2)

отрезок содержит одну точку

.
Такой случай не возможен (см. внимательно определение отрезка).
Согласно определению 8, второй случай невозможен

мне стыдно что я такое просмотрел.
Контринтуитивно, да?
Ага.
В общем, 16 и 17 задачи оказались сложнее чем я думал, и я решил сначала все-таки разобраться с задачей 15, чтобы не оставлять пробелов.
Насчёт 15: попробуйте построить последовательность.
Попробовал. Получилось длинное (для меня) доказательство, и наверняка в нем найдутся недочеты, но я уже устал над ним работать 3 недели, так что выкладываю на суд. Пока я сделал только пункт а), второй пункт будет позже.
15. Доказать что между двумя различными действительными числами найдется
а) бесконечно много рациональных чисел;
б) бесконечно много иррациональных чисел.
Доказательство.
Пусть

,

.
а) Этапы доказательства:
1) найдем натуральные

такие что

;
2) с помощью

найдем рациональные

такие что

;
3) построим счетное множество рациональных чисел между

.
Поехали.
1) По аксиоме Архимеда мы можем найти натуральные

и

. Возьмем минимальные такие

и

(они существуют согласно зад. 16 листка 7). Заметим, что

, т.к. иначе

не было бы минимальным натуральным числом, большим

(т.е. было бы

).
Итак,

.
2) Теперь с помощью

найдем

такие что

.
Используем дихотомию. Алгоритм следующий.
Берем отрезок
![$[m,n]$ $[m,n]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/4/db4460fbfea8f748322f458b3996230e82.png)
и делим его на две равные части, после этого берем ту половину, которая содержит оба числа

. Далее снова делим полученный отрезок напополам и снова берем половину, содержащую

. Продолжаем деление до тех пор, пока середина текущего отрезка не окажется между

.
Покажем, что на каком-то шаге алгоритма делимый отрезок окажется меньше отрезка
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
, и его середина попадет между

.
Возьмем

. Далее рассуждения аналогичны доказательству задачи 14.а:

такое, что

где

-- длина отрезка после

-го деления. Возьмем минимальное такое

. Пусть

-- меньший и больший концы делимого отрезка соответственно после

-го деления исходного отрезка
![$[m,n]$ $[m,n]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/4/db4460fbfea8f748322f458b3996230e82.png)
пополам, и пусть

,

. Тогда выполнено

Выводим из этих двух неравенств:


Таким образом,

, т.е. середина отрезка, полученного после

-го деления отрезка
![$[m,n]$ $[m,n]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/4/db4460fbfea8f748322f458b3996230e82.png)
пополам, будет лежать между

и

.
Пусть

,

(т.е. возьмем правую половину отрезка при следующем делении). Тогда

.
Покажем, что продолжив работу алгоритма, на каком-то шаге

правый конец

также окажется между

. Для этого достаточно повторить рассуждения выше для "внешних" чисел

и "внутренних" чисел

.
Обозначим для удобства

,

. Итак,

, где

(все числа

рациональные, потому что получены из натуральных

с помощью конечного числа суммирований и делений).
3) Продолжим алгоритм с полученным отрезком
![$[p,q]$ $[p,q]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/0/6f0a8d0860a07f2998b96c110c0cdc2082.png)
, беря после каждого деления любую из двух частей отрезка (например, всегда левую). Обозначим счетное множество (рациональных) середин делимого отрезка

:
Аналогично задаче 14.а доказывается, что

,

.
Таким образом,

.
-- 02.11.2016, 14:24 --А насчет второго пункта
б) бесконечно много иррациональных чисел.
у меня мысль взять найденные

из предыдущего пункта и построить такое множество:

.