Резонанс в цепи

[Krogg]

Здравствуйте, есть один очень простой вопрос, но он меня вводит в ступор

Есть самое простое последовательное соединение $R$, $L$ и $C$, но к последовательному $L$ и $C$ подключили параллельно еще одно сопротивление $R$.

И нужно найти резонансную частоту. Понятно, что условием резонанса является $\operatorname{Im}=0$. Т.е. я нахожу общее сопротивление, приравниваю к нулю мнимую часть и вуаля. Но в данном случае, если я учитываю параллельное сопротивление, подключенное к $L$ и $C$, то у меня в мнимой части получается дробь, приравняв которую к нулю не дает мне ничего.

У меня есть мысль, что это параллельное сопротивление я просто не должен учитывать, а рассматривать эту цепь как просто последовательную $R$, $L$ и $C$ и тогда все понятно и решение стоит в любой книжке, но, если это так, то почему?

[Mihr]

Если я правильно понял Ваше описание, фактически в этой схеме два резистора соединены параллельно. Замените их одним эквивалентным сопротивлением, и далее, полагаю, всё ясно.

[levtsn]

Она от сопротивлений не зависит.

[Mihr]

levtsn в сообщении #1095688 писал(а):

Она от сопротивлений не зависит.

Это не совсем так. Для высокодобротного контура зависит очень слабо. Но если контур не высокодобротный, то резонансная частота, а также собственная частота свободных затухающих колебаний могут быть ощутимо меньше собственной частоты свободных незатухающих колебаний (того же контура, но без активного сопротивления).

[Krogg]

Извините, что сразу не добавил схему.

Значит я нахожу эквивалентное сопротивление всей цепи, разбиваю на действительную и мнимую часть, в мнимой части у меня дробь и присутствует $R_{1}$, приравниваю мнимую часть к нулю

Или я нахожу эквивалентное сопротивление только участка $L + C$ и все? Это и есть моя мнимая часть, приравниваю ее к нулю. Почему тогда $R_{1}$ игнорирую?

[Mihr]

Krogg,
видимо, я Вас не понял. Я подумал, что речь идёт об "автономном" колебательном контуре, состоящем из конденсатора, катушки индуктивности и резистора, соединённых "в кольцо", к которому добавили ещё один резистор согласно Вашему описанию. В этом случае два резистора оказывались соединёнными параллельно, и именно их я предлагал заменить одним эквивалентным сопротивлением. Но судя по Вашему рисунку, этот колебательный контур - лишь фрагмент какой-то более общей схемы (так как нижний и верхний выводы в левой части рисунка не замкнуты между собой). Так ли нужно было понимать: это действительно фрагмент какой-то схемы?

[Krogg]

Это я сделал фрагмент вот этой схемы, а задания такие:

а) Найти комплексное общее сопротивление $Z_{ges}$ (Я сделал сам часть схемы, ибо для первого задания именно эту часть надо взять, индуктивность $L_{p}$ не берется пока в расчет, как я понял)

б) Найти частоту $f$, для которой комплексное общее сопротивление \mid$Z_{ges}\mid$ будет минимально (А как я понял оно минимально тогда, когда мнимая часть равна нулю, в сопротивлении только действительная часть, а это только при резонансе)

Там есть еще пункты, но хочу разобраться с этими сначала

Вопросы мои выше остаются теже :(

-- 31.01.2016, 23:55 --

К сожалению я не такой спец в $TEX$, чтоб вбивать это все ручками, поэтому я сфоткал свое решение



Надеюсь правильно нашел общее сопротивление, мнимую часть приравнял к нулю и получил дробь, с которой, по правде говоря, не знаю что делать, стыдно :(

[AnatolyBa]

Mihr в сообщении #1095691 писал(а):

А как я понял оно минимально тогда, когда мнимая часть равна нулю

В общем случае это не так, учтите, но в вашем частном случае это верно, т.к. деиствительная часть тоже минимальна когда мнимая обращаетсыс в ноль.
Дробь - когда равна нулю? Что с числителем должно быть?

[Kephe]

Если говорить о части схемы справа от синего пунктира, $|Z|_{min}$ видно сразу без всяких формул (подсказка: на резонансной частоте сопротивление последовательного контура равно нулю). И писать тут какие-то формулы, на мой взгляд, излишество.

Чисто формально, можно выписать формулу для $|Z|$ (модуль комплексного числа) - это будет действительная функция от одной переменной $\omega$. Дальше найти минимум этой функции каким-либо способом. Формально-механически, минимум можно найти с использованием производной, как учили (наверное) в школе. При некоторой наблюдательности, минимум можно увидеть и без этого.

[Krogg]

AnatolyBa в сообщении #1095728 писал(а):

Дробь - когда равна нулю? Что с числителем должно быть?

Спасибо большое, ступил

А в целом я все верно понимаю, правильно написал и принцип решения таких задач:
1. Нахожу общее сопротивление
2. Приравниваю мнимую часть к нулю и нахожу частоту?

-- 01.02.2016, 09:50 --

Kephe в сообщении #1095748 писал(а):

Если говорить о части схемы справа от синего пунктира, $|Z|_{min}$ видно сразу без всяких формул (подсказка: на резонансной частоте сопротивление последовательного контура равно нулю). И писать тут какие-то формулы, на мой взгляд, излишество.

Если честно, вы меня запутали

Берем схему от пунктира, если бы там не было сопротивления R_{1}, то мне все понятно, но это сопротивление заставляет меня делать те действия по решению, которые я сделал выше, для нахождения резонансной частоты

Kephe в сообщении #1095748 писал(а):

Чисто формально, можно выписать формулу для $|Z|$ (модуль комплексного числа) - это будет действительная функция от одной переменной $\omega$. Дальше найти минимум этой функции каким-либо способом. Формально-механически, минимум можно найти с использованием производной, как учили (наверное) в школе. При некоторой наблюдательности, минимум можно увидеть и без этого.

Тут я не понял для чего это все, минимум, производные, мои действия абсолютно не верны что ли? Для чего мне минимум, почему я не могу решать так, как я выше на фото скинул, решив ту дробь найти частоту резонансную и все?

[Kephe]

Krogg в сообщении #1095765 писал(а):

это сопротивление заставляет меня делать те действия по решению, которые я сделал выше, для нахождения резонансной частоты

Дело в том, для поиска минимального $|Z|$ в данном случае не обязательно искать резонансную частоту. Достаточно заменить, что на резонансной частоте последовательного контура, какой бы она не была, сопротивление ветви $LC$ равно нулю. В общем-то достаточно очевидно, что тут и будет минимум $|Z|$ без громоздких формул.

Почему очевидно?

Других реактивных элементов нет, что сильно упрощает дело. На резонансной частоте параллельно $R_1$ оказывается включена ветвь с нулевым сопротивлением. Ветвь с нулевым сопротивлением можно представить как перемычку. Если параллельно $R_1$ включена перемычка, сопротивление $R_1$ уже не имеет значения. Значит, всю цепь можно заменить на единственный оставшийся элемент.

Во всяком случае, такое умозрительное решение полезно проделать, прежде чем писать формулы. Если умозрительное решение Вам непонятно, тогда извиняюсь, что запутал :) Действуйте формальными методами, они тоже дадут ответ, но чуть более громоздко.

Krogg в сообщении #1095765 писал(а):

Тут я не понял для чего это все, минимум, производные, мои действия абсолютно не верны что ли?

Просят найти минимум $|Z|$, то есть минимум модуля комплексного сопротивления. Как найти модуль комплексного числа, знаете? Если запишите формулу для $|Z|$, мнимой части там уже не будет. Будет действительная функция от одной переменной $\omega$. У которой надо найти минимум. Проще, конечно, искать минимум у квадрата модуля, чтобы не заморачиваться к извлечением корня.

Я не говорил, что искать производную обязательно. Этот один из способов поиска минимума функции, который гарантированно работает при чисто механическом применении. Но часто минимум можно "увидеть" гораздо проще.

Как уже сказал AnatolyBa, условие равенства нулю мнимой части $Z$ совпадает с условием минимума $|Z|$ только для частного случая. В общем случае может не совпадать. Например, рассмотрите функцию

$$Z(\omega) = (\omega + 1) + j(\omega - 1),\ \omega \in \mathrm{R}$$

нуль мнимой части будет при $\omega = 1$, при этом

$$|Z(1)| = \sqrt{(1 + 1)^2 + (1 - 1)^2} = 2$$

.
Однако, если взять $\omega = 0$,

$$|Z(0)| = \sqrt{(0 + 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{2} < 2$$

.

[Krogg]

Kephe в сообщении #1095782 писал(а):

Дело в том, для поиска минимального $|Z|$ в данном случае не обязательно искать резонансную частоту. Достаточно заменить, что на резонансной частоте последовательного контура, какой бы она не была, сопротивление ветви $LC$ равно нулю. В общем-то достаточно очевидно, что тут и будет минимум $|Z|$ без громоздких формул.

Почему очевидно?

Других реактивных элементов нет, что сильно упрощает дело. На резонансной частоте параллельно $R_1$ оказывается включена ветвь с нулевым сопротивлением. Ветвь с нулевым сопротивлением можно представить как перемычку. Если параллельно $R_1$ включена перемычка, сопротивление $R_1$ уже не имеет значения. Значит, всю цепь можно заменить на единственный оставшийся элемент.

Во всяком случае, такое умозрительное решение полезно проделать, прежде чем писать формулы. Если умозрительное решение Вам непонятно, тогда извиняюсь, что запутал :) Действуйте формальными методами, они тоже дадут ответ, но чуть более громоздко.

Спасибо большое, это то, что я хотел услышать и то, о чем в самом первом сообщении пытался спросить, только видимо коряво :)

По поводу минимума тоже разобрался, спасибо за пример

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Причина переноса:
Текст или формулы замещены рисунками.

(Подробно)

Forum Administration в сообщении #27356 писал(а):

I. Нарушения и санкции
1) Нарушением считается:
м) Набор любых формул без использования системы набора $\TeX$ (краткие инструкции по набору можно прочесть здесь, здесь или здесь). Использование картинок в качестве замены текста и формул (за исключением геометрических чертежей, сложных диаграмм и таблиц). Несоблюдение правил использования внешних ссылок (см. п. III-5).

Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике). Оформите тему в соответствии с правилами форума и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума