Задачи Теорвер

[Mitrofan]

Здравствуйте, помогите решить:

1. Пусть $\xi$_1$, $\xi$_2$, ... последовательность независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями.
Доказать, что ряд $\sum {C_n\xi$_n}$, где $C_1$,$C_2$,... последовательность вещественных чисел почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum {C_n^2}$.

2. Пусть $\xi$$ - неотрицательная случайная величина с плотностью распределения $p(x)$ и характеристической функцией $f(t)$
Доказать, что если $p(x)$ монотонно убывает при $x>0$, то $f(t)$ нигде не обращается в нуль.

Мои наработки:
1.
$\Rightarrow$
$\sum {C_n^2}$ сходится $\Rightarrow$ $ \lim\limits_{n \to \infty } C_n^2=0$;
Следовательно, $\lim\limits_{n \to \infty } |C_n|=0$;
$\sum {C_n\xi$_n}$ - знакопеременный и сходится если $\sum {|C_n\xi$_n|}=\sum {|C_n||\xi$_n|}$ - сходится. Что дальше делать не ясно, поскольку мы не можем утверждать, что $\sum {|C_n|}$ сходится.
$\Leftarrow$
-

2.Известно, что:
$f_\xi(t)= Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}dF(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}p(x)dx $;
$F_{\xi}=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x) dx$;

Очевидно, что плотность распределения в $x=0$ больше $0$.
Я не совсем понимаю при каких обстоятельствах характеристическая функция может обратиться в ноль.

Прошу совета.

[Lia]

Mitrofan в сообщении #1075043 писал(а):

$f_\xi(t)= Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{it\xi}F_{\xi} dx $;

Хотя бы формулу запишите верно.

Mitrofan в сообщении #1075043 писал(а):

$F_{\xi}=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x) dx$, очевидно, что плотность распределения в $x=0$ больше 0.

А это что-то.

[Mitrofan]

(Оффтоп)

Списал из вики

[Lia]

Mitrofan
Ей-богу, я не полезу в Вики, чтобы убедиться, что Вы ее криво списали. Исправляйте.

[Mitrofan]

Lia в сообщении #1075044 писал(а):

Mitrofan в сообщении #1075043 писал(а):

$F_{\xi}=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x) dx$, очевидно, что плотность распределения в $x=0$ больше 0.

А это что-то.

Вода. Я пытаюсь найти способ связать монотонное убываение плотности с задачей.

[Lia]

Да нет, это не вода. Это показатель. Пусть лежит, для истории.
Недоисправили формулу для х.ф. Еще раз.

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1075043 писал(а):

Я не совсем понимаю при каких обстоятельствах характеристическая функция может обратиться в ноль.

А характеристическая функция откуда куда действует? Из какого пространства в какое?

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1075052 писал(а):

Mitrofan в сообщении #1075043 писал(а):

Я не совсем понимаю при каких обстоятельствах характеристическая функция может обратиться в ноль.

А характеристическая функция откуда куда действует? Из какого пространства в какое?

По сути $\mathbb{R}\Rightarrow\mathbb{C}$ и определяет вектор в комплексной плоскости.
$e^{itx}=\cos(tx)+i\sin(tx)$

(Оффтоп)

[Otta]

Mitrofan
Вы мне эту картинку зачем? Вы ее лучше сами выучите, чем по Википедиям.

Раз значение функции комплексное, то когда оно нулевое?

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1075130 писал(а):

Mitrofan
Вы мне эту картинку зачем? Вы ее лучше сами выучите, чем по Википедиям.

Раз значение функции комплексное, то когда оно нулевое?

Когда её реальная и мнимая часть равны нулю.
$e^{itx}=\cos(tx)+i\sin(tx)$ - при каких $tx$ $\cos(tx)$ и $\sin(tx)$ будут одновременно равны нулю?

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1075162 писал(а):

Когда её реальная и мнимая часть равны нулю.

Это верно. Но скажите, я правильно понимаю, что Вы собираетесь доказывать, что экспонента с мнимым показателем не обращается в ноль? Если да, то зачем?

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1075165 писал(а):

Это верно. Но скажите, я правильно понимаю, что Вы собираетесь доказывать, что экспонента с мнимым показателем не обращается в ноль? Если да, то зачем?

Я хочу понять при каких условиях х.ф. в принципе может обратиться в ноль.
Для этого нужно, чтобы $f_\xi(t)= Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}p(x)dx $ был равен нулю при неком $t$. Тут как не крути экспонента нулем не станет. Плотность монотонно убывает, но не сказано, ограничена ли она каким-то верхним пределом. Она может и на бесконечность уходить. Тогда х.ф. не будет равна нулю при любом $x$ и $t$, но если допустить что плотность монотонно падая при каком-то $x_1$ достигнет 0, то на всех $x>x1$ - х.ф. равна нулю, противоречие задаче. Я совсем запутался.

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1075183 писал(а):

Тогда х.ф. не будет равна нулю при любом $x$ и $t$

Это функция одной переменной.
Вы отвлеклись. Вещественная и мнимая часть чего должны равняться нулю? Как они выглядят, обе эти части этого самого?

[Mitrofan]

Хм, Интеграла $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}p(x) dx$? Не могу представить это геометрически.

[Otta]

Давайте на как можно большее число вопросов отвечать. Желательно, на еще большее, чем задали. Самостоятельнее, пожалуйста.
Да, интеграла. Дальше?

-- 20.11.2015, 19:59 --

Mitrofan в сообщении #1075187 писал(а):

Не могу представить это геометрически.

Зачем?