Очередная шаурма с неопределенным интегралом

[Otta]

thething в сообщении #1282266 писал(а):

Почему, возьмите представителя с константой 1 (я имею ввиду в правой части)

Не могу, Вы мне запретили: " для простоты под символом $\int\limits_{}^{}f(x)dx$ понимается какой-то один представитель класса $\left\lbrace{F(x)}\right\rbrace$"

[thething]

Otta в сообщении #1282265 писал(а):

Мне больше другое интересно, зачем ТС понадобилось брать тот интеграл по частям, и главное, каков результат и иде он.

Тоже самое интересно))

-- 08.01.2018, 12:10 --

Otta в сообщении #1282269 писал(а):

Не могу, Вы мне запретили: " для простоты под символом $\int\limits_{}^{}f(x)dx$ понимается какой-то один представитель класса $\left\lbrace{F(x)}\right\rbrace$"

но ведь дальше я написал продолжение
"а все равенства с этими символами (линейно входящими) понимаются с точностью до постоянной"

[Markiyan Hirnyk]

thething

Цитата:

Самых первых вводных разделов, знакомства с теорией множеств, операции с множествами, потом действительные числа.. По крайней мере, у нас идет так, хотя, естественно, это может быть не везде

Вы подменили вопрос. Где в анализе рассматриваются сложение и умножение на число над множествами функций? Я такого в учебниках по анализу нигде не видел.

[thething]

Markiyan Hirnyk
Я говорил о сложении и умножении на число обычных множеств, понимая, например, равенство двух интегралов, как равенство двух совокупностей функций, т.е. совокупностей, состоящих из одних и тех же элементов..

Честно, не понимаю, про что Вы тогда спрашиваете, если о многозначных функциях, то я не о том

[Otta]

thething в сообщении #1282270 писал(а):

но ведь дальше я написал продолжение
"а все равенства с этими символами (линейно входящими) понимаются с точностью до постоянной"

Не, ну это я исключительно к вашему спору: я как понимаю так уже и понимаю, и вряд ли меня что переделает.
Зорич, кстати, тоже перестраховывается и исключительно во все свои формулы - линейность интегрирования, интегрирование по частям и т.п. - забабахивает постоянные (видимо, чтобы уж наверняка), - даже там, где они при моем понимании определения, не нужны.

А почему никто не протестует против табличной (опять же Зорич) формулы

$$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+c \ ?$$

Тоже ведь можно придираться. В общем, имхо, буквоедство это все.

[Markiyan Hirnyk]

thething

Цитата:

Я говорил о сложении и умножении на число обычных множеств, понимая, например, равенство двух интегралов, как равенство двух совокупностей функций, т.е. совокупностей, состоящих из одних и тех же элементов..

Честно, не понимаю, про что Вы тогда спрашиваете, если о многозначных функциях, то я не о том

Пожалуйста, укажите учебник по анализу, в котором определяются сложение двух множеств действительнозначных функций на промежутке и умножение такого множества функций на действительное число.

-- 08.01.2018, 09:31 --

Otta

Цитата:

В общем, имхо, буквоедство это все.

Не разделяю ваше мнение: учебный материал надо излагать аккуратно.

Цитата:

А почему никто не протестует против табличной (опять же Зорич) формулы

В. Зорич (его сын А. Зорич тоже математик) излагает материал аккуратно. Прочтите его запись линейности интеграла: одна первообразная на промежутке отличается от другой на постоянную.

[thething]

Markiyan Hirnyk
Если Вы имеете ввиду учебник, в котором прям конкретно говорится "сумма множеств, состоящих из функций", то понятия не имею о таком. Говоря о сумме множеств я говорил о сумме абстрактных множеств произвольной природы, в частности, перенеся это понятие на сумму множеств функций в том виде, в каком я изложил его в своем посте выше.

P.s.

thething в сообщении #1282261 писал(а):

Определять действия с множествами - задача одного из предыдущих разделов матанализа.

вот мои слова, а дальше идет их интерпретация на конкретный пример с первообразными, с чего Вы решили, что я говорил про это

Markiyan Hirnyk в сообщении #1282281 писал(а):

определяются сложение двух множеств действительнозначных функций на промежутке и умножение такого множества функций на действительное число

не понимаю.

Мир.

[Markiyan Hirnyk]

thething
Сумма числовых множеств - это не объединение числовых множеств. Вы опять подменяете вопрос.

[Otta]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1282281 писал(а):

Не разделяю ваше мнение: учебный материал надо излагать аккуратно.

Да, ровно до той степени, пока это не становится самоцелью и не подпадает под статью

Markiyan Hirnyk в сообщении #1282263 писал(а):

вызывают затруднения и отвлекают от понимания существа понятия неопределенного интегала

еще более, чем то, против чего Вы Вашей аккуратностью боретесь.

По существу вопроса: я думаю, Фихтенгольц Вам доступен. Трехтомник. Упреждая просьбы, том 2, глава 8, параграф 1. Почти начало параграфа.
В ремарке к определению явно значится, что в обозначение неопределенного интеграла неявным образом включена произвольная постоянная.
Технических сложностей в доказательствах в связи с этим не предусмотрено, поскольку этот аддитивный добавок благополучно будет съедаться при дифференцировании, а больше никакой техники в доказательствах этого раздела не предвидится.

[thething]

Markiyan Hirnyk

Markiyan Hirnyk в сообщении #1282286 писал(а):

Сумма числовых множеств - это не объединение числовых множеств. Вы опять подменяете вопрос.

Это так! (не в смысле, что я вопрос подменяю)

Про объединение я ничего и не говорил

thething в сообщении #1282261 писал(а):

$\int\limits_{}^{}f(x)dx+\int\limits_{}^{}g(x)dx$ -- это совокупность, образованная всевозможными суммами $F(x)+G(x)$, если $F(x)\in\int\limits_{}^{}f(x)dx$, $G(x)\in\int\limits_{}^{}g(x)dx$

-- 08.01.2018, 13:09 --

Определение суммы, произведения на число, просто произведения множеств я помню было в Демидовиче в одних из первых задач. Опять же, как я сказал, такие понятия вводились у нас, когда я учился, сам я их тоже всегда ввожу, т.к. это минутное дело. При этом понимаю, что в некоторых учебниках сумма и объединение числовых множеств - это одно и то же и обозначается знаком $+$, но сам я их не путаю

[Markiyan Hirnyk]

Otta

Цитата:

По существу вопроса: я думаю, Фихтенгольц Вам доступен. Трехтомник. Упреждая просьбы, том 2, глава 8, параграф 1. Почти начало параграфа.
В ремарке к определению явно значится, что в обозначение неопределенного интеграла неявным образом включена произвольная постоянная.
Технических сложностей в доказательствах в связи с этим не предусмотрено, поскольку этот аддитивный добавок благополучно будет съедаться при дифференцировании, а больше никакой техники в доказательствах этого раздела не предвидится.

Курс Г. Фихтенгольца устарел и не переиздается. В. Зорич аккуратно определяет неопределенный интеграл и его запись, а также основные свойства этого понятия, не применяя множеств функций. Такой подход имеет серьезные методические преимущества.

[Otta]

Markiyan Hirnyk
Приведите, пожалуйста, пример, на котором решительно видна была бы разница между вычислением неопределенного интеграла "по Зоричу" и "по Фихтенгольцу", желательно, с обоснованием степени научной новизны (методических преимуществ) подхода первого и критериев ее установления.

[Xaositect]

Otta в сообщении #1282280 писал(а):

А почему никто не протестует против табличной (опять же Зорич) формулы

Я могу попротестовать. Мне не нравится, что этот момент с функциями на несвязной области в начальном курсе рассматривается как чисто техническая и неважная мелочь. А он достоин подробного рассмотрения, это первый встречающийся студенту пример, показывающий, что форма области определения отражается на поведении дифференцирования и интегрирования. Эта идея подом может вести к когомологиям.

[provincialka]

Сцилла и Харибда. Они. Хочется и строгости -- и понятности, а бедная студенческая голова может и не вместить.
Мне кажется, в начале можно "поступиться принципами" и познакомить студентов с самой идеей интегрирования (взятия первообразной). А когда немного освоятся, показать какие-нибудь парадоксы, типа предложенного ТС. В стиле "Тут ещё есть одна тонкость".
И об

Otta в сообщении #1282280 писал(а):

$$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+c \ ?$$

всегда говорю, при переходе к Ньютону-Лейбницу.

[Someone]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1282237 писал(а):

Someone
В. Зорич, Математический анализ, Ч. 1. - Наука, М.: (гл. 5, пар. 1) задает неопределенный интеграл как любую первообразную подинтегральной функции на рассматриваемом промежутке. При таком подходе не надо возиться с суммой множеств функций и произведением множества функций на число.

Ну, это надо взять более современный и "более продвинутый" учебник. Например: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, "Высшая школа", 1981. Там, в самом начале главы третьей, и найдёте определение 2.