Задачи Теорвер

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1077456 писал(а):

Откуда это?

Курс лекций по теории вероятностей. O.E. Щербакова стр. 47


Я поправил доказательство. Кажется все сходится.

[Otta]

Вы проверили независимость множителей?

[Mitrofan]

$\sum M((\xi_n)^2(C_n)^2)=\sum M((\xi_n)^2)M((C_n)^2)$

По условию $\xi_n$ - независимы, а $C_n$ последовательность вещественных чисел. Их квадраты так же независимы.

[Otta]

Это $\xi_n$ независимы. А Вы чем пользуетесь?

[Mitrofan]

Хм, думал последовательность вещественных чисел случайна

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1077476 писал(а):

Тогда $A_n$ и $B_n$ независимы.

Обоснуйте.

-- 27.11.2015, 23:33 --

ЗЫ А была б она случайна (неведомо как) - все было бы гораздо безнадежнее.

-- 27.11.2015, 23:34 --

Mitrofan
Бога ради, не переходите на язык событий, не описывая событий. Шо за тенденция, однако.

[Mitrofan]

Можем ли мы сказать, что $\sum M((\xi_n)^2(C_n)^2)=\sum (C_n)^2M((\xi_n)^2)?$

[Otta]

Все не так. Скажите Вы мне - если можем, то почему, если не можем, то тоже почему. Вы ж большой уже.

[Mitrofan]

Можем, поскольку $C_i^2$ - константа и просто выносится из матожидания.

[Otta]

Ну вот, другое дело. И не забудьте учесть, что случайные величины у Вас одинаково распределены, это очень важная информация здесь.

[Mitrofan]

Похоже это не понадобится.


Пусть $\xi$_1$, $\xi$_2$, ... последовательность независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями.
Доказать, что ряд $\sum {C_n\xi$_n}$, где $C_1$,$C_2$,... последовательность вещественных чисел почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum {C_n^2}$.



Доказательство:
Ряд $\sum \xi_nC_n$ сходится, если $\sum M(\xi_nC_n)$ и $\sum D(\xi_nC_n)$ сходятся.

$\sum M(\xi_nC_n)=\sum M(\xi_n)M(C_n)=\sum 0M(C_n)=0$ $\Rightarrow$ сходится.

$\sum D(\xi_nC_n)=\sum M([\xi_nC_n-M(\xi_nC_n)]^2)=\sum M([\xi_nC_n]^2)=\sum M((\xi_n)^2(C_n)^2)=$

$=\sum (C_n)^2M((\xi_n)^2)$(Так как $C_n$ последовательность чисел не являющихся случайными величинами)

Поскольку $\xi_n$ ограниченные независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевыми матожиданиями, то существуют:

$a: -\infty<a<0$ и $b: 0<b<+\infty$, такие, что $a<\xi_n<b$ и, следовательно, $0<M((\xi_n)^2) <\infty$.

Пусть существует $q=(\max(|a|;|b|))^2$

Тогда $M(\xi_n^2)<q$ для всех $n$ и $\sum C_n^2M(\xi_n^2)<\sum q(C_n)^2$

$\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ сходится, когда сходится $\sum qC_n^2 $, ($\sum qC_n^2$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $\sum C_n^2$) и расходится, когда $\sum (C_n)^2$ расходится.

Следовательно, $\sum \xi_nC_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $\sum (C_n)^2$

[Mitrofan]

Спасибо за помощь.

[Otta]

Пожалуйста.

Mitrofan в сообщении #1077490 писал(а):

Тогда $M(\xi_n^2)<q$ для всех $n$ и $\sum C_n^2M(\xi_n^2)<\sum q(C_n)^2$

$\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ сходится, когда сходится $\sum qC_n^2 $,

Да. Когда больший ряд сходится, то меньший ряд тоже сходится. Сходимость какого ряда у Вас есть, а какого Вам нужна? Определитесь, в какую сторону Вы доказываете. Вы принимаете желаемое за действительное пока что.

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1077543 писал(а):

Пожалуйста.

Mitrofan в сообщении #1077490 писал(а):

Тогда $M(\xi_n^2)<q$ для всех $n$ и $\sum C_n^2M(\xi_n^2)<\sum q(C_n)^2$

$\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ сходится, когда сходится $\sum qC_n^2 $,

Да. Когда больший ряд сходится, то меньший ряд тоже сходится. Сходимость какого ряда у Вас есть, а какого Вам нужна? Определитесь, в какую сторону Вы доказываете. Вы принимаете желаемое за действительное пока что.

Известно, что ряд $\sum (C_n)^2$ сходится.
Мы доказываем, что $\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ сходится.
$\sum (C_n)^2$ - сходится $\Rightarrow$ $\sum qC_n^2 $ - сходится $\Rightarrow$ меньший ряд $\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ сходится. Верно?

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1077545 писал(а):

Известно, что ряд $\sum (C_n)^2$ сходится.

В эту сторону Ваши рассуждения пройдут. А вот в другую...