Опять антигравитация-2 (статья Горькавого и Василькова)

[SergeyGubanov]

warlock66613, моё мнение состоит в том, что вакуумные решения системы уравнений ОТО могут быть либо точными (в правой части точно ноль), либо они вообще не вакуумные (а в правой-то части не ноль).

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1187403 писал(а):

моё мнение состоит в том, что вакуумные решения системы уравнений ОТО могут быть либо точными (в правой части точно ноль), либо они вообще не вакуумные (а в правой-то части не ноль).

Ваша беседа не проясняет мои вопросы. Если вы имеете точные вакуумные решения, где вы там разглядите гравитон?
Если это точное решение без фоновой метрики, почему это волна? Как вы собираетесь работать с энергией (псевдоэнергией) гравитационного поля и получить численный результат - 5 процентов после слияния черных дыр теряется на излучение в виде волн? Это число, которое можно сравнить с экспериментом, если объект после слияния будет обнаружен.

[warlock66613]

SergeyGubanov, но можно ведь рассуждать следующим образом.
Пусть $g_{\mu\nu}(\varepsilon)$ — неизвестное нам параметризованное решение вакуумных уравнений $G_{\mu\nu}=0$, непрерывно зависящее от некоторого параметра $\varepsilon$. Раложим это решение в ряд по $\varepsilon$:

$$g_{\mu\nu} = g_{\mu\nu}^{(0)} + \varepsilon g_{\mu\nu}^{(1)} + ...$$

Далее вычисляем $G_{\mu\nu}$ — также в виде ряда по $\varepsilon$ — и приравнивая нулю каждый коэффициент этого ряда получим среди прочего уравнение для $g_{\mu\nu}^{(1)}$, решив которое мы и найдём приближённое, но честное решение (честное, поскольку оно получено разложением в ряд, пусть и всё ещё неизвестного нам, но точного решения) вакуумных уравнений Эйнштейна.

[SergeyGubanov]

warlock66613, да оно как бы честное в каком-то смысле (чисто технических ошибок в выкладках нет), но в то же самое время оно может быть совершенно не правильное, вот пример со слабой плоской гравитационной волной:

SergeyGubanov в сообщении #977230 писал(а):

$$ ds^2 = dt^2 - dx^2 - e^{2f} dy^2 - e^{-2f} dz^2 $$

Считаем функцию $f$ зависящей только от разности $x - t$. Вычисляем тензор Эйнштейна, для отличных от нуля компонент получаем:

$$ G_{0 0} = G_{1 1} = - G_{0 1} = -2 f'^2 $$

Уравнения ОТО

$$ f' = 0 $$

Никакой волны нет, это пространство Минковского.

Теперь произносим заклинание: рассмотрим слабую волну! Слабую - значит квадратичными членами пренебрегаем. Но если пренебречь квадратичными членами, то тензор Эйнштейна в этом приближении будет равен нулю (он же квадратичен по $f$), а раз так, то в линейном приближении в качестве функции $f$ можно взять всё что угодно, хоть синус.

Только вот есть одна беда, такую слабую волну экспериментально обнаружить никогда не удасться, уж больно она слаба...

В этом примере ведущий член разложения оказался квадратичный, а значит мы не имели права ограничиваться в разложении одними лишь линейными членами.

Простой пример

$$ G(g) = g - \frac{1}{1000} g^2 - g^3 \eqno(1) $$

Один корень известен $g^{(0)} = 0$

$$ G(g^{(0)}) = 0 \eqno(2) $$

Ищем другой корень в окрестности $g^{(0)}$, пишем $g = g^{(0)} + g^{(1)}$ и раскладываем

$$ G(g^{(0)} + g^{(1)}) = 0 + \frac{\partial G}{\partial g} g^{(1)} + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 G}{\partial g^2} \left( g^{(1)} \right)^2 + \frac{1}{3!} \frac{\partial^3 G}{\partial g^3} \left( g^{(1)} \right)^3 + \ldots \eqno(3) $$

Чтобы получить правильный ответ для (1) придётся разложить не до линейных, и даже не до квадратичных, а до кубических членов. Если ограничится линейным или даже квадратичным членом, то ответ будет не правильным.

-- 26.01.2017, 12:43 --

schekn в сообщении #1187409 писал(а):

Как вы собираетесь работать с энергией (псевдоэнергией) гравитационного поля и получить численный результат - 5 процентов после слияния черных дыр теряется на излучение в виде волн?

Решение уравнений ОТО описывающее слияние двух чёрных дыр не известно. Оценка в $5\%$ взята, видимо, с потолка.

Как вычислить, могу лишь гадать, можно например взять и сравнить гравитационный радиус получившегося объекта (при $t \to + \infty$) с арифметической суммой гравитационных радиусов исходных объектов (при $t \to - \infty$). Но это так, из того что первое приходит в голову. Правильный ответ станет известен наверное не сильно раньше чем станет известно соответствующее решение.

[Vince Diesel]

SergeyGubanov в сообщении #1187069 писал(а):

В предельном переходе это соответствует Ньютоновскому гравитационному потенциалу мгновенно (а не волнообразно) изменяющемуся во всей Вселенной вслед за движущимся источником.

А по какому параметру здесь осуществляется предельный переход?

[schekn]

SergeyGubanov
А вопросом не задавались, что будет с волновыми уравнениями , если вместо фиксированной метрики Минковского, взять например фиксированную метрику де Ситтера? Горькавому видимо это следует сделать в следующей статье, если он так легко объяснил ускоренное расширение.

[piksel]

Pphantom:

Не надо цитировать длинное сообщение собеседника целиком без явной необходимости. Громадная цитата, находившаяся на этом месте, удалена.

Почему у вас метрический коэффициент при времени всегда 1? Лагранжиан (8) для материальной частицы получается, если применять лагранжевую механику к 3-х мерному пространству как и в механике Ньютона, но с использованием релятивистских соотношений между пространственными координатами и временем. Если рассматривать 4-вектора в 4-мерном пространстве-времени, то лагранжиан материальной частицы будет
$L=\frac{1}{2}mg_{ij}\frac{dx^{i}}{ds}\frac{dx^{j}}{ds}$,
см., например, Ритус, УФН, 185, 2015 .

[SergeyGubanov]

Vince Diesel в сообщении #1187537 писал(а):

А по какому параметру здесь осуществляется предельный переход?

По скорости

$$ v^2 = \gamma_{i j} \left( \frac{dx^i}{dt} - V^i \right) \left( \frac{dx^j}{dt} - V^j \right) $$

Предельный переход в Ньютоновскую физику - скорость много меньше скорости света:

$$ v \ll 1 $$

Можно записать явно используя $c$ - скорость света:

$$ L = - m c^2 \sqrt{1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} \left( \frac{dx^i}{dt} - V^i \right) \left( \frac{dx^j}{dt} - V^j \right) }, $$

тогда предельный переход формально заключается в устремлении $c \to \infty$.

piksel в сообщении #1187545 писал(а):

Почему у вас метрический коэффициент при времени всегда 1?

А раскройте скобки:

$$ ds^2 = dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right) $$

$$ g_{0 0} = 1 - \gamma_{i j} V^i V^j, \quad g_{0 i} = \gamma_{i j} V^j, \quad g_{i j} = - \gamma_{i j}, $$

$$ g^{0 0} = 1, \quad g^{0 i} = V^i, \quad g^{i j} = V^i V^j - \gamma^{i j} $$

piksel в сообщении #1187545 писал(а):

Если рассматривать 4-вектора в 4-мерном пространстве-времени, то лагранжиан материальной частицы будет
$L=\frac{1}{2}mg_{ij}\frac{dx^{i}}{ds}\frac{dx^{j}}{ds}$

Спасибо, но речь идёт о построении предельного перехода в классическую физику с целью выяснить откуда берётся Ньютоновский гравитационный потенциал.

schekn в сообщении #1187539 писал(а):

Горькавому видимо это следует сделать в следующей статье, если он так легко объяснил ускоренное расширение.

То что "объяснил" Горькавый "разобъяснено" обратно.

[wrest]

SergeyGubanov в сообщении #1186210 писал(а):

Но попытка учёта такого запаздывания, как известно, приводит к противоречию наблюдаемых орбит с расчётными. То есть планеты Солнечной системы уважают уравнение Лапласа, и не уважают уравнение Д'Аламбера для Ньютоновского гравитационного потенциала.

Подскажите, а где подробней почитать про эти попытки учета "как известно"?

[piksel]

SergeyGubanov в сообщении #1187572 писал(а):

piksel в сообщении #1187545 писал(а):

Если рассматривать 4-вектора в 4-мерном пространстве-времени, то лагранжиан материальной частицы будет

$$L=\frac{1}{2}mg_{ij}\frac{dx^{i}}{ds}\frac{dx^{j}}{ds}$$

Спасибо, но речь идёт о построении предельного перехода в классическую физику с целью выяснить откуда берётся Ньютоновский гравитационный потенциал.

Для метрики Шварцшильда в прямоугольных координатах этот лагранжиан для частицы, медленно движущейся в слабом гравитационном поле, станет
$L=\frac{1}{2}m[(1+2\varphi)-(v^i)^2],$
где $\varphi c^2=-(\mu M)/r$ - ньютоновский гравитационный потенциал и $v^i$ - составляющие пространственной скорости частицы. Канонический ковариантный импульс будет

$$ p_i = \frac{\partial L}{\partial v^i} = -mv^i, $$

но физическому импульсу соответствует контравариантный импульс

$$ p_j=mg^{ij}p_i =mv^i. $$

То есть, физический импульс, также как и физическая скорость, соответствует 4-векторам с верхними индексами.

[SergeyGubanov]

wrest в сообщении #1187575 писал(а):

Подскажите, а где подробней почитать про эти попытки учета "как известно"?

Хм... это как бы фольклор. Не знаю на что правильно будет сослаться. Лучше переадресовать этот вопрос к астрономам. Вообще, теория гравитации с запаздывающим гравитационным потенциалом (то есть удовлетворяющим уравнению Д'Аламбера вместо уравнения Лапласа) рассматривалась Нордстрёмом в 1912, но он быстро от неё отказался.

(Если погуглить, то можно обнаружить например эдакое...)

Сам не проверял:

"Yet, anyone with a computer and orbit computation or numerical integration software can verify the consequences of introducing a delay into gravitational interactions. The effect on computed orbits is usually disastrous because conservation of angular momentum is destroyed."

Physics Letters A,
Volume 250, Issues 1–3, 21 December 1998, Pages 1–11
The speed of gravity — What the experiments say
Tom Van Flandern

piksel, то что Вы пишите понятно, но только надо не совсем это. Надо указать процедуру предельного перехода, то есть как конкретно из метрики $g_{\mu \nu}$ получить Ньютоновский гравитационный потенциал $\varphi$. Не для частного случая решения Шварцшильда, а вообще.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1187827 писал(а):

Надо указать процедуру предельного перехода, то есть как конкретно из метрики $g_{\mu \nu}$ получить Ньютоновский гравитационный потенциал $\varphi$. Не для частного случая решения Шварцшильда, а вообще.

А ЛЛ-2 уже отменили? Специалист...

[wrest]

SergeyGubanov в сообщении #1187827 писал(а):

Вообще, теория гравитации с запаздывающим гравитационным потенциалом (то есть удовлетворяющим уравнению Д'Аламбера вместо уравнения Лапласа) рассматривалась Нордстрёмом в 1912, но он быстро от неё отказался.

Погодите, то есть Солнце притягивает нас не к тому месту где мы его видим, а туда где, мы увидим Солнце через 8 с третью минут??

[Someone]

wrest в сообщении #1187878 писал(а):

Погодите, то есть Солнце притягивает нас не к тому месту где мы его видим, а туда где, мы увидим Солнце через 8 с третью минут??

Угу. Не абсолютно точно, но с очень высокой точностью. Гравитационное поле сложное, оно содержит много информации. В частности, информацию о скорости и ускорении источника. Но если ускорение изменяется, то информация оказывается не актуальной, и тогда возникает гравитационное излучение.

Кстати, в электромагнитном поле такая же картина: равномерно движущийся заряд притягивает другой заряд не туда, где тот его "видит", а туда, где он находится "на самом деле". Ну, электромагнитное поле попроще гравитационного, оно информацию об ускорении не содержит.

[realeugene]

Someone в сообщении #1187896 писал(а):

Ну, электромагнитное поле попроще гравитационного, оно информацию об ускорении не содержит.

Слышал, что равномерно ускоряемый заряд тоже не излучает. Иначе придётся объяснять, почему не излучает подвешеный на ниточке заряженный шарик.