2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 13  След.
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение20.04.2015, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Skeptic в сообщении #1005787 писал(а):
Munin, чтобы пояснить, мне нужно понять, почему для вас моё утверждение неверно.

Я отмечаю на плоскости три вершины треугольника $A,B,C.$ Провожу через них, как вы сказали, три прямые: $AB,BC,CA.$ Ищу точки пересечения (предполагая, что $A,B,C$ не лежат все на одной прямой):
$AB\cap BC=\{B\}$
$BC\cap CA=\{C\}$
$CA\cap AB=\{A\}$
$AB\cap BC\cap CA=\varnothing.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение22.04.2015, 09:20 


01/12/11

1047
Munin, вы правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение22.04.2015, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Skeptic в сообщении #1006688 писал(а):
Munin, вы правы.

В чем прав Munin? В том, что Skeptic все время лезет в темы, где ничего не понимает, и смешит всех своими глупостями? Да, в этом Munin, безусловно прав. :D Одно непонятно, зачем
Skeptic лезет не в свое дело, пытаясь учить тому, в чем сам не разбирается? Ведь те, кто спрашивают, принимают "пургу" Skepticа всерьез, и это мешает им получить достоверную информацию... :evil:

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение22.04.2015, 16:26 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
svv
Действительно, Ваши условия проще. Я немного соврал: во-первых, у меня получалась система не квадратных, а четверостепенных уравнений. Во-вторых, их не три, а два. Но покамест сижу с ними. Думаю, может, как-то еще упростить можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение22.04.2015, 22:58 


06/12/14
510
У меня все сводится к поиску значений параметра $s$, удовлетворяющих неравенству
$$ \frac{F_1(s;v_1,a,b)}{F_2(s;v_1,a,b)} \le v_1^2+v_2^2,$$
где $F_1,F_2$ - многочлены 4-ой степени от $s$; точки $a\in l_1,b \in l_2$ зафиксированы, а $v_1,v_2$-постоянные. Если для любых $v_1,v_2, v_2 \ne 0$ существует $s=s(v_1,v_2)$, удовлетворяющее неравенству, то ответ на поставленный вопрос положительный. Значение $s$, при котором нер-во превращается в равенство, является решением задачи, т.е. дает треугольник с вершинами на заданных прямых. Как видно, чтобы найти это значение, надо найти корни многочлена четвертой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение23.04.2015, 23:36 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Пусть выполнены условия: 1. Угол между прямыми $l_1$ и $l_2$ меньше $\frac {\pi }3$; 2. На прямой $l_3$ существует точка равноудаленная от $l_1$ и $l_2$. В этом случае всегда можно получить правильный треугольник. Так как задача сводится к решению всего лишь квадратного уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение24.04.2015, 13:54 


17/09/10
94
mihiv в сообщении #1007366 писал(а):
Пусть выполнены условия: 1. Угол между прямыми $l_1$ и $l_2$ меньше $\frac {\pi }3$; 2. На прямой $l_3$ существует точка равноудаленная от $l_1$ и $l_2$. В этом случае всегда можно получить правильный треугольник. Так как задача сводится к решению всего лишь квадратного уравнения.

Поясните, пожалуйста, зачем нужна точка, равноудаленная от двух прямых и ограничения на угол? Существуют ли такие прямые, для которых эти условия не выполняются? И как при этих условиях получается Ваше квадратное уравнение?

Говоря вообще, я буду очень рад, если мы все-таки построим правильный треугольник без каких-либо ограничений :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение24.04.2015, 17:13 


06/12/14
510
Судя по реакции участников, элегантного решения пока нет и в скором времени не предвидится. А чем так плохо уравнение 4-ой степени? Ведь есть аналитические методы решения таких уравнений. Если ограничиться правильным треугольником, то коэффициенты уравнения даже немножко упростятся. Хочу выписать то, что получилось у меня.

Есть скрещивающиеся прямые $l_1,l_2,l_3$. Вводим ортогональную систему координат $Ox_1x_2x_3$, в которой ось $Ox_3$ совпадает с $l_3$. Ось $Ox_1$ направляем перпендикулярно прямой $l_1$. Орты полученной системы координат обозначим через $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$. Пусть

$l_1: \vec{r}(s)=c_1\vec{e}_3 + \vec{\delta^1} + s\vec{\tau^1}, $
$l_2: \vec{l}(t)=c_2\vec{e}_3 + \vec{\delta^2} + t\vec{\tau^2}, $

где $$\vec{\delta^1}  \perp \vec{e}_3, \vec{\delta^2} \perp \vec{e}_3, \vec{\tau^1} \ne \vec{\tau^2}, \vec{\delta^1} \perp \vec{\tau^1},\vec{\delta^1} \perp \vec{\tau^1}.$$ Начало системы координат выбираем так, чтобы $c_1=0$. Точка $a=\vec{\delta^1}, a\in l_1$ - ближайшая к $l_3$, и в выбранной системе координат $a=(\delta,0,0)$. Нам нужен правильный треугольник. Допустим, одна из его вершин находится в точке $a$, а другая в точке $l=\vec{l}(t)$. Через точку $q=(a+l)/2$ проводим плоскость
$$\pi:= \{x|(x-q,q-a)=0\},$$ где $x=(x_1,x_2,x_3)$. Плоскость $\pi$ перпендикулярна отрезку $la$. Прямая $l_3$ пересекает плоскость $\pi$ при любых значениях $t$ (если и существует плохое $t$, то оно единственно). Обозначим $p=\pi \cap \l_3$. Находим, что $p=(0,0,p_3)$, где $$p_3=\frac{(q,q-a)}{q_3}$$ Треугольник $alp$ равносторонний, если $|p-q|=\sqrt{3}|l-a|/2$. Несложно показать, что этому условию отвечает уравнение относительно неизвестного $t$
$$[(l,l)-(a,a)]^2-4l_3^2[(l,l)-2(l,a)]=0,$$ где слева многочлен 4-ой степени. Если прямые $l_1,l_2,l_3$ еще и взаимно перпендикулярны, то это уравнение становится би-квадратным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение24.04.2015, 17:17 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
mihatel в сообщении #1007530 писал(а):
Поясните, пожалуйста, зачем нужна точка, равноудаленная от двух прямых и ограничения на угол?

Исключительно для того, чтобы упростить задачу, сведя ее к решению квадратного уравнения, в то же время это достаточно общий случай расположения прямых. Привожу решение.
Поместим начало координат в точку $A$ на прямой $l_3$, удовлетворяющую условию 2. Проведем из точки $A$ векторы $ \vec d_1$ и $\vec d_2$ до ближайших к ней точек на прямых $l_1$ и $l_2$. Из условия 2. следует, что $|\vec d_1|=|\vec d_2|=d$. При таком выборе начала координат уравнения прямых $l_1$ и $l_2$ имеют вид:$$\begin {cases}l_1:\vec r_1=\vec d_1+\vec n_1t_1\\l_2:\vec r_2=\vec d_2+\vec n_2t_2\end {cases}$$Здесь $\vec n_1,\vec n_2$- единичные векторы, направленные вдоль прямых $l_1,l_2$. Параметры $t_1,t_2\in (-\infty ,\infty )$.Очевидно $\vec d_1\vec n_1=\vec d_2\vec n_2=0$. Покажем, что можно получить равносторонний треугольник, одной из вершин которого будет точка $A$.
Для этого должны выполняться следующие условия:$$\vec r_1^2=\vec r_2^2 \text {или} d^2+t_1^2=d^2+t_2^2\qquad (1)$$А также $$\dfrac {\vec r_1\vec r_2}{|\vec r_1||\vec r_2|}=\cos \frac{\pi }3=\frac 12 \text {или} 2(\vec d_1\vec d_2+\vec n_1\vec d_2t_1+\vec n_2\vec d_1t_2+\vec n_1\vec n_2t_1t_2)=\sqrt {(d^2+t_1^2)(d^2+t_2^2)}\qquad (2)$$Из (1) находим $t_2=\pm t_1$.Подставляя в (2) получим квадратное уравнение$$(\pm 2\vec n_1\vec n_2-1)t_1^2+2(\vec n_1\vec d_2\pm \vec n_2\vec d_1)t_1+2\vec d_1\vec d_2-d^2=0\qquad (3)$$Уравнение (3) всегда имеет действительные решения, для этого нужно выбрать знак в скобках перед $t_1^2$ противоположным знаку свободного члена, в силу условия 1. дискриминант уравнения при этом будет положительным.
В связи с этим решением можно отметить два момента: 1) Его можно обобщить на произвольные треугольники при наложении условий подобных условиям 1.,2. и 2) Пусть даны 3 скрещивающиеся прямые. Можно ли утверждать, что хотя бы на одной прямой найдется точка равноудаленная от остальных прямых? При положительном ответе можно было бы избавиться от условия 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение24.04.2015, 20:19 


17/09/10
94
unistudent в сообщении #1007583 писал(а):
А чем так плохо уравнение 4-ой степени?

Хотелось бы получить качественное решение задачи: да или нет. И когда да, а когда нет. Я же не собираюсь строить эти треугольники в большом количестве :)

-- Пт апр 24, 2015 21:40:51 --

mihiv в сообщении #1007585 писал(а):
в то же время это достаточно общий случай расположения прямых. ...
и 2) Пусть даны 3 скрещивающиеся прямые. Можно ли утверждать, что хотя бы на одной прямой найдется точка равноудаленная от остальных прямых?


Вот относительно общности для меня совсем не очевидно! В чем эта общность случая состоит, как ее можно почувствовать?

Можно ли утверждать? Мне так кажется, нахождение этой точки уже задача сама по себе нетривиальная. Во всяком случае, я не представляю, как можно без анализа систем уравнений понять, есть такая точка или нет. А хотелось бы именно этого!

А, как частный случай, решение, на мой взгляд, вполне удовлетворительное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение24.04.2015, 21:44 


06/12/14
510
mihatel в сообщении #1007649 писал(а):
Хотелось бы получить качественное решение задачи: да или нет. И когда да, а когда нет.

Конечно, вам виднее. Но помоему, ур-е 4-ой степени совсем не плохо для качественного анализа задачи. Например, мое уравнение является квадратным относительно $(l,l)$ с дискриминантом $$D=\delta^2+l_3^2 - 2\delta l_1,$$ где $l_j=(l,e_j)$. Поэтому, если $l_1=l_3$, то исходное уравнение равносильно паре квадратных уравнений относительно $t$. В общем же случае должны существовать такие значения $t$, при которых выполняется условие $Q(t) \le 0$, где $Q$-многочлен 4-ой степени. То есть, надо решать задачу $Q'= 0$. В общем, простора для анализа хоть отбавляй…

(Оффтоп)

Любопытно, что скажет Brukvalub

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение25.04.2015, 02:05 


06/12/14
510

(Оффтоп)

Подвох, кажется, понял :D

Как и выше $Ox_1x_2x_3$ - ортонормальная система координат; ось $x_3$ совпадает с прямой $l_3$; $e_1,e_2,e_3$ - орты. Ищем правильный треугольник, одна из вершин находится в $O$, а две другие в точках $a,b$, $a \in l_1, b \in l_2$. Чтобы треугольник $aOb$ был правильным, должны выполняться следующие условия: $$|a|=|b|=|b-a|,$$ что равносильно системе уравнений $$\begin{cases}(a,a)-(b,b)=0,\\(b,b)-2(a,b)=0.\end{cases}$$ Пусть$$a=a(t)=A_3\vec{e_3}+A_2\vec{v}+t\vec{\tau},$$где $\vec{v} \perp \vec{e_3}, \vec{v} \perp \vec{\tau}$, векторы $\vec{v}, \vec{\tau}$ единичные. Аналогично для точки $b$, $$b=b(s)=B_3\vec{e_3}+B_2\vec{g}+s\vec{\kappa},$$где $\vec{g} \perp \vec{e_3}, \vec{g} \perp \vec{\kappa}$. Тогда, например, $$(a,a)=A_2^2+A_3^2+2tA_3\tau_3+t^2$$ и так далее. В общем, получаются две кривые второго порядка в плоскости $(t,s)$. Выбор начала координат, т.е. точки $O$ полностью определяется одним из чисел $B_3,A_3$. Числа $A_2, B_2$- расстояния между прямыми и поэтому постоянны. То же касается векторов $v,g,\tau,\kappa$. Понятно, что аналогичным образом задачу можно решить для любого треугольника, подобного наперед заданному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение25.04.2015, 08:34 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
mihatel в сообщении #1007649 писал(а):
Можно ли утверждать? Мне так кажется, нахождение этой точки уже задача сама по себе нетривиальная. Во всяком случае, я не представляю, как можно без анализа систем уравнений понять, есть такая точка или нет. А хотелось бы именно этого!

Мне кажется, что для доказательства существования точки, равноудаленной от двух прямых и лежащей на третьей, можно применить метод, предложенный INGELRII здесь, то есть окружить пару прямых цилиндрами одинаковых радиусов и постепенно увеличивать их радиусы. Поверхности цилиндров будут пересекаться по некоторой замкнутой кривой. Третья прямая в процессе неограниченного раздувания цилиндров в конце концов окажется внутри этой замкнутой кривой. Отсюда по непрерывности можно заключить, что в какой-то момент третья прямая имеет общую точку с этой замкнутой кривой. Т.е. похоже существование таких равноудаленных точек скорее правило, чем исключение.

mihatel в сообщении #1007649 писал(а):
Вот относительно общности для меня совсем не очевидно! В чем эта общность случая состоит, как ее можно почувствовать?

Я имел в виду, что если случайным образом выбирать параметры, определяющие взаимное положение прямых, то вероятность выполнения условий 1.,2. не равна 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение25.04.2015, 12:08 


01/12/11

1047
Проведём через произвольные точки на двух прямых прямую, перекрещивающуюся с третьей прямой. Возьмём на первых двух прямых соседние точки, равно отстоящие от исходных. Проведём через них прямую. Поступая так в обе стороны от исходных точек, получим некую поверхность (винтовую), состоящую из прямых, пересекающихся с первыми двумя прямыми. Построенная поверхность обязательно пересечётся с третьей прямой. Таким образом, три прямые общего положения можно соединить прямой.
Соединив концы этой прямой отрезком, получим треугольник с углом вершины равным $180^o$. Зафиксировав эту вершину, и передвигая остальные вершины треугольника по прямым, можем построить любой заданный угол. Передвигая остальные две вершины относительно друг друга, можно построить треугольник с заданными углами.
Надо как-то учесть взаимное влияние углов при перемещении вершин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение25.04.2015, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Последним сообщением Skeptic существенно обогатил геометрию! :D
Skeptic в сообщении #1007800 писал(а):
Проведём через произвольные точки на двух прямых прямую, перекрещивающуюся с третьей прямой. Возьмём на первых двух прямых соседние точки, равно отстоящие от исходных. Проведём через них прямую. Поступая так в обе стороны от исходных точек, получим некую поверхность (винтовую), состоящую из прямых, пересекающихся с первыми двумя прямыми. Построенная поверхность обязательно пересечётся с третьей прямой. Таким образом, три прямые общего положения можно соединить прямой.

Ну и бред! "Соседних точек" не бывает, никакой поверхности так не получить.
Skeptic в сообщении #1007800 писал(а):
Соединив концы этой прямой отрезком
Skeptic первый в мире, кому удалось найти концы у прямой! :D
Skeptic в сообщении #1007800 писал(а):
получим треугольник с углом вершины равным $180^o$
Тем самым , Skeptic первым получил в Евклидовой геометрии треугольник с развернутым углом при вершине!
Skeptic в сообщении #1007800 писал(а):
Передвигая остальные две вершины относительно друг друга, можно построить треугольник с заданными углами.
Болтать - не мешки ворочать теоремы доказывать. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 187 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 13  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group