В недавно опубликованной статье Г. Александрова
“Идеальные магические квадраты 8х8 и 12х12” построены указанные в названии идеальные квадраты. Приведено шесть вариантов идеальных квадратов 8х8 и восемь вариантов идеальных квадратов 12х12. Я не смотрела на квадраты 8-ого порядка, хотя не мешает посмотреть, потому что их тоже наверняка не шесть. Сразу занялась исследованием идеальных квадратов 12-ого порядка. Беру решение № 1 и преобразовываю его немного, потому что предпочитаю квадраты, начинающиеся с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата) и всегда стараюсь строить именно такие квадраты, когда это возможно. В преобразованном виде идеальный квадрат Александрова 12х12 (решение № 1) выглядит так:
Код:
1 140 87 69 35 19 97 44 123 117 83 55
82 53 12 138 86 64 34 17 108 42 122 112
129 119 79 49 8 135 93 71 31 13 104 39
102 38 124 118 77 60 6 134 88 70 29 24
25 20 99 45 131 115 73 56 3 141 95 67
94 65 36 18 98 40 130 113 84 54 2 136
9 143 91 61 32 15 105 47 127 109 80 51
78 50 4 142 89 72 30 14 100 46 125 120
121 116 75 57 11 139 85 68 27 21 107 43
106 41 132 114 74 52 10 137 96 66 26 16
33 23 103 37 128 111 81 59 7 133 92 63
90 62 28 22 101 48 126 110 76 58 5 144
Теперь выделила в квадрате начальную цепочку первых 12 чисел и сразу же вспомнила, что она мне напоминает. В январе текущего года мной была написана статья
“Метод качелей для пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка”. Была составлена программа для построения пандиагональных квадратов 12-ого порядка (и не только 12-ого, конечно), которая выдаёт огромное количество пандиагональных квадратов. Я даже не выполнила программу до конца, в момент прерывания было найдено 1512 квадратов. В статье показаны три пандиагональных квадрата, полученные по программе (см. рис. 7-9 в указанной статье). Сравнив эти квадраты с преобразованным квадратом Александрова, я увидела, что у них абсолютно одинаковая схема расположения первых 12 чисел, то есть начальная цепочка. А теперь прикиньте, kilobok, что если бы я ещё тогда вставила в программу блок проверки ассоциативности строящихся квадратов. Прикинули, что из этого получилось бы? А получилось бы то, что построились бы квадраты пандиагональные и ассоциативные, то есть идеальные! Но когда я писала эту статью, ещё не знала о существовании идеальных квадратов порядка n=4k. А вот в текущий момент совсем забыла об этой своей статье и пыталась построить идеальные квадраты 12-ого порядка, аналогичные построенным мной квадратам 8-ого, 16-ого и т.д. порядков (в этих квадратах начальные цепочки имеют линейный вид). Такие квадраты у меня не получились.
Теперь беру готовую программу и вставляю в неё блок проверки ассоциативности. И программа выдаёт мне идеальные квадраты, подобные идеальному квадрату Александрова. Ещё раз определю, что значит “подобные”: это значит, что все они имеют одинаковую схему расположения первых 12 чисел.
Как я уже заметила выше, идеальных квадратов 12-ого порядка не может быть только 8 штук. Александрову необходимо было отметить в статье, что он показал 8 частных решений, а фактически таких квадратов гораздо больше. А так ведь многие могут подумать, что идеальных квадратов 12-ого порядка всего 8 (как, например, подумал kilobok). Моя программа нашла те же 8 вариантов начальных цепочек, которые нашёл Александров. Но! Для начальной цепочки первого варианта (см. приведённый квадрат Александрова) программа выдала мне 8 разных квадратов, для начальной цепочки второго решения снова 8 разных квадратов. Я не прогнала пока программу для оставшихся 6 вариантов, но думаю, что результат будет тот же. Если это будет так, то всего программа построит 64 идеальных квадрата 12-ого порядка.
Начальная цепочка приведённого квадрата Александрова имеет вид:
И вот ещё один из квадратов, имеющий точно такую же начальную цепочку, но не эквивалентный квадрату Александрова (здесь необходимо сказать, какие квадраты называются эквивалентными: это квадраты, получающиеся друг из друга семью основными преобразованиями магических квадратов и преобразованиями параллельного переноса на торе; так, например, квадрат, построенный Александровым, и тот, который я привела выше, эквивалентны, потому что я применила к квадрату Александрова преобразование параллельного переноса на торе).
Код:
1 140 75 45 35 55 121 20 87 117 107 67
106 65 12 138 74 40 34 53 132 18 86 112
93 119 103 61 8 135 81 47 31 49 128 15
126 14 88 118 101 72 6 134 76 46 29 60
25 56 123 21 95 115 97 68 3 141 83 43
82 41 36 54 122 16 94 113 108 66 2 136
9 143 79 37 32 51 129 23 91 109 104 63
102 62 4 142 77 48 30 50 124 22 89 120
85 116 99 69 11 139 73 44 27 57 131 19
130 17 96 114 98 64 10 137 84 42 26 52
33 59 127 13 92 111 105 71 7 133 80 39
78 38 28 58 125 24 90 110 100 70 5 144
Этот квадрат связан с квадратом Александрова преобразованием “плюс-минус” (преобразования такого типа обнаружены мной, я нигде не встречала упоминания о таких преобразованиях; и очень интересен, кстати, вопрос: один из товарищей, читающих мои статьи о магических квадратах, написал мне, что наверняка такие преобразования известны и описываются каким-нибудь сложным аппаратом преобразований в теории чисел, типа каких-либо общих отображений одного числового множества на другое; так вот, очень хотелось бы узнать, действительно ли это так. Ведь я давно забыла всю высшую математику, которую когда-то учила в университете. Напишите, кто в этом разбирается. Преобразования “плюс-минус” встречаются во многих моих статьях). Однако преобразование “плюс-минус” не относится к числу эквивалентных преобразований магических квадратов. Поэтому эти два квадрата не эквивалентны.
Когда выполню программу для оставшихся шести вариантов начальной цепочки, изложу результаты в специальной статье, посвящённой идеальным квадратам 12-ого порядка. Покажу все квадраты, которые построит программа (на сегодня их у меня 16, по 8 штук для первой и второй начальной цепочки, ожидаю, что их будет 64).
(Подчеркну ещё раз, что строю идеальные квадраты 12-ого порядка, подобные квадратам Александрова – во избежание новых обвинений в плагиате).
Далее можно попробовать изменить внутреннюю структуру начальной цепочки. Все 8 начальных цепочек, полученных Александровым, имеют фиксированное положение чисел 1 и 12 (см. начальную цепочку решения 1, приведённую выше). Можно попробовать изменить положение этих чисел в начальной цепочке, например, так:
Не уверена, что такое изменение в начальной цепочке возможно, то есть даст снова идеальные квадраты. Но можно попробовать. Ну, и наконец, как я уже говорила, можно попробовать сделать совсем другую начальную цепочку, которая не строится ходом шахматного коня, это будут качели с другими шагами. Одним словом, вполне возможно, что добавится ещё n-ое количество идеальных квадратов 12-ого порядка.
И ещё: то, что мне не удалось построить идеальные квадраты 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой, разумеется, не доказывает, что таких квадратов вообще не существует.
Совершенно аналогично можно применить метод качелей для построения идеальных квадратов любого порядка n=4k, k=2, 3, 4… например, 16-ого, 20-ого и т. д. Я уже написала программу для построения идеальных квадратов 16-ого порядка.
Александров пишет в своей статье, что для написания программы построения идеальных квадратов 20-ого порядка ему понадобится максимум неделя. Но почему так много? Я написала программу для идеальных квадратов 16-ого порядка за 2 часа. Наверное, это является показателем того, насколько метод качелей проще метода цепей.
Теперь вопрос для Александрова: возможна ли схема “ход коня” в совершенных магических квадратах? Другими словами: можно ли строить совершенные квадраты методом цепей? Я показала, что методом качелей такие квадраты строятся (см. статью
“Совершенные магические квадраты”.
Кстати, может быть, Александров сам примет участие в форуме? Очень странно, что в двух форумах, в которых я участвую, за него пишут другие люди.
09.05.2008, 15:39 
