Работаю над статьёй
“Совершенные магические квадраты”.
Как известно, все пандиагональные квадраты четвёртого порядка являются совершенными. Их я исследовала давно в статье
“Пандиагональные квадраты”. Всего совершенных квадратов четвёртого порядка 384, с учётом основных преобразований их только 48, а с учётом преобразований параллельного переноса на торе всего 3. На все совершенные квадраты четвёртого порядка можно посмотреть
здесь.
Совершенный квадрат восьмого порядка (один) я нашла в Сети тоже очень давно. Всё никак руки не доходили заняться им вплотную. Вчера применила к этому квадрату метод качелей и построила 72 подобных совершенных квадрата (подробно об этом в вышеуказанной статье о совершенных квадратах).
Сегодня построила шесть различных совершенных квадратов 12-ого порядка. Привожу один из них:
Код:
1 143 74 72 3 141 76 70 5 139 78 68
108 38 35 109 106 40 33 111 104 42 31 113
43 101 116 30 45 99 118 28 47 97 120 26
138 8 65 79 136 10 63 81 134 12 61 83
13 131 86 60 15 129 88 58 17 127 90 56
96 50 23 121 94 52 21 123 92 54 19 125
55 89 128 18 57 87 130 16 59 85 132 14
126 20 53 91 124 22 51 93 122 24 49 95
25 119 98 48 27 117 100 46 29 115 102 44
84 62 11 133 82 64 9 135 80 66 7 137
67 77 140 6 69 75 142 4 71 73 144 2
114 32 41 103 112 34 39 105 110 36 37 107
Три из этих квадратов я тоже построила очень давно в статье
“Магические квадраты двенадцатого порядка”, но тогда ещё не знала, что это совершенные квадраты, хотя уже заметила, что они обладают некоторыми интересными свойствами. Метод построения этих квадратов принадлежит не мне, я нашла его в Сети. Это статья на английском языке, в которой даются матричные методы построения пандиагональных квадратов до порядка 13. К сожалению (из-за незнания языка), не смогла понять принципы построения всех шести матриц, которые участвуют в построении пандиагональных квадратов 12-ого порядка, но квадраты по приведённым матрицам построила (кстати, в статье приводятся для примера два квадрата, значит, сама я построила только 4 квадрата). Пришлось писать программу для суммирования шести матриц, потому что вручную делать это суммирование очень нудно. Но зато квадратики получились чудесные!
Собираюсь применить к одному из этих квадратов метод качелей, уже вижу, что можно его применить. Вот она – универсальность метода качелей: каких только квадратов я ни строила этим методом! Можно сказать так: общий метод построения полумагических, ассоциативных, пандиагональных, идеальных и совершенных квадратов – это метод качелей.
Интересный вопрос: исчерпываются ли этими шестью вариантами все схемы расположения начальной цепочки в совершенных квадратах 12-ого порядка?
Сегодня же попробовала построить методом построения составных квадратов совершенный квадрат 16-ого порядка (на базе совершенного квадрата четвёртого порядка, он же и основной). Но не исследовала ещё этот квадрат. Что-то он мне не очень нравится на первый взгляд. Неужели универсальный метод построения составных квадратов первый раз дал сбой? Завтра разберусь с этим квадратом. Возможно, покажу его здесь или в своей статье о совершенных квадратах.
если основание степени k>2 и не равно 4m+2. Этот метод основан на получении идеального квадрата из составного ассоциативного очень простым преобразованием перестановки столбцов (или строк). Его ценность в том, что он позволяет строить идеальные квадраты и нечётного, и чётно-чётного порядка.
.