Задачи Теорвер

[Mitrofan]

Это нужно чтобы в обоих полупериодах сравниваемые точки по оси x одинаково отставали от начала полупериода. Грубо говоря, были в одной фазе относительно полупериода.

[Mitrofan]

Пусть $\xi$$ - неотрицательная случайная величина с плотностью распределения $p(x)$ и характеристической функцией $f(t)$
Доказать, что если $p(x)$ монотонно убывает при $x>0$, то $f(t)$ нигде не обращается в нуль.

Доказательство:
$f(t)= Ee^{it\xi}=\int_{0}^{+\infty} e^{itx}p(x)dx $;
$e^{itx}=\cos(tx)+i\sin(tx)$
$\int_{0}^{+\infty} e^{itx}p(x) dx=\int_{0}^{+\infty}\cos(tx)p(x)dx +i\int_{0}^{+\infty}\sin(tx)p(x)dx$
Для того, чтобы характеристическая функция была неравна нулю, достаточно, чтобы её реальная или мнимая составляющая не была равна нулю.
Суммы положительных(первый интеграл) и отрицательных(второй интеграл) составляющих интеграла мнимой части х.ф., при одинаковых n - принадлежат n-ому периоду:
$i\int_{0}^{+\infty}\sin(tx)p(x)dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\int_{\frac{(2n-2)\pi}{t}}^{\frac{(2n-1)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx+\int_{\frac{(2n-1)\pi}{t}}^{\frac{(2n)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx)$
Очевидно, что плотность распределения в $x=0$ больше $0$, далее амплитуда убывает.

(Оффтоп)

Назовем промежутки $[\frac{(2n-2)\pi}{t};\frac{(2n-1)\pi}{t}] - P_n$, а $[\frac{(2n-1)\pi}{t};\frac{(2n)\pi}{t}] - N_n$. Пусть $\varphi \in P_n, \psi \in N_n$.
$F(x)=\sin(tx)p(x)$
Для любых $\varphi=\psi-\frac{\pi}{2t}$(сравниваем функцию на соседних полупериодах):
$|F(\varphi)|>|F(\psi)|$
Как следствие - интеграл полупериода на котором подынтегральная функция положительна(нечетного) по модулю больше интеграла на котором она отрицательна для любого n, т.к. амплитуда убывает.
$|\int_{\frac{(2n-2)\pi}{t}}^{\frac{(2n-1)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx| > |\int_{\frac{(2n-1)\pi}{t}}^{\frac{(2n)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx|$
$i\int_{0}^{+\infty}\sin(tx)p(x)dx \ne 0$ \Rightarrow$ характеристическая функция не равна нулю при любом t

*Написал для печати*

[Mitrofan]

Я нашел решение, растолкуйте пожалуйста.

Пусть $\xi$_1$, $\xi$_2$, ... последовательность независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями.
Доказать, что ряд $\sum {C_n\xi$_n}$, где $C_1$,$C_2$,... последовательность вещественных чисел почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum {C_n^2}$.

Доказательство:
Пусть $f_n(t)$ характеристическая функция случайной величины $\sum \limits_{k=1}^{n} {C_k\xi_k}$. Достаточно доказать, что $f_n(t)$ сходится в некоторой окрестности нуля к непрерывной в нуле функции.
Характеристическая функция $\xi_i$ равна $ \cos t$.
Существуют положительные $a, b, \delta$, такие, что:
$e^{-at^2}\leqslant \cos t \leqslant e^{-bt^2}$, при $|t|<\delta$.
Но $f_n(t)=\cos C_1t\cos C_2t...\cos C_nt$.
Следовательно: $e^{-at^2(C_1^2+C_2^2+...+C_n^2)}\leqslant f_n(t) \leqslant e^{-bt^2(C_1^2+C_2^2+...+C_n^2)}$, при $|t|<\delta$.
Кроме того, последовательность $\left\lbrace f_n(t)\right\rbrace$ монотонно не возрастает и, следовательно, для сходимости её к непрерывной в нуле функции при $|t|<\delta$ необходимо и достаточно выполнение условия $\sum {C_n^2}\infty$

1.Что следует из: "Достаточно доказать, что $f_n(t)$ сходится в некоторой окрестности нуля к непрерывной в нуле функции."?
2.Это почему вообще:"Характеристическая функция $\xi_i$ равна $ \cos t$. "?
3.Тоже не понимаю из чего это следует:"Но $f_n(t)=\cos C_1t\cos C_2t...\cos C_nt$." и "$e^{-at^2(C_1^2+C_2^2+...+C_n^2)}\leqslant f_n(t) \leqslant e^{-bt^2(C_1^2+C_2^2+...+C_n^2)}$, при $|t|<\delta$"

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1077224 писал(а):

Характеристическая функция $\xi_i$ равна $ \cos t$.

У Вас что, задано распределение?

-- 27.11.2015, 05:09 --

PS Теорему Колмогорова-Хинчина почитайте. Ширяев, "Вероятность". Авось.

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1077225 писал(а):

Mitrofan в сообщении #1077224 писал(а):

Характеристическая функция $\xi_i$ равна $ \cos t$.

У Вас что, задано распределение?

Так вот в чем дело. Есть три задачи в которых намекается на ограниченность $\sum \xi_n$ отличия только в том как. Решение для первой, моя третья. Чему же равна х.ф. в моем случае? Известно, что $\xi_n$ обладают одинаковым распределением, ограничены и мат.ожидание 0. Вечером попробую добить задачу.
Картинка:

(Оффтоп)

Цитата:

PS Теорему Колмогорова-Хинчина почитайте. Ширяев, "Вероятность". Авось.

Пытался что-то сделать с теоремой о двух рядах Колмогорова.

[--mS--]

Mitrofan в сообщении #1077252 писал(а):

Пытался что-то сделать с теоремой о двух рядах Колмогорова.

Попытки предъявите.

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1077252 писал(а):

Пытался что-то сделать с теоремой о двух рядах Колмогорова.

В Вашем случае они эквивалентны, если Вы читали - могли бы увидеть. Что Вы пытались сделать?

[Mitrofan]

Ряд $\sum \xi_nC_n$ сходится, если $\sum M(\xi_nC_n)$ и $\sum D(\xi_nC_n)$ сходятся.
$\sum M(\xi_nC_n)=\sum M(\xi_n)M(C_n)=\sum 0M(C_n)=0$ $\Rightarrow$ сходится.

$\sum D(\xi_nC_n)=\sum M([\xi_nC_n-M(\xi_nC_n)]^2)=\sum M([\xi_nC_n]^2)=$

$=\sum M^2(\xi_nC_n)=0$ $\Rightarrow$ сходится.
$\sum \xi_nC_n$ сходится независимо от сходимости $\sum C_n^2$
В чем моя ошибка?

[Otta]

В том, что Вы считаете матожидание квадрата равным квадрату матожидания.

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1077398 писал(а):

В том, что Вы считаете матожидание квадрата равным квадрату матожидания.

$M(AB)=M(A)M(B)$
$M(A\cdot A)\ne M(A)M(A)$ т.к. А зависима сама от себя, понял.

[Otta]

Э?

Кто такая $A$? Ладно, бог с ним. Не равно, да. Почти никогда. Что означает это равенство? (так, на всякий случай)

[Mitrofan]

Свойство мат.ожиданий
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин $X,Y$ равно произведению их математических ожиданий
: $M[XY] = M[X]M[Y]$.


Ряд $\sum \xi_nC_n$ сходится, если $\sum M(\xi_nC_n)$ и $\sum D(\xi_nC_n)$ сходятся.
$\sum M(\xi_nC_n)=\sum M(\xi_n)M(C_n)=\sum 0M(C_n)=0$ $\Rightarrow$ сходится.

$\sum D(\xi_nC_n)=\sum M([\xi_nC_n-M(\xi_nC_n)]^2)=\sum M([\xi_nC_n]^2)=\sum M((\xi_n)^2(C_n)^2)=\sum M((\xi_n)^2)M((C_n)^2)$

$M((\xi_n)^2)$ как я понимаю не сходится и даже если будет сходиться $M((C_n)^2)$, то поведение ряда $\sum M((\xi_n)^2)M((C_n)^2)$ неизвестно.

[Otta]

Как-то плохо у Вас со свойствами матожиданий. Поизучайте-ка их еще.

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1077439 писал(а):

Как-то плохо у Вас со свойствами матожиданий. Поизучайте-ка их еще.

К чему это вы?

А если так:
Поскольку $\xi_n$ ограниченные независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевыми матожиданиями, то существуют:
$a: -\infty<a<0$ и $b: 0<b<+\infty$, такие, что $a<\xi_n<b$ и, следовательно, $0<M((\xi_n)^2) <\infty$.
Пусть существует $q=(\max(|a|;|b|))^2$
Тогда $M(\xi_n)<q$ для всех $n$ и $\sum M((\xi_n)^2)M((C_n)^2)<\sum qM((C_n)^2)$
$\sum M((\xi_n)^2)M((C_n)^2) $ сходится, когда сходится $\sum qM((C_n)^2)$.
$\sum qM((C_n)^2)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $\sum (C_n)^2$
$\sum M((\xi_n)^2)M((C_n)^2)$ расходится, когда $\sum (C_n)^2$ расходится.
Следовательно, $\sum \xi_nC_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $\sum (C_n)^2$
Что я упускаю?

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1077449 писал(а):

К чему это вы?

Я? Да просто так. Не нашлась, что сказать.

(Оффтоп)

Понимаете, чем отвечать на вопросы такого сорта, проще предоставить Вас Вашему лектору в сессию. Не хотите читать свойства - не читайте.

Mitrofan в сообщении #1077437 писал(а):

$\sum M([\xi_nC_n]^2)=\sum M((\xi_n)^2(C_n)^2)=\sum M((\xi_n)^2)M((C_n)^2)$

Откуда это?