Программа студентов

[Red_Herring]

Мне лично кажется разговор о двух культурах несколько странным. Дело не в том, что математике нужны и те и другие, как я только что прочёл в эссе Гауэрса, а в том, что в любом математике оба этих качества перемешаны, конечно, в разных пропорциях и математик, у которого одно из качеств плохо развито, на мой взгляд, представляет довольно печальное зрелище. Вот ВИЛ предупреждал что недооценка чего-то там в познании ведёт либо к идеализму, либо к ползучему эмпиризму. Лично я всегда был более "решателем", чем "концептуалистом", но начиная с задач, выстраиваешь концепцию, а выстроив концепцию, развиваешь её и применяешь к задачам и так по кругу спирали.

(Оффтоп)

Должен сказать, что в последнее время наблюдается, как мне кажется, чрезмерное увлечение увлечение концептуализмом, что приносит иногда славу глубокого мыслителя и практическое бесплодие. Если математик не созрел разрабатывать глубокие концепции, то вся его деятельность в этом направлении превращается в интеллектуальную мастурбацию.

Блог sowa мне указал мой младший сын несколько лет назад и мне кажется что там на самом деле вопрос не в концепциях развития математики, а некая вполне политическая разборка. Если T.G. на самом деле имеет такое огромное влияние, что левой рукой раздаёт Абелей, а правой Филдсов, то он должен быть остановлен не из-за его воззрений на математику, а из-за того, что это нездорово. Но, как сказал кто-то «Это пройдёт. И это тоже». В мире математики моды и короли сменяются очень быстро.

-- 09.10.2015, 14:26 --

g______d в сообщении #1060898 писал(а):

Я вижу торчащие зелёные уши тролля.

Цитата:

По рогам ушам ему, да промеж ему...

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1060903 писал(а):

Блог sowa мне указал мой младший сын несколько лет назад и мне кажется что там на самом деле вопрос не в концепциях развития математики, а некая вполне политическая разборка.

Ну всё равно, возвышенные слова почитать интересно, особенно сторонним читателям :-)
Попытаться понять, что такое hard и soft, понятия не имея о спектральных последовательностях Серра и теореме Атьи-Зингера об индексе :-)

-- 09.10.2015 21:31:29 --

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1060903 писал(а):

g______d в сообщении #1060898 писал(а):

Я вижу торчащие зелёные уши тролля.

Цитата:

По рогам ушам ему, да промеж ему...

Опасная цитата: помните ж, чем там дело кончилось?..

[Xaositect]

Olivka в сообщении #1060895 писал(а):

Xaositect в сообщении #1060872 писал(а):

Вообще, мне ближе взгляд, что "две культуры" все-таки составляют одну большую математику, и там же находится и большая часть Computer Science.

Согласитесь ли вы, что важно, чтобы такой взгляд не переносился на систему обучения?

Не согласен ни в коем случае. В идеале первые 2-2.5 курса должна быть общая программа, включающая в себя и основы алгебры, и основы геометрии, и основы диффуров, и основы функана, и основы статистики, и основы комбинаторики, и основы логики, и основы алгоритмики, и основы вычислений. А дальше должна быть года 4 постепенно увеличивающейся специализации, причем с большей, чем сейчас, возможностью выбора у студента.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1060907 писал(а):

Опасная цитата: помните ж, чем там дело кончилось?..

Да он уже и так ревёт по-медвежьему

[g______d]

По поводу двух культур я снова упомяну доказательство гипотез Вейля (оно у МВ в жж всякий раз возникает, как наглядный пример). Ну так вот, оно считается сферическим первокультурным результатом в вакууме. Но

1) Говорят, что когда Делинь их доказывал, он какой-то последний шаг сделал не в максимальной общности или как-то так; другими словами, торопился и доказал что-то "условно второкультурным" методом. Гротендик был недоволен.

2) Сам по себе результат имеет самое прямое отношение к "второкультурной" деятельности, связанной с подсчетом рациональных точек на кривых и поверхностях. Там бывают ситуации (опять же, по слухам; имен и явок не знаю), когда люди пишут по 10 статей, улучшая какие-то степени в оценках каждый раз на 1/100, а потом приходит какой-то "первокультурщик" и говорит, что из какой-то высоконаучной теоремы следует оценка на порядок лучше, причем сам аргумент концептуален, и занимает 5 страниц, а не 100.

Т. е. первая культура может сделать прорыв во второй культуре. А навыки из второй культуры, при прочих равных, могут помочь доказать "первокультурный" результат раньше, или быстрее догадаться до правильной формулировки гипотезы.

Короче говоря, споры про разделение культур относятся либо к спорам между студентами чисто для жж, либо к спорам вокруг престижных наград. А во всем, что посередине, единственный путь к успеху, — это уметь выбирать лучший на данный момент инструмент для решения задачи, будь этот инструмент из первой или из второй культуры.

А по поводу концептуализма — я лично признаю задачно-ориентированный концептуализм; если в рамках новой теории хотя бы одна существующая задача смотрится более естественно или решается более просто, то эта теория оправдывает свое существование. Правда, понятие "задача" достаточно широко, и задачей может быть, в частности, построение теории чего-то.

[ukb768]

Программа разумна, по крайней мере. Не идеальна, конечно, но лучше нынешней(поскольку я с ней знаком, ибо в ВШЭ не учусь).
Почитал тему, не понял недовольство по поводу отсутствия анализа в программе. Вот предлагаемая программа анализа для первого курса:

- Вещественные числа как пополнение рациональных. Предел последовательности, его свойства, лемма о двух милиционерах. Нотация Ландау. Фундаментальные
последовательности, критерий Коши, теорема Вейерштрасса об ограниченной монотонной последовательности. Число$e$.
- Пределы функции в точке, непрерывные функции, замечательные пределы, лемма Больцано-Вейерштрасса, теорема Больцано — Коши.
- Открытые и замкнутые множества в $\mathbb{R}$. Связность, компактность, их сохранение при непрерывных отображениях. Теорема Вейерштрасса о функции на компакте. Равномерная сходимость, равномерная непрерывность. $\sup$-норма на пространстве непрерывных ограниченны функций.
- Ряды, их сходимость. Теорема Лейбница о знакочередующихся рядах. Дискретное преобразование Абеля. Признаки Гаусса, Абеля и Дирихле.
- Признаки Даламбера и Коши. Степенные ряды, радиус сходимости. Функциональные ряды
и их сходимость.
- Дифференцируемые функции, теоремы Лагранжа и Ролля, основные свойства производной.
Правило Лопиталя. Дифференцирование функциональных рядов.
- Ряд Тейлора, аналитические функции, построение основных элементарных функций
- Интеграл Римана, интегрируемость непрерывных функций. Простейшие свойства интеграла, «табличные» интегралы. Теорема о среднем. Теорема Лебега. Замена переменной, интегрирование по частям. Несобственные интегралы и их признаки сходимости.
- Формула суммирования Абеля. Следствия: асимптотика гармонического ряда и константа Эйлера — Маскерони, ускорение сходимости ряда обратных квадратов (и вообще, обратных
степеней).
- Начала многомерного анализа: дифференциал, частные производные. Принцип сжимающих
отображений, теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции. Формула
Тейлора для функции многих переменных.
- Подмногообразия в $\mathbb{R}, векторные поля, касательное и кокасательное пространства.
- Многомерное дифференцирование (продолжение). Метод множителей Лагранжа. Леммa Морса, лемма Сарда.
- Лемма Адамара, дифференцирования гладких функций порождены частными производными. Однопараметрические группы диффеоморфизмов, их свзяь с дифференциальными уравнениями и векторными полями, теорема Пикара — Линделёфа. Простейшие примеры
дифференциальных уравнений.
- Многомерное интегрирование. Кратные и повторные интегралы, теорема Фубини. Объёмы, замена переменной, ориентация, площадь поверхности.

Вроде всё есть, ничего не забыли. И, конечно же, на факультете математики не должно быть физики и компьютерных наук в обязательной программе(в качестве спецкурсов/курсов по выбору, напротив, они обязательно должны быть). В России существуют такие направления, как прикладная математика и информатика, а также прикладная математика и физика. Там упор на компьютерные науки и физику, соответственно.

[Brukvalub]

ukb768 в сообщении #1061719 писал(а):

Почитал тему, не понял недовольство по поводу отсутствия анализа в программе. Вот предлагаемая программа анализа для первого курса:....Вроде всё есть, ничего не забыли.

Вроде, много чего забыли. Например, выхолощены числовые ряды, потеряны ряды Фурье и преобразование Фурье, потеряли равномерную сходимость и все, с ней связанное: перестановочность предельных переходов, функциональные ряды и интегралы с параметром, потеряли интегралы по многообразиям и формулу Стокса, элементы теории векторных полей и еще всякого-разного кучу...

[мат-ламер]

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):

Например, ... потеряны ряды Фурье и преобразование Фурье

Может это перенесено в курс функционального анализа.

-- Пн окт 12, 2015 22:42:42 --

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):

потеряли равномерную сходимость и все, с ней связанное: перестановочность предельных переходов, функциональные ряды и интегралы с параметром,

Эпсилон и дельту они изгнали из курса анализа. Может из-за этого? Хотя в топологии есть равномерные структуры.

[g______d]

В этом курсе, судя по программе, принципиально нету понятия гладкого многообразия. Очевидно, что про них будет отдельный курс, в который войдет теорема Стокса и прочие криволинейные интегралы. В длинном тексте несколькими страницами ранее это обсуждалось; и были довольно здравые мысли по поводу того, сколько времени нужно студентам на то, чтобы освоить понятие гладкого многообразия.

Ряды Фурье, действительно, лучше смотрятся в курсе функционального анализа, если он читается не позже второго курса; без теории меры все равно не построить пространство $L^2$, а без $L^2$-теории курс про ряды и интегралы Фурье будет состоять из костылей.

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):

выхолощены числовые ряды

Пункт 4.

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):

потеряли равномерную сходимость

Пункт 3.

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):

элементы теории векторных полей

Пункты 4 и 2 с конца.

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):

функциональные ряды

Пункты 5 и 6.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1061837 писал(а):

Пункт 4.

и прочие пункты под некими номерами я в упор не вижу в том сообщении о программе, сразу после которого я и оставлял комментарий. А самой программы я прочесть не смог, поскольку содержащий ее ресурс заблокирован Роскомнадзором, и доступа к этому ресурсу я не имею.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1061838 писал(а):

и прочие пункты под некими номерами я в упор не вижу в том сообщении о программе, сразу после которого я и оставлял комментарий.

Имеется в виду "4-й по порядку" и т. д. Вам их процитировать явно?

-- Пн, 12 окт 2015 12:58:32 --

Brukvalub в сообщении #1061838 писал(а):

А самой программы я прочесть не смог, поскольку содержащий ее ресурс заблокирован Роскомнадзором, и доступа к этому ресурсу я не имею.

А к чему тогда была эта цитата?

Brukvalub в сообщении #1046462 писал(а):

Программа напомнила мне анекдот про выставленный на ВДНХ новый советский самолет на 1000 пассажиров с бассейном, концертным залом и 3-мя ресторанами. На вопрос журналиста: "какие у самолета недостатки?" министр транспорта тяжело вздохнул и ответил: "недостатков у самолета нет, но одно печалит: второй год никто из летчиков не может поднять его в воздух...".

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1061837 писал(а):

без теории меры все равно не построить пространство $L^2$, а без $L^2$-теории курс про ряды и интегралы Фурье будет состоять из костылей.

Через пополнение. Это будет, разумеется, непоноценная теория. но тем не менее вполне строгое определение.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1061842 писал(а):

Через пополнение. Это будет, разумеется, непоноценная теория. но тем не менее вполне строгое определение.

Это я, в частности, имел в виду под словом "костыль". Но, формально говоря, да, можно обойтись интегралом Римана и говорить об $L^2$ как об абстрактном пополнении. Не знаю, насколько это будет понятнее; например, каждый раз говорить о выборе представителя... брр.

С другой стороны, элементы $L^2$ тоже не функции, а классы эквивалентности, но тут хотя бы эту эквивалентность можно потрогать руками.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1061837 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1061749

писал(а):
выхолощены числовые ряды

Пункт 4.

ukb768 в сообщении #1061719 писал(а):

- Ряды, их сходимость. Теорема Лейбница о знакочередующихся рядах. Дискретное преобразование Абеля. Признаки Гаусса, Абеля и Дирихле.
- Признаки Даламбера и Коши. Степенные ряды, радиус сходимости. Функциональные ряды
и их сходимость.

Наблюдается странный порядок: признаки Даламбера и Коши идут после признаков Гаусса, Абеля и Дирихле. Где т. Римана об условно сходящихся рядах, теоремы об умножении рядов, о перестановочности абсолютно сходящихся рядов, где признак Гаусса, где бесконечные произведения и еще много чего полезного?

g______d в сообщении #1061837 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1061749

писал(а):
потеряли равномерную сходимость

Пункт 3.

ukb768 в сообщении #1061719 писал(а):

- Открытые и замкнутые множества в $\mathbb{R}$. Связность, компактность, их сохранение при непрерывных отображениях. Теорема Вейерштрасса о функции на компакте. Равномерная сходимость, равномерная непрерывность. $\sup$-норма на пространстве непрерывных ограниченны функций.

Я вел речь не об определении равномерной сходимости, а о всем комплексе теорем и методов, для которого эта равномерная сходимость достаточна, что ясно видно, если прочесть и процитировать мой комментарий полностью. Кстати, если уж на то пошло, то есть необходимое и достаточное условие коммутирования двух предельных переходов по базам, в котором равномерная сходимость прямо не используется, но весь комплекс теорем остается справедливым.

g______d в сообщении #1061837 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1061749

писал(а):
элементы теории векторных полей

Пункты 4 и 2 с конца.

Это даже не смешно... Где же все роторы, дивергенции и потоки, связи между ними, разные там формулы Грина? Я вижу только жалкие "Однопараметрические группы диффеоморфизмов, их свзяь с дифференциальными уравнениями и векторными полями, теорема Пикара — Линделёфа. Простейшие примеры
дифференциальных уравнений." и " Подмногообразия в $\mathbb{R}, векторные поля, касательное и кокасательное пространства.", что на "элементы теории поля" совсем не тянет.

g______d в сообщении #1061837 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1061749

писал(а):
функциональные ряды

Пункты 5 и 6.

ukb768 в сообщении #1061719 писал(а):

- Признаки Даламбера и Коши. Степенные ряды, радиус сходимости. Функциональные ряды
и их сходимость.
- Дифференцируемые функции, теоремы Лагранжа и Ролля, основные свойства производной.
Правило Лопиталя. Дифференцирование функциональных рядов.

Где же здесь т. о непрерывности и о пределе суммы функционального ряда, т. о почленном интегрировании и т.п.? Какие-то огрызки...

g______d в сообщении #1061841 писал(а):

А к чему тогда была эта цитата?

Brukvalub в сообщении #1046462

писал(а):
Программа напомнила мне анекдот про выставленный на ВДНХ новый советский самолет на 1000 пассажиров с бассейном, концертным залом и 3-мя ресторанами. На вопрос журналиста: "какие у самолета недостатки?" министр транспорта тяжело вздохнул и ответил: "недостатков у самолета нет, но одно печалит: второй год никто из летчиков не может поднять его в воздух...".

Запямятовал, программу-то я прочел, а вот "ответную реакцию" уже не смог, чему еще тогда возмущался.

-- Пн окт 12, 2015 23:41:06 --

g______d в сообщении #1061837 писал(а):

Ряды Фурье, действительно, лучше смотрятся в курсе функционального анализа, если он читается не позже второго курса

"А мужики-то не знают! "На мехмате МГУ ряды Фурье всегда читаются в курсе мат. анализа, и ничего, как-то справляются...

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1061849 писал(а):

"А мужики-то не знают! "На мехмате МГУ ряды Фурье всегда читаются в курсе мат. анализа, и ничего, как-то справляются...

Да, можно рассказать про сходимость (и формулы обращения) для достаточно хороших функций, условия Дини и т. п. Но этому место не в основном курсе лекций, а в примерах/практике; еще раз, я не вижу способа рассказать полноценную теорию рядов и преобразования Фурье без пространства $L^2$.

Brukvalub в сообщении #1061849 писал(а):

Это даже не смешно... Где же все роторы, дивергенции и потоки, связи между ними, разные там формулы Грина?

Там же, где формула Стокса. Гладкие многообразия и векторный анализ вынесены в отдельный курс, очевидно же.

Brukvalub в сообщении #1061849 писал(а):

Наблюдается странный порядок: признаки Даламбера и Коши идут после признаков Гаусса, Абеля и Дирихле. Где т. Римана об условно сходящихся рядах, теоремы об умножении рядов, о перестановочности абсолютно сходящихся рядов, где признак Гаусса, где бесконечные произведения и еще много чего полезного?

Что означает ваш вопрос "где признак Гаусса?"

По поводу признаков Даламбера и Коши — это признаки сходимости степенных рядов; как раз логичнее их поставить после признаков сходимости общих рядов.

Brukvalub в сообщении #1061849 писал(а):

Я вел речь не об определении равномерной сходимости, а о всем комплексе теорем и методов, для которого эта равномерная сходимость достаточна, что ясно видно, если прочесть и процитировать мой комментарий полностью. Кстати, если уж на то пошло, то есть необходимое и достаточное условие коммутирования двух предельных переходов по базам, в котором равномерная сходимость прямо не используется, но весь комплекс теорем остается справедливым.

Мне не очевидно, в какой общности нужны эти условия перестановки пределов в базовом курсе анализа. Кроме того, это вопрос степени подробности, в какой написана программа.