Магические квадраты

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

Термин “идеальный магический квадрат“ впервые встречается у Г.Александрова* и Н.Макаровой**…”
По-моему, последнее утверждение неверно. В статьях на английском языке термин “идеальный магический квадрат” появился гораздо раньше, чем у Александрова, который начал писать о таких квадратах только во второй половине 2007 г. В этих статьях идеальные магические квадраты называются ultramagic. Смотрите, например, здесь.

Ну во-первых, такие квадраты рассматривались и раньше (и мы это уже обсуждали!). Во-вторых, сам термин "идеальные" (но не квадраты, которые он подразумевает) может быть и новый. Все-таки ultramagic дословно переводится как "ультрамагический", а не как "идеальный". Но даже если так, то это не означает, что термин "идеальные" хоть сколько-нибудь общепринятый или распространенный. Вот когда появятся научные статьи, его использующие, тогда можно будет говорить, что кто-то чего-то там ввел в обиход.
На русском языке такие квадраты (но без названия "идеальные"), возможно, впервые были упомянуты в книжке Мартина Гарднера Путешествие во времени (на нее я тоже уже здесь ссылался!) - а это 1990 год.

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

Очень мало у меня совершенных квадратов, и в Сети их почти нет.

Вот довольно объемная страничка, посвященная совершенным (most-perfect) квадратам. Кроме того, количество таких квадратов фиксированной размерности в точности известно: A051235.

Вот еще кое-что про идеальные (ultramagic) квадраты:

• Квадрат 7x7 (отсюда):
• Страничка, со множеством соотношений выполняющихся в идеальных квадратах.
• Статья про идеальные квадраты 5x5.

[Nataly-Mak]

За статью о совершенных квадратах преогромное спасибо! Очень должна быть интересная статья, только надо перевести. Опять придётся прибегнуть к Google, потому что ничего другого не знаю. Может быть, кто-нибудь поможет с переводом? Статья не очень большая. Вижу в статье определения, это очень важно! Потому что чёткого определения совершенных квадратов нигде ещё не встречала.
Ну, упоминание в русской статье идеальных квадратов пятого порядка (но без применения термина “идеальные магические квадраты”) я приведу ещё более раннее. Вот цитата из журнала “Наука и жизнь”, № 6, 1976 г.:

“Число возможных магических квадратов пятого порядка вообще было неизвестно до самого последнего времени. В 1973 г. американский математик Р. Шроппель составил машинную программу. После 100 часов работы ЭВМ выдала результат. Другой математик, М. Биллер, обработал машинный отчёт и в октябре 1975 г. сообщил, что число магических квадратов пятого порядка равно 275305224 (без учёта вращения и симметричных отражений). Если не считать квадраты, полученные с помощью перестановки столбцов и строк, а также поворотов и симметричных отражений вновь полученных квадратов, то это число будет равно 68826306. Пандиагональными из них будут всего 144, и только 16 будут пандиагональными и вместе с тем ассоциативными”.

Как видите, ещё в 1976 г. было известно точное количество магических, пандиагональных и идеальных квадратов пятого порядка.
***
Да, мы уже обсуждали здесь идеальные магические квадраты. И вы, Maxal, опровергли утверждение о том, что идеальные квадраты нечётных порядков кратных 3 (n=15, 21, 27, 33…) впервые построены Г. Александровым. Вы нашли подтверждение своему опровержению?
И ещё: вы как-то расплывчато пишете, вроде термин ultramagic может и не совпадать с термином “идеальный магический квадрат”. Так как же всё-таки: совпадает или нет? Или последний термин вообще пока не является официальным? А термин ultramagic является таковым?

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

Да, мы уже обсуждали здесь идеальные магические квадраты. И вы, Maxal, опровергли утверждение о том, что идеальные квадраты нечётных порядков кратных 3 (n=15, 21, 27, 33…) впервые построены Г. Александровым. Вы нашли подтверждение своему опровержению?

Нет, но я особо и не искал. По большому счету мне все равно, Александровым они построены или кем-то другим.

Nataly-Mak писал(а):

И ещё: вы как-то расплывчато пишете, вроде термин ultramagic может и не совпадать с термином “идеальный магический квадрат”. Так как же всё-таки: совпадает или нет? Или последний термин вообще пока не является официальным? А термин ultramagic является таковым?

Я всего лишь говорил о дословном переводе: идеальный - ideal, а ultramagic - ультрамагический. Впрочем, в науке термины не всегда переводятся дословно.
И что вы вкладываете в эпитет "официальный"? Я считаю, здесь он неуместен, правильнее говорить о том, являются ли эти термины "общепринятыми" или "устоявшимися". Так вот, я пока не встречал терминов ultramagic или ideal по отношению к магическим квадратам в научных работах, в отличие, скажем, от терминов pandiagonal (пандиагольный) или associative (ассоциативный) - эти термины устоявшиеся и широко употребимые.

[Nataly-Mak]

Под эпитетом “официальный” я понимаю то, что термин является общепринятым, как бы “узаконенным”. Вообще в терминологии по магическим квадратам очень много путаницы. Вот пример из статьи
http://www.dubovskoy.net/MAGIC/magic%20SQ.doc
(цитата):
“Существует всего три дьявольских квадрата 4×4:

Современные математики называют подобные квадраты «совершенными». Стало быть, «совершенный» и «дьявольский» для современных математиков – синонимы!
Но есть еще один МК не менее интересный, чем дьявольский. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16 (см. рис.4), который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056”.

И далее следует картинка, на которой изображён дьявольски полумагический квадрат Франклина 16-ого порядка, тот самый, который здесь привёл Maxal.
Первое: автор отождествляет дьявольские и совершенные квадраты. Вот “дьявольский” и “пандиагональный” – это синонимы. А “дьявольский” и “совершенный” никак не могут быть синонимами! Разве только в применении к квадратам четвёртого порядка, потому что все дьявольские квадраты четвёртого порядка являются совершенными.
Второе: автор говорит, что существует всего три дьявольских квадрата четвёртого порядка. Это, конечно, тоже неверно. Пандиагональных квадратов четвёртого порядка 48 (без учёта поворотов и отражений относительно осей симметрии, с учётом этих преобразований пандиагональных квадратов четвёртого порядка 384). Другое дело, что все они делятся на три группы по 16 квадратов, в каждой такой группе один квадрат является базовым, а другие 15 получаются из него преобразованием параллельного переноса на торе.
Третье: автор относит полумагический квадрат Франклина 16-ого порядка к магическим! Это совсем грубая ошибка. Он даже не удосужился проверить все суммы и увидеть, что суммы чисел в главных диагоналях совсем не равны магической константе квадрата. Но ведь термин “полумагический квадрат” является уже общепринятым? Может быть, во времена Франклина магические и полумагические квадраты и не различались. Но сейчас-то они различаются!
***
Я посмотрела по ссылке число всех совершенных квадратов порядка 4n. Вот начало этой статьи:

1, 48, 368640, 22295347200, 932242784256000, 144982397807493120000, 221340898613898982195200000, 21421302878528360015430942720000, 59225618198555209770663470432256000000 (list; graph; listen)

Это количества совершенных квадратов? Тогда что означает в этом ряду число 1? Совершенных квадратов четвёртого порядка 48, это я знаю. Следующее число 368640 – это количество совершенных квадратов восьмого порядка? Или я всё неправильно понимаю, и этот ряд чисел что-то другое, а не число совершенных квадратов?

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

Я посмотрела по ссылке число всех совершенных квадратов порядка 4n. Вот начало этой статьи:

1, 48, 368640, 22295347200, 932242784256000, 144982397807493120000, 221340898613898982195200000, 21421302878528360015430942720000, 59225618198555209770663470432256000000 (list; graph; listen)

Это количества совершенных квадратов? Тогда что означает в этом ряду число 1? Совершенных квадратов четвёртого порядка 48, это я знаю. Следующее число 368640 – это количество совершенных квадратов восьмого порядка? Или я всё неправильно понимаю, и этот ряд чисел что-то другое, а не число совершенных квадратов?

Вы все правильно понимаете. А 1 - это число квадратов порядка для 4n для n=0. Практически это не имеет особо смысла, но в теорию оно очень хорошо вписывается.

А вообще с какого значения начинается отсчёт в Энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) отвечает поле OFFSET. Если вы еще раз посмотрите по той ссылке, то увидите что оно равно как раз-таки 0, то есть представленные значения - это число квадратов порядка для 4n для n=0,1,2,....

[Nataly-Mak]

Перевела статью о совершенных квадратах в Google. Получилась, конечно, сплошная абракадабра. Но квадраты, к счастью, не нуждаются в переводе. И вот вижу совершенный квадрат восьмого порядка. Он в точности такой же, какой я нашла раньше в Интернете. В моей статье “Совершенные магические квадраты” этот квадрат изображён на рис. 15.
Я, кажется, уже сообщала, что применила к этому квадрату метод качелей и построила 72 подобных совершенных квадрата. Думаю, что они представляют интерес, и поэтому поместила на сайт файл, в который программа записала все 72 квадрата. Смотрите на cовершенные квадраты восьмого порядка.
Исходный совершенный квадрат программа выдала под № 37.
Кстати, интересно, что по аналогии с совершенным квадратом 12-ого порядка, найденным в Интернете, я нашла общую формулу для начальной цепочки всей этой серии квадратов (о чём уже сообщала). Так вот, совершенный квадрат восьмого порядка из этой серии является принципиально новым квадратом, потому что в этих квадратах разные схемы расположения первых 8 чисел (то есть начальные цепочки). Этот квадрат показан в сообщении об общей формуле для начальной цепочки данной группы квадратов. Понятно, что это частное решение, к которому тоже можно применить метод качелей и получить группу подобных квадратов. Не знаю, сколько квадратов будет в этой группе. Я составила такую программу для совершенных квадратов 12-ого порядка, но не выполнила её до конца (долго выполняется!), поэтому количество всех подобных совершенных квадратов 12-ого порядка тоже не могу сказать. Отдельные экземпляры вы можете посмотреть в вышеуказанной статье “Совершенные магические квадраты”.
Затем посмотрела на совершенный квадрат 12-ого порядка, приведённый в статье. Этот квадрат отличается от того, который я нашла раньше. Сейчас займусь его исследованием. Вот, собираю совершенные квадраты по крохам. Может быть, ещё кто-нибудь найдёт статью о совершенных квадратах?

[Nataly-Mak]

Работаю со статьёй о совершенных квадратах по ссылке
http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm
Как я и предполагала, статья дала мне много новой информации. До сих пор нигде не встречала точного определения совершенных квадратов. Вот какое определение даётся в этой статье (в переводе, сделанном Google):
Определение
1. Every 2 x 2 block of cells (including wrap-around) sum to 2T (where T= n^2 + 1) (ie compact) Каждые 2 х 2 блока ячеек (в том числе завершение всего) на сумму 2T (где Т = n^2 +1) (то есть компактный)
2. Any pair of integers distant n/2 along a diagonal sum to T (ie complete) Любая пара чисел дальних n/2 вдоль диагонали сумму T (т.е. полный)
3. Doubly-even pandiagonal normal magic squares (ie order 4, 8, 12, etc using integers from 1 to n^2 ) Вдвойне-даже pandiagonal нормальный магический квадратов (т.е. порядка 4, 8, 12 и т.д. с помощью чисел от 1 до n^2)
Понятное определение? Попытаюсь пояснить подробнее, как сама поняла.
Свойство 1 означает, что в совершенном квадрате сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна 2T , где T=1+n^2.
Я долго думала, что означает фраза “в том числе завершение всего”. И, наконец, поняла так: если совершенный квадрат свернуть в цилиндр (по любой оси), то суммы во всех квадратах 2х2, образовавшихся на стыке двух краёв квадрата, тоже должны быть равны 2T. Как мне кажется, для выполнения этого свойства необходимо, чтобы сумма чисел в угловых ячейках квадрата была равна 2T.
Свойство 2 назову свойством комплементарности. По данному определению в совершенном квадрате на диагонали любая пара чисел, находящихся друг от друга на расстоянии n/2 ячеек, даёт в сумме 1+n^2. Причём это свойство выполняется на всех диагоналях, как главных, так и разломанных.
Свойство 3 говорит о том, что совершенный квадрат должен быть пандиагональным. Правда, мне непонятно, что значит “doubly-even pandiagonal”. В переводе это получилось так: “вдвойне-даже pandiagonal”. Что значит “вдвойне пандиагональный”?
Замечу, что я отметила в своей статье о совершенных квадратах 9 свойств.

Интересно отметить, что первая публикация о совершенных квадратах относится к 1897 г. Вот какие древние, оказывается, совершенные квадраты! Из указанной статьи ссылки на публикации:

McClintock, E. (1897) О самых совершенных форм магии квадратов, с методами для их производства. American Journal математики 19 п. 99-120.
Ollerenshaw, К. (1986) On ‘most perfect’ or ‘complete’ 8 x 8 pandiagonal magic squares. Proceedings of the Royal Society of London A407, p.259-281 (1986) On 'наиболее совершенной "или" полный "8 х 8 pandiagonal магический квадратов. Труды Королевского общества в Лондоне A407, p.259-281
Kathleen Ollerenshaw and David Brée, Most-perfect Pandiagonal Magic Squares, Institute of Mathematics and its Applications, 1988, 0-905091-06-X Кэтлин Ollerenshaw и Дэвид Brée, наиболее совершенной Pandiagonal Magic площади, Институт математики и ее приложения, 1988, 0-905091-06-X

Как бы я хотела иметь качественный перевод хоть одной из этих работ!
Я уже говорила о совершенном квадрате восьмого порядка, который приведён в этой статье и ранее был найден мной в другой статье. Попробовала сейчас построить совершенный квадрат 12-ого порядка по аналогии с этим квадратом. Интересный получился квадрат! Он пандиагональный, в нём выполняется свойство комплементарности. И суммы во всех квадратах 2х2 равны 2T=290. Не хватает только одного: сумма в угловых ячейках квадрата не равна 290. Покажу этот почти совершенный квадрат (мы имеем новую оригинальную схему построения пандиагональных квадратов 12-ого – и не только – порядка):

1 24 25 48 49 72 127 138 79 90 103 114
143 122 119 98 95 74 17 8 65 56 41 32
3 22 27 46 51 70 129 136 81 88 105 112
141 124 117 100 93 76 15 10 63 58 39 34
5 20 29 44 53 68 131 134 83 86 107 110
139 126 115 102 91 78 13 12 61 60 37 36
18 7 66 55 42 31 144 121 120 97 96 73
128 137 80 89 104 113 2 23 26 47 50 71
16 9 64 57 40 33 142 123 118 99 94 75
130 135 82 87 106 111 4 21 28 45 52 69
14 11 62 59 38 35 140 125 116 101 92 77
132 133 84 85 108 109 6 19 30 43 54 67

Выразила сумму чисел в угловых ячейках квадрата для любого порядка n=4k, k=2, 3, 4,… через порядок квадрата. Получилось такое выражение:
S=(5n^2-8n+4)/2
Составляю уравнение:
(5n^2-8n+4)/2=2(n^2+1)
Это уравнение имеет единственное решение: n=8. Вот и получается, что по данной схеме строится только совершенный квадрат восьмого порядка.
Далее, в статье приведён совершенный квадрат 12-ого порядка с другой схемой расположения первых 12 чисел. Я такую начальную цепочку ещё не встречала. И что самое удивительное: этот квадрат “не берётся” методом качелей! Никак не могу проникнуть в схему построения этого квадрата. Но ведь каким-то методом квадрат построен! Не просто так – наобум – заполнялась матрица. Вот задача для всех: постройте хоть один совершенный квадрат, подобный приведённому, то есть имеющий точно такую начальную цепочку. А для того, чтобы это сделать, вам придётся “расколоть” метод построения этого квадрата. Приведу здесь этот совершенный квадрат в немного преобразованном виде:

1 126 20 112 3 110 36 127 17 141 34 143
40 123 21 137 38 139 5 122 24 108 7 106
9 118 28 104 11 102 44 119 25 133 42 135
48 115 29 129 46 131 13 114 32 100 15 98
49 78 68 64 51 62 84 79 65 93 82 95
88 75 69 89 86 91 53 74 72 60 55 58
109 18 128 4 111 2 144 19 125 33 142 35
140 23 121 37 138 39 105 22 124 8 107 6
101 26 120 12 103 10 136 27 117 41 134 43
132 31 113 45 130 47 97 30 116 16 99 14
61 66 80 52 63 50 96 67 77 81 94 83
92 71 73 85 90 87 57 70 76 56 59 54

Обратите внимание: в этом квадрате сумма чисел в угловых ячейках равна 290. При всех параллельных переносах на торе квадрат останется совершенным.
Интересен в статье нетрадиционный совершенный квадрат 6-ого порядка. Посмотрите!
***
Очень хотелось бы получить комментарии. Потому что с трудом понимаю статьи на английском, а на русском языке не встречала ни одной статьи о совершенных квадратах.

[maxal]

Nataly-Mak, свойства вы поняли правильно. А doubly-even - это на самом деле ваш любимый "четно-четный" порядок, то есть doubly-even называются квадраты порядка 4k.

По поводу статей - могу вам их выслать, то есть их анлоязычные оригиналы, переводов у меня нет. Как мне кажется, научиться читать научные статьи (в конкретной области) со словарем - дело пары недель - главное наработать нужный словарный запас, после этого станет возможным читать тематические статьи почти не заглядывая в словарь. Впоследвии это станет гораздо проще (и полезнее) мучений с машинным переводом.

[Nataly-Mak]

Бросила ломать голову над совершенным квадратом 12-ого порядка, который показала в предыдущем сообщении (из статьи на английском языке). Он мне пока так и не поддался.
Зато построила методом качелей новую группу совершенных квадратов, которые просто чудесные и удивительно простые в построении. Сначала даже не поверила, что так просто построенные квадраты будут совершенными. Но вот они! Замечу, что первым я построила совершенный квадрат 12-ого порядка, потому что продолжала попытки построить идеальный квадрат данного порядка с линейной начальной цепочкой. Так вот, идеальный квадрат у меня не получился, зато получился совершенный! С этого квадрата и начну показ:

1 72 49 48 25 24 133 84 85 108 109 132
134 83 86 107 110 131 2 71 50 47 26 23
3 70 51 46 27 22 135 82 87 106 111 130
136 81 88 105 112 129 4 69 52 45 28 21
5 68 53 44 29 20 137 80 89 104 113 128
138 79 90 103 114 127 6 67 54 43 30 19
12 61 60 37 36 13 144 73 96 97 120 121
143 74 95 98 119 122 11 62 59 38 35 14
10 63 58 39 34 15 142 75 94 99 118 123
141 76 93 100 117 124 9 64 57 40 33 16
8 65 56 41 32 17 140 77 92 101 116 125
139 78 91 102 115 126 7 66 55 42 31 18

Далее, строю точно по такой же схеме совершенный квадрат 8-ого порядка, покажу ещё и этот квадрат:

1  32  17  16  57  40  41  56
58  39  42  55  2  31  18  15
3  30  19  14  59  38  43  54
60  37  44  53  4  29  20  13
8  25  24  9  64  33  48  49
63  34  47  50  7  26  23  10
6  27  22  11  62  35  46  51
61  36  45  52  5  28  21  12

Даже идеальные квадраты как-то поблёкли в моих глазах в сравнении с совершенными квадратами.
Частные решения для других порядков можно посмотреть в статье “Совершенные магические квадраты (часть II)”. Там же подробно о построении этих квадратов. Все квадраты я построила вручную, вообще без всяких программ, потому что строятся они очень просто. Однако вполне понятно, что алгоритм построения всех частных решений для любого порядка n=4k, k=1, 2, 3… можно формализовать и запрограммировать. Как ни проста процедура формирования образующей таблицы, для больших порядков всё-таки это лучше делать с помощью компьютера. Например, построить совершенный квадрат 100-ого порядка вручную по данному алгоритму в принципе можно, но очень уж утомительно.
И, разумеется, как всегда в методе качелей, для любого конкретного порядка можно составить программу и получить все подобные варианты совершенных квадратов.
Далее, увидела в указанной выше статье ещё одно удивительное свойство совершенных квадратов: эти квадраты как бы сложены из блоков, которыми являются квадраты 2х2. И вот с этими самыми блоками можно творить чудеса! Займусь исследованием этого интересного свойства. Результаты будут в той же статье.
***
Maxal, спасибо за комментарий. Подробно в личном сообщении.
Жду комментарии от других специалистов по магическим квадратам.

[maxal]

Пользуясь случаем, хочу всем порекомендовать книгу:

Чебраков Ю.В. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. - СПб.: СПб. гос. техн. ун-т, 1995. - 368 с.

В свое время мне она очень понравилась. Вот, кстати, определение магических квадратов (помнится, кто-то тут спрашивал) оттуда:

Цитата:

В математике под магическим (аддитивным) квадратом порядка $n$ обычно понимают квадратную таблицу размером $n\times n$, так заполненную различными числами или символами, что их сумма в строках, столбцах и главных диагоналях таблицы одинакова. Значение этой суммы принято называть магической постоянной квадрата и обозначать символом $S$.

Магические квадраты различают по следующим признакам:
а) размеру (значению их порядка $n$);
б) величине магической постоянной $S$;
в) характеру элементов, из которых они построены; например, магические квадраты $n\times n$ называются:
- числовыми или символьными в зависимости от того, содержат ли они только числа или в них присутствуют также символы;
- классическими или нетрадиционными в зависимости от того, содержат ли они только последовательные натуральные числа от $1$ до $n^2$ или содержат какой-либо другой набор чисел;
- структурированными или неструктурированными в зависимости от того, можно или нет все их элементы распределить по парам таким образом, чтобы в каждой паре сумма элементов была одинакова (значение это суммы при четном $n$ равно $\frac{2S}{n}$), и т.д.;
г) наличию определенных $k$ наборов по $n$ клеток квадрата, сумма элементов в которых также равна магической постоянной $S$; например, магический квадрат $n\times n$ называется совершенным, если в указанный $k$ набор по $n$ клеток входят все его разломанные диагонали;
[...]
д) способности оставаться магическими квадратами после возведения в некоторую степень всех содержащихся в них элементов (магический квадрат называют двойным, тройным и т.д., если он остается магическим после возведения всех его элементов соответственно во вторую, третью и т.д. степени);
е) свойству иметь одинаковое значение произведений составленных из элементов его строк, столбцов и главных диагоналей (магические квадраты, имеющие такое свойство, называются аддитивно-мультипликативными квадратами).

Кстати, автор на своей страничке свободно раздает другую книжку:

Чебраков Ю. В., Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. - Санкт-Петербург, 2008.

[Nataly-Mak]

Далее в статье о совершенных квадратах (с которой я работаю) изложен метод построения совершенных квадратов из обратимых. Установлено, что между обратимыми и совершенными квадратами существует взаимнооднозначное соответствие. Это значит, что каждый обратимый квадрат может быть превращён несложными преобразованиями в совершенный и обратно. Другими словами: каждому обратимому квадрату соответствует один и только один совершенный квадрат (и наоборот).
Следует пояснить, что такое обратимые квадраты. Сама встречаюсь с этим понятием впервые. Вот пример самого простого обратимого квадрата восьмого порядка:

1  2  3  4  5  6  7  8
9  10  11  12  13  14  15  16
17  18  19  20  21  22  23  24
25  26  27  28  29  30  31  32
33  34  35  36  37  38  39  40
41  42  43  44  45  46  47  48
49  50  51  52  53  54  55  56
57  58  59  60  61  62  63  64

Подчеркну: обратимые квадраты – это не магические квадраты. Смотрите, как просто: записали все числа от 1 до 64 по порядку в восемь строк – и готов обратимый квадрат. А теперь очень простыми преобразованиями превращаем этот обратимый квадрат в совершенный. В статье подробно рассказано об обратимых квадратах четвёртого порядка и показано превращение обратимого квадрата в совершенный. Я решила сделать то же самое по аналогии для квадрата восьмого порядка. Всё получилось. Вот совершенный квадрат, который у меня построился:

1  63  3  61  8  58  6  60
16  50  14  52  9  55  11  53
17  47  19  45  24  42  22  44
32  34  30  36  25  39  27  37
57  7  59  5  64  2  62  4
56  10  54  12  49  15  51  13
41  23  43  21  48  18  46  20
40  26  38  28  33  31  35  29

Удивительно простой метод построения совершенных квадратов!
Для квадратов четвёртого порядка существует всего три принципиально различных обратимых квадрата, каждый из этих трёх квадратов порождает группу из 16 обратимых квадратов (считая его самого). Итого получается 48 обратимых квадратов, каждый из которых превращается в совершенный. Далее в статье приводятся расчёты количества обратимых (и совершенных) квадратов для других порядков.
Подробно собираюсь описать этот метод построения в третьей части своей статьи о совершенных квадратах.
Напомню ссылку на статью, о которой идёт речь:
http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm
Читайте! Очень интересная статья.
Да, а как перевести английское название совершенных квадратов “most-perfect”?

Добавлено спустя 17 минут 29 секунд:

Maxal, как мне кажется, пункт г) из приведённой цитаты с определениями определяет пандиагональный квадрат. Опять смешиваются термины “пандиагональный квадрат” и “совершенный квадрат”? (я уже писала здесь об этом). Но ведь в статье о совершенных квадратах (ссылку на которую вы дали) ясно сказано: все совершенные квадраты пандиагональные, но далеко не все пандиагональные – совершенные. Правильно? Для того чтобы пандиагональный квадрат был совершенным нужно выполнение ещё двух свойств. Я приводила здесь эти свойства (из указанной статьи).

[нг]

Господа, давайте не превращать тему в блог. Я наблюдаю за ней с самого начало, но уже давно не могу понять: какой же вопрос(ы) обсуждается.

Предлагаю чётко сформулировать вопрос, ответ на который ищется.

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

Да, а как перевести английское название совершенных квадратов “most-perfect”?

Most-perfect - "самый совершенный" или "наиболее совершенный".

Nataly-Mak писал(а):

Maxal, как мне кажется, пункт г) из приведённой цитаты с определениями определяет пандиагональный квадрат. Опять смешиваются термины “пандиагональный квадрат” и “совершенный квадрат”? (я уже писала здесь об этом). Но ведь в статье о совершенных квадратах (ссылку на которую вы дали) ясно сказано: все совершенные квадраты пандиагональные, но далеко не все пандиагональные – совершенные. Правильно? Для того чтобы пандиагональный квадрат был совершенным нужно выполнение ещё двух свойств. Я приводила здесь эти свойства (из указанной статьи).

То, что вы ранее (возможно, с моей подачи) называли "совершенный" по-английски называется most-perfect, то есть "наиболее совершенный". Я лично не знал (или лучше сказать не помнил) о существовании совершенных квадратов (в терминах Чебракова), поэтому упустил из виду это несоответствие перевода. А теперь, выходит, это существенное различие, приводящее к разным терминам.

Добавлено спустя 5 минут 51 секунду:

нг, на данный момент мы выясняем тонкости терминологии. Скоро я выложу кое-какие статьи по теме (как обещался).

[Butan-fors]

Многоуважаемая Nataly-Mak!
На вашей glavnaja.htm все очень замечательно, все очень детально и много. Вот только нет ни одной ссылки на работы Александрова, хотя в ваших текстах эта фамилия прямо-таки пестрит. Единственная ссылка, где его работы выставлены (русская Википедия) не работает. Как вы думаете, это случайно?