах несчётности множества действительных чисел об этом забывают, что, вообще говоря, является ошибкой. Впрочем, тривиально исправимой.

Captious писал(а):

Действительно, если по условию ВСЕ числа из бесконечного(!) списка УЖЕ получили свои номера(=имена), то "новое" число получить можно только с помощью ухищрений, связанных с нарушением закона логического тождества.

Глупость. Никакого "нового" числа никто не "получает".

Как известно, множество $A$ называется счётным, если существует взаимно однозначное отображение $f\colon\mathbb N\xrightarrow{\text{на}}A$. Очень часто о таком отображении говорят как о нумерации множества $A$. Или как о последовательности, содержащей (по одному разу) все элементы множества $A$. Выражаться можно по-разному, но смысл должен быть один: $f$ - это взаимно однозначное отображение множества $\mathbb N$ на множество $A$.

Пусть у нас есть любое отображение $f\colon\mathbb N\to[0,1)$. Пусть для $n\in\mathbb N$

$$f(n)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{n,k}}{10^k}\text{,}$$

где $0\leqslant a_{n,k}\leqslant 9$ - целые числа при $k\in\mathbb N$ (это, конечно, просто запись числа $f(n)$ в десятичной системе счисления). Для всех $k\in\mathbb N$ определим числа

$$b_k=\begin{cases}1\text{, если }a_{k,k}\neq 1\text{,}\\ 2\text{, если }a_{k,k}=1\text{.}\end{cases}$$

Тогда число

$$\beta=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_k}{10^k}\in[0,1)$$

(имеет единственную десятичную запись и) не совпадает ни с одним из чисел $f(n)$, так как $b_n\neq a_{n,n}$, $n\in\mathbb N$. Поэтому отображение $f$ не является отображением на полуинтервал $[0,1)$ и, в частности, не является взаимно однозначным. Таким образом, взаимно однозначное отображение натурального ряда на полуинтервал $[0,1)$ невозможно и, следовательно, полуинтервал $[0,1)$ несчётен.

[PAV]

PAV:

Captious, не дописывайте ответы на вопросы участников в свои предыдущие посты, нарушая хронологический порядок. Это существенно затрудняет восприятие.

[Captious]

По поводу уловки №1 Someone писал(а):

Глупость. Никакого "нового" числа никто не "получает".

Оба-на! О том и речь, "батеньки", ... о том и речь...
При таком "доказательстве" мы просто продвигаемся по списку все дальше и дальше в ... бесконечность...
Неужели, наконец, дошло? Что-то мне не верится...

Далее г-н Someone писал(а):

Как известно, множество $A$ называется счётным, если ...
Пусть у нас есть любое отображение $f$ ...
Для всех $k\in\mathbb N$ определим числа ...
Тогда число

$$\beta=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_k}{10^k}\in[0,1)$$

(имеет единственную десятичную запись и) не совпадает ни с одним из чисел $f(n)$, так как $b_n\neq a_{n,n}$, $n\in\mathbb N$. Поэтому отображение $f$ не является отображением на полуинтервал $[0,1)$ и, в частности, не является взаимно однозначным. Таким образом, взаимно однозначное отображение натурального ряда на полуинтервал $[0,1)$ невозможно и, следовательно, полуинтервал $[0,1)$ несчётен.

Мда... Ну, никакого движения мысли вперед: просто взял да и пересказал разбираемое здесь доказательство "своими словами"...
Проще говоря, опять стал нас "уговаривать" ...
Легко увидеть, что в "док-ве" г-на Someone основные идеи "уловки №1", т.е. просмотр-сравнение чисел по порядку их следования в списке и "собирание из кусочков" некого "нового " числа

$$\beta$$

сохранены полностью!

[observer]

Captious писал(а):

observer писал(а):

А в арифметике 1+1=2 строго, точно и навсегда! "Почувствуйте разницу!"

Ну, что бы мы без ВАС тут делали, г-н хороший? - Так бы и пребывали в невежестве...
А вы знаете, что логике 1+1 =1 строго, точно и навсегда! Почувствовали разницу?
Флудите, флудите... Вам за это ничего не будет...

Боюсь вы не поняли идею моего сообщения. Несколько странным выглядит то, что вы привели еще один пример в подтверждение этой идеи. Спасибо, но цели забрасывать тему примерами у меня не было.
Речь же идет вот о чем. Теория чисел самодостаточна и довольно развита. Она неплохо используется на практике. Например позволяет утверждать, что одна корова и одна корова есть две коровы, где в основе такого утверждения лежит манипуляция с числами 1+1=2. Последнее равенство верно только в арифметике и теориях, которые её используют. В реальном мире оно не имеет смысла. (Попробуйте найти пример, нет его).
Сама теория чисел базируется на некоторых постулатах из которых следует (доказуемо выводится) несчетность множества действительных чисел. И это внутренне дело данной теории, которая не претендует вообще говоря на некую абсолютную истинность. Никто не мешает построить новую теорию, в которую будет введен постулат или группа постулатов приводящие к выводу, что множество действительных чисел счетно. Но насколько непротиворечива будет эта новая теория и насколько неплоха она будет на практике?