Концептуальная простота

[SergeyGubanov]

Если вдруг кому-то всё ещё интересно про запись уравнений Максвелла в гравитационном поле Ньютона...

(Оффтоп)

Гравитационное поле Ньютона $\phi$ эквивалентно (в смысле Гамильтонового канонического преобразования или унитарного преобразования в квантовой механике) описанию движения из неинерциальной системы координат движущейся со скоростью

$$\frac{d {\bf r}}{ dt} = {\bf V} \eqno(1)$$

такой что

$$ \phi = -\frac{1}{2} {\bf V}^2, \qquad \operatorname{rot} {\bf V} = 0 \eqno(2) $$

Более подробно см. там post1028944.html#p1028944

Так вот, чтобы (совершенно не зная ОТО) учесть гравитационное поле Ньютона в уравнениях Максвелла нужно всего лишь перейти от $\phi$ к ${\bf V}$ и записать уравнения Максвелла в неинерциальной системе координат движущейся со скоростью ${\bf V}$.

В силу того, что точное решение Шварцшильда преобразуемо в метрику Пэнлеве с плоским пространственным сечением и ${\bf V}^2 = \frac{2 k M}{r}$, ответ полученный описанным выше способом для отклонения луча света Солнцем будет в точности таким как в ОТО.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #1243677 писал(а):

В силу того, что точное решение Шварцшильда преобразуемо в метрику Пэнлеве с плоским пространственным сечением и ${\bf V}^2 = \frac{2 k M}{r}$, ответ полученный описанным выше способом для отклонения луча света Солнцем будет в точности таким как в ОТО.

Потому что то, что Вы описали, и есть ОТО.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #1243736 писал(а):

Потому что то, что Вы описали, и есть ОТО.

То что я описал справедливо не только для ОТО, но и для любой другой метрической теории гравитации. Не будем же мы любую метрическую теорию гравитации называть ОТО? В узком смысле ОТО это система из десяти известных уравнений Эйнштейна - Гильберта для десяти компонент четырёхмерного метрического тензора $g_{\mu \nu}$. В данном случае же можно сформулировать "эффективную" / "промежуточную" / "низкоэнергетическую" теорию гравитации для гравитационного поля задаваемого трёхмерным векторным полем $\bf V$.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #1243825 писал(а):

То что я описал справедливо не только для ОТО, но и для любой другой метрической теории гравитации.

Нет. Метрические теории могут иметь различные значения постньютоновских параметров. В постньютоновском приближении метрика имеет вид

$$ds^2=\left(1-\frac{r_g}r+2\beta\left(\frac{r_g}r\right)^2\right)c^2dt^2+\left(1+2\gamma\frac{r_g}r\right)(dx^2+dy^2+dz^2),$$

где $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
В ОТО $\beta=\gamma=1$, в ньютоновской теории $\beta=\gamma=0$. Отклонение луча света пропорционально величине $1+\gamma$, поэтому, если смотреть на ньютоновскую теорию как на одну из метрических теорий гравитации, то в ней отклонение луча света должно быть в два раза меньше, чем в ОТО.
Известно, что если в ньютоновской механике рассматривать луч света как поток массивных частиц, движущихся со скоростью света, то величина отклонения действительно получается в два раза меньше, чем в ОТО.
Но мне не известно, чтобы до появления ОТО у кого-нибудь возникало подозрение, что луч света может отклоняться в гравитационном поле. А если у кого и было такое подозрение, он об этом никому не сказал.

[Dragon27]

Someone в сообщении #1243841 писал(а):

Но мне не известно, чтобы до появления ОТО у кого-нибудь возникало подозрение, что луч света может отклоняться в гравитационном поле. А если у кого и было такое подозрение, он об этом никому не сказал.

А как же невидимые звёзды Мичелла? Или вы имеете в виду, что после того, как стало понятно, что свет является электромагнитной волной, никто уже не считал, что гравитация на него может влиять?

[Someone]

Dragon27 в сообщении #1243855 писал(а):

А как же невидимые звёзды Мичелла?

Про Мичелла я в тот момент и не вспомнил. Несколько позже вспомнил, что Лаплас об этом писал. Но я считаю замену света потоком массивных частиц незаконным трюком, поскольку это противоречит опытам со светом.
В Википедии можно прочитать, что первым об этом писал Мичелл в 1783 году (при этом его предсказания относительно влияния гравитации на свет были ошибочными), а потом Лаплас в 1796 в книге «Изложение системы мира».

Dragon27 в сообщении #1243855 писал(а):

Или вы имеете в виду, что после того, как стало понятно, что свет является электромагнитной волной, никто уже не считал, что гравитация на него может влиять?

В последующих изданиях книги Лапласа эта идея была удалена, вероятно, в связи с развитием волновой теории света: волна не имеет массы и не зависит от гравитации. Так что, видимо, все так и думали.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #1243841 писал(а):

в ньютоновской теории $\beta=\gamma=0$

Ну, не совсем. Параметры $\beta$ и $\gamma$ зависят от того какую систему координат использовали для предельного перехода из ОТО в теорию Ньютона.

Воспользовавшись "произволом" в выборе четырёхмерной системы координат (используемой для предельного перехода из ОТО в теорию Ньютона), можно ведь сделать и прямо противоположное утверждение: метрика $\beta=\gamma=0$ не имеет совершенно никакого отношения к теории Ньютона . Ведь, как говорилось выше, Ньютоновская теория как на уровне канонической Гамильтоновой механики, так и на уровне квантовой механики в точности эквивалентна теории со следующим Лагранжианом для свободной частицы:

$$ L = \frac{m}{2} \left( \frac{d{\bf r}}{dt} - {\bf V} \right)^2 \eqno(1) $$

Этот Лагранжиан очевидно соответствует нерелятивистскому движению в следующей метрике:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left( d {\bf r} - {\bf V} dt \right)^2 \eqno(2) $$

которая, при $V^{r} = \pm \sqrt{ \frac{2 k M}{r} }$ является метрикой Пэнлеве, эквивалентной метрике Шварцшильда. А это означает, что при соответствующем выборе четырёхмерной системы координат для осуществления предельного перехода из ОТО в теорию Ньютона, в теории Ньютона получаются в точности те же самые $\beta$ и $\gamma$ как и у Пэнлеве, т. е. как и у Шварцшильда

Someone в сообщении #1243841 писал(а):

Но мне не известно, чтобы до появления ОТО у кого-нибудь возникало подозрение, что луч света может отклоняться в гравитационном поле. А если у кого и было такое подозрение, он об этом никому не сказал.

А ведь нужно было всего лишь учесть поле $\bf V$ из (1) в уравнениях Максвелла. Выполнить это упражнение способен любой студент...

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #1243878 писал(а):

Выполнить это упражнение способен любой студент...

После того, как была создана ОТО, написаны хорошие учебники, и студент в них разобрался.
Ещё раз повторю: до ОТО не было никаких оснований, ни экспериментальных, ни теоретических, предполагать, что гравитация как-то влияет на распространение электромагнитных волн. Результат, полученный в ОТО, показался настолько удивительным, что его тут же бросились проверять. Благо, и солнечное затмение подоспело.

SergeyGubanov в сообщении #1243878 писал(а):

Параметры $\beta$ и $\gamma$ зависят от того какую систему координат использовали для предельного перехода из ОТО в теорию Ньютона.

В МТУ написано, что используется изотропная система координат. Обычная декартова система координат в плоском пространстве также является изотропной. Ну, можно перейти к сферическим координатам. Поэтому я думаю, что выбор изотропных координат является адекватным. И Вы всё время хотите выдать решение, полученное в ОТО, за результат классической механики.

[DimaM]

Someone в сообщении #1243841 писал(а):

Но мне не известно, чтобы до появления ОТО у кого-нибудь возникало подозрение, что луч света может отклоняться в гравитационном поле. А если у кого и было такое подозрение, он об этом никому не сказал.

Пишут, что впервые отклонение луча света как потока частиц в гравитационном поле рассмотрел Зольднер. Это опубликовано в Berliner Astronomishes Jahrbuch für 1804, Berlin, S. 161.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #1243902 писал(а):

И Вы всё время хотите выдать решение, полученное в ОТО, за результат классической механики.

Я всего лишь сказал, что ещё до создания ОТО простой учёт поля ${\bf V}$ в уравнениях Максвелла дал бы правильный ответ для отклонения луча света Солнцем.

[Munin]

Какой он "простой"? Такая техника была развита только после построения ОТО, Вейлем.

[Someone]

DimaM в сообщении #1243923 писал(а):

Пишут, что впервые отклонение луча света как потока частиц в гравитационном поле рассмотрел Зольднер.

Новое — это хорошо забытое старое. Но расчёт был сделан на основе теории света, которая была отвергнута как ошибочная. А современная теория появилась много позже, и о способе учёта гравитации в ней никто до Эйнштейна не догадывался. И необходимость такого учёта была, мягко выражаясь, не очевидной, ввиду полного отсутствия каких-либо экспериментальных данных.

SergeyGubanov в сообщении #1243878 писал(а):

Этот Лагранжиан очевидно соответствует нерелятивистскому движению в следующей метрике:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left( d {\bf r} - {\bf V} dt \right)^2 \eqno(2) $$

которая, при $V^{r} = \pm \sqrt{ \frac{2 k M}{r} }$ является метрикой Пэнлеве, эквивалентной метрике Шварцшильда.

Ну да. Вы взяли решение, полученное в ОТО, изменили уравнения классической механики и заявили, что классическая механика даёт тот же результат. Фактически вместо плоского пространства-времени Вы взяли геометрию Шварцшильда. Вопрос: откуда должны были взять эти уравнения в 1900 году?

На самом деле есть ещё одна существенная претензия. То, что Вы делаете, можно было бы назвать в лучшем случае постньютоновским приближением ОТО. И даже не ньютоновским, потому что на уровне ньютоновского приближения от всех компонент метрики остаётся только $g_{00}$. И не классической механикой, потому что классической механике соответствует своя собственная геометрия пространства-времени, и в ней ввести риманову метрику нельзя. В плоском случае вместо геометрии Минковского (в СТО) классическая механика требует геометрии Галилея (И. М. Яглом. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. "Наука", Москва, 1969). Изложение теории Ньютона на языке искривлённого пространства-времени можно найти в МТУ, том 1, глава 12. Там также подчёркивается, что пространственно-временную метрику ввести невозможно.

Видимо, впервые всерьёз о влиянии гравитации на распространение света писал А. Эйнштейн в 1907 году в работе "О принципе относительности и его следствиях" (Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов в четырёх томах. 1. Работы по теории относительности. 1905—1920. "Наука", Москва, 1965. Статья № 8). Там он явным образом пользуется сильным принципом эквивалентности. Я не вникал в вычисления и не знаю, правильные ли у него получились результаты. К этому вопросу он возвращается в 1911 году в статье "О влиянии силы тяжести на распространение света" (там же, статья № 14). В начале статьи он явно формулирует (сильный) принцип эквивалентности, подчёркивая, что он будет достаточно глубоким только в случае, если его распространить на все физические явления. В § 4 он вычисляет отклонение луча света, проходящего мимо края Солнца, и получает половинный результат $0{,}83''$. В последующих работах Эйнштейн продолжает развитие своих идей по включению гравитации в СТО и обнаруживает, что они приводят к противоречиям. В МТУ глава 7 посвящена несовместимости гравитации и СТО.

Далее Эйнштейн в ряде статей (иногда вместе с М. Гроссманом) занимается разработкой теории гравитации на основе обобщения СТО. В статье 1915 года "Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории относительности" (тот же сборник, статья № 36) Эйнштейн вычисляет аномальное смещение перигелия Меркурия и получает правильные $43''$, хотя уравнения теории ещё "не доведены до ума" и справедливы только с некоторым ограничением на тензор энергии-импульса материи. На движение Меркурия это ограничение не влияет, поскольку в вакууме упомянутый тензор нулевой. Здесь же он указывает, что правильная величина угла отклонения светового луча в гравитационном поле Солнца равна $1{,}7''$. Правильные уравнения появляются в статье № 37 (изменения сводятся к тому, что вместо тензора энергии-импульса $T_{\mu\nu}$ появляется $T_{\mu\nu}-\frac 12g_{\mu\nu}T$).

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1243943 писал(а):

Какой он "простой"?

Концептуально простой. Просто берём и записываем уравнения Максвелла в Евклидовом пространстве, но только в неинерциальной системе координат движущейся со скоростью $d {\bf r} / dt = {\bf V}$. Техника замены переменных в дифференциальных уравнениях в частных производных известна давно. То что чисто технически придётся много выкладок сделать, исписать много бумаги, ну в этом смысле, да будет не легко.

Someone в сообщении #1243952 писал(а):

Ну да. Вы взяли решение, полученное в ОТО, изменили уравнения классической механики и заявили, что классическая механика даёт тот же результат. Фактически вместо плоского пространства-времени Вы взяли геометрию Шварцшильда. Вопрос: откуда должны были взять эти уравнения в 1900 году?

Я думаю для науки не так важно кто первый и в рамках какой теории додумался до чего-то, как важно то, что это знание в принципе нам известно. Да, вот так вот исторически сложилось, что сначала придумали ОТО, а потом вычислили отклонение луча света вблизи Солнца. Но это имевшее место историческое приключение, не умаляет того факта, что на самом деле для правильного вычисления величины отклонения луча света около Солнца знать ОТО не требуется, а нужно просто уметь записывать уравнения Максвелла с учётом поля скоростей $\bf V$. В 19 веке учёные, в принципе, были на это способны. Я конечно же не знаю почему никто этого не сделал.

Someone в сообщении #1243952 писал(а):

на уровне ньютоновского приближения от всех компонент метрики остаётся только $g_{00}$

Нет не только $g_{00}$, ещё есть $g^{0 i} = V^i$. Правильный переход из ОТО в теорию Ньютона задаётся АДМ-подобной метрикой следующего вида:

$$ g^{0 0} = 1, \quad g_{0 0} = 1 - \gamma_{i j} V^i V^j $$

$$ g^{0 i} = V^i, \quad g_{0 i} = \gamma_{i j} V^j $$

$$ g^{i j} = V^i V^j - \gamma^{i j}, \quad g_{i j} = - \gamma_{i j} $$

$$ \sqrt{-g} = \sqrt{\gamma} $$

Здесь $\gamma_{i j}$ трёхмерный метрический тензор Евклидова пространства, $V^i$ трёхмерное поле скоростей о котором шла речь выше, и Ньютонов гравитационный потенциал:

$$ \phi = - \frac{1}{2}\gamma_{i j} V^i V^j. $$

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #1243970 писал(а):

Концептуально простой. Просто берём и записываем уравнения Максвелла в Евклидовом пространстве, но только в неинерциальной системе координат движущейся со скоростью $d {\bf r} / dt = {\bf V}$.

Как известно, гравитация в классической механике не связана с неинерциальными системами отсчёта. Заменяя гравитацию неинерциальной системой отсчёта, Вы явно используете сильный принцип эквивалентности, сформулированный Эйнштейном. Просто заменяя координаты в классической механике, Вы ничего нового не получите.

SergeyGubanov в сообщении #1243970 писал(а):

Я думаю для науки не так важно кто первый и в рамках какой теории додумался до чего-то

Ну, первооткрывателей хотелось бы помнить. Первым это сделал Эйнштейн, а вовсе не Вы. Только без наглого подсматривания в ОТО и без Пенлеве со Шварцшильдом. Ссылки я выше давал.

SergeyGubanov в сообщении #1243970 писал(а):

нужно просто уметь записывать уравнения Максвелла с учётом поля скоростей $\bf V$. В 19 веке учёные, в принципе, были на это способны. Я конечно же не знаю почему никто этого не сделал.

Не сделали это, конечно же, потому, что никаких поводов для этого не было.

Дальнейшие эксперименты показали, что свойства света несовместимы с классической механикой, поэтому получить таким образом непротиворечивую теорию, согласующуюся с результатами экспериментов, невозможно. Это вынуждает замену классической механики на СТО.

Эйнштейн, пытаясь совместить СТО и гравитацию, ввёл сильный принцип эквивалентности, которым Вы воспользовались. Рассчитывая угол отклонения светового луча, он получил результат, вдвое меньший правильного (а правильный результат тогда никто не знал). Поэтому одного принципа эквивалентности для объяснения отклонения луча недостаточно. Если у Вас действительно получается правильное значение, то это означает, что Вы неявно протащили ещё что-то. Думаю, что это та самая метрика Пенлеве.

Попытка получить непротиворечивую теорию гравитации на основе сильного принципа эквивалентности приводит (в простейшем случае) к ОТО. Поэтому не надо тут втирать про классическую механику.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #1243984 писал(а):

Как известно, гравитация в классической механике не связана с неинерциальными системами отсчёта.

Как известно, недавно концепция изменилась , вот тут почитайте: post1028944.html#p1028944. Недавно стало известно, что Гамильтониан частицы в гравитационном поле Ньютона $\phi$

$$ H = \frac{{\bf p}^2}{2 m} + m \phi $$

связан с Гамильтонианом частицы в неинерциальной системе координат движущейся со скоростью ${\bf V}$

$$ H' = \frac{{\bf P}^2}{2 m} + ({\bf P}, {\bf V}) $$

в классической механике каноническим преобразованием, а в квантовой механике унитарным преобразованием.

Этот простой математический факт означает, что в классической механике гравитация Ньютона связана с неинерциальными системами координат. Это просто м-а-т-е-м-а-т-и-к-а . То есть противиться этому факту бесполезно.