Нерешенные задачи математики

[maximk]

Решением каких задач вы сейчас занимаетесь? Чем они вас привлекают? Что следует из их решения?
Хотелось бы по-настоящему заинтересоваться какой-нибудь проблематикой, чтобы была мотивация для исследования.
Понимаю, что очень во многих разделах математики есть множество интереснейших задач, но пока еще в поиске.

[Oleg Zubelevich]

Интересно, как Вы это себе представляете. Вот тут сейчас какой-нибудь алгеброид выскажется, за ним общий тополог, а потом специалист по УРЧП. Есть такая детская игра, когда один рисует половину животного, и перегибает листок, потом другой продолжает, не зная, что нарисовал первый и т.д. А потом все ржут над тем, что получилось.

-- Вс июл 12, 2015 22:49:31 --

меня, скажем, давно интересует такой вопрос. http://www.ams.org/journals/tran/2000-3 ... 2528-3.pdf
Как построить параллельную теорию для нелипшицева случая. Подобно тому как в ОДУ есть теорема Коши и теорема Пеано.

(Оффтоп)

Сейчас сюда набежит куча народу, сообщать, что в бесконечномерном банаховом пространстве теорема Пеано неверна

[zcorvid]

maximk в сообщении #1036054 писал(а):

Решением каких задач вы сейчас занимаетесь? Чем они вас привлекают? Что следует из их решения?
Хотелось бы по-настоящему заинтересоваться какой-нибудь проблематикой, чтобы была мотивация для исследования.
Понимаю, что очень во многих разделах математики есть множество интереснейших задач, но пока еще в поиске.

Уверен, многие из посетителей этого форума можгут предложить вам хороший список прекрасных и, главное, важных задач. Причём сложность будет варьироваться от просто сложных идейных задач до полноценных исследований. Поэтому хорошо бы вам рассказать немного о себе, а именно - какова ваша подготовка (в плане сложности, школьное, высшее, высшее математическое), какие области вас интересуют (не каждого привлекает, к примеру, абстрактная алгебра), и главное - чего вы хотите, просто порешать сложные интересные задачи, или же вы таких уже нарешались и вам хочется исследовательского. Правда, исследованиями заниматься, не имея за спиной огромного количества решённых идейных задач, очень сложно (скорее всего это просто убьёт интерес), а если вы уже нарешали много задач, то скорее всего уже и сами понимаете, что взять для исследования. Если вы не очень представляете, чем можно позаниматься, лучше пока порешать интересные задачи, а не браться сразу за теорему Ферма

[maximk]

zcorvid, сложные интересные задачи надоели, хочу исследовательских, таких, чтобы при ее решении повилось ощущиние, будто стал монахом-мудрецом-философом-гуру.
Интересуют любые области математики.
topic97066.html?hilit=образное%20мышление
Здесь маленько обо мне. Перешел на 4 курс матфака КемГУ, планирую поступать в аспирантуру. Каждый день метаюсь в разные области математики, сложно свделать выбор. Сейчас почитываю книгу Спеньера "Алгебраическая тополоигя". Меня притягивают лекции Романа Михайлова (может слышали о таком), он гомотопист, но пока что воспринимать его речь крайне сложно, многие факты и термины, которыми он свободно владеет, встречаются впервые. В таком случае чтобы разобраться, приходится делать паузу и искать информацию в других источниках (чего я пока не делал, просто смотрел его ролики, схватывал отдельные идеи, но собариюсь в дальнейшем основательно разобраться в том, о чем он повествует, если не займусь исследованиями в других областях). Иногда занимаюсь вопросами иррациональности (пока решал элементарные задачи), распределением простых чисел, диофантовыми множествами.
Oleg Zubelevich, сколько раз пытался заинтересоваться "дифурками" так, чтобы в итоге не бросать, не получается. Во всем этом (то, чем вы интересуетесь) несомненно есть красота и некая изюминка, но, увы, меня уводит в сторону что-то более абстрактное (типа теории категорий). А что вас конкретно притягивает в этой задаче, Oleg Zubelevich? Почему именно эта задача, что вами движет? Что даёт ее решение?
У самого предрасположенность к аналитическим задачам, но притягивает алгебра с ее пёстрым мирком.

[AV_77]

Что может быть проще: http://www.math.nsc.ru/~alglog/18kt.pdf Выбирате и решайте на здоровье.

[kp9r4d]

А я вот бы хотел, чтобы люди серьезно к теме отнеслись, всё-таки о том, чем вот прямо сейчас заняты работающие математики, и почему заняты этим, а не другим - ни в каких учебниках не прочитаешь.

[Anton_Peplov]

AV_77
Ай, какая красота! А по другим разделам математики что-нибудь похожее на Коуровскую тетрадь существует? Проблем Гильберта и прочих "проблем тысячелетия" касаться не будем, их мало, они всем известны и практически никому не по зубам.

[AV_77]

Anton_Peplov
Есть еще Днестровская тетрадь http://math.nsc.ru/LBRT/a1/files/dnestr93.pdf по теории колец. Не знаю издается ли она в настоящее время. Каких-то других аналогов не видел, хотя, наверное, они есть.

[kp9r4d]

Есть ещё Улам. "Нерешенные математические задачи", не знаю насколько актуально

[Anton_Peplov]

Вики говорит, что есть еще Свердловская тетрадь по теории полугрупп. И вообще там в статье "Открытые математические проблемы" довольно приличный список.

Неизвестно даже, какие цифры встречаются в числе $\pi$ бесконечное число раз. О как.

Неизвестно, рационально ли число $\pi + e$ (а также еще куча других чисел, которые можно составить из этих двух вместе и по отдельности, например, $e^e$).

[Munin]

maximk в сообщении #1036725 писал(а):

zcorvid, сложные интересные задачи надоели, хочу исследовательских

Исследовательские ещё сложнее.

maximk в сообщении #1036725 писал(а):

таких, чтобы при ее решении повилось ощущиние, будто стал монахом-мудрецом-философом-гуру.

Вас обманули. Такого ощущения не будет.

[amon]

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1036725 писал(а):

хочу исследовательских, таких, чтобы при ее решении появилось ощущение, будто стал монахом-мудрецом-философом-гуру.

Мой скромный опыт говорит, что хоть какой толк получается от задач, при решении которых чувствуешь себя полным идиотом.

[Nataly-Mak]

maximk в сообщении #1036054 писал(а):

Хотелось бы по-настоящему заинтересоваться какой-нибудь проблематикой, чтобы была мотивация для исследования.

У меня почему-то такое ощущение, что я это уже видела на этом форуме не один раз

Есть такой форум - AoPS. Посетите, если есть желание. Там много разных проблем.
Кстати, только что запостила там одну проблему
http://www.artofproblemsolving.com/comm ... ng_project

Ну, вот этой проблемой занимаюсь в числе других проблем. Чем привлекает? Хотя бы тем, что она пересекается с исследованиями по магическим квадратам.

ИМХО, в таком вопросе советы не помогут. Человек сам находит интересные ему проблемы.

P.S. Эта же проблема на данном форуме
topic93581.html

[zcorvid]

maximk в сообщении #1036725 писал(а):

zcorvid, сложные интересные задачи надоели, хочу исследовательских, таких, чтобы при ее решении повилось ощущиние, будто стал монахом-мудрецом-философом-гуру.
Интересуют любые области математики.
topic97066.html?hilit=образное%20мышление
Здесь маленько обо мне. Перешел на 4 курс матфака КемГУ, планирую поступать в аспирантуру. Каждый день метаюсь в разные области математики, сложно свделать выбор. Сейчас почитываю книгу Спеньера "Алгебраическая тополоигя". Меня притягивают лекции Романа Михайлова (может слышали о таком), он гомотопист, но пока что воспринимать его речь крайне сложно, многие факты и термины, которыми он свободно владеет, встречаются впервые. В таком случае чтобы разобраться, приходится делать паузу и искать информацию в других источниках (чего я пока не делал, просто смотрел его ролики, схватывал отдельные идеи, но собариюсь в дальнейшем основательно разобраться в том, о чем он повествует, если не займусь исследованиями в других областях). Иногда занимаюсь вопросами иррациональности (пока решал элементарные задачи), распределением простых чисел, диофантовыми множествами.
Oleg Zubelevich, сколько раз пытался заинтересоваться "дифурками" так, чтобы в итоге не бросать, не получается. Во всем этом (то, чем вы интересуетесь) несомненно есть красота и некая изюминка, но, увы, меня уводит в сторону что-то более абстрактное (типа теории категорий). А что вас конкретно притягивает в этой задаче, Oleg Zubelevich? Почему именно эта задача, что вами движет? Что даёт ее решение?
У самого предрасположенность к аналитическим задачам, но притягивает алгебра с ее пёстрым мирком.

Уверены ли вы, что в состоянии решить более менее любую сложную но решённую задачу (конечно, умеренной сложности) ? Если нет, то вам попросту не хватит знаний для исследовательской деятельности, вы будете тратить всё время на изучение дополнительных теорий, пытаясь в спешке залатать дыры.

Вот, к примеру, вы сказали, что читаете книгу по алгебраической топологии. Сможете ли вы сходу решить следующие задачи (как всегда, если написано утверждение, его нужно доказать, список и близко не претендует на полноту, это просто простые вопросы, которые могут помочь проверить свои начальные знания в этой области):

Накрытия.
1) Любое двулистное накрытие регулярно
2) Привести пример трёхлистного нерегулярного накрытия (обязательно доказать нерегулярность!)
3) Как вообще можно узнавать, регулярно накрытие или нет ?
4) Что представляет собой фактор фундаментальной группы базы по группе накрытия для регулярного накрытия ? Дать как можно более "естественную" трактовку этого объекта
5) Как меняются гомотопические группы при накрытии ?

Когомологии
1) Найти кольцо когомологий тора $S^1 \times \dots S^1$. Найти кольцо когомологий произведения многообразий $A \times B$
2) (задача посложнее) Найти кольцо когомологий грассманиана $G(k, n)$

Потом может ещё что-нибудь напишу. Конечно, для полноты тут не хватает очень многого, характеристических классов, расслоений, спектральных последовательностей, $K$-теории, препятствий... Но если эти задачи окажутся слишком сложны, то об исследованиях (в алгебраической топологии) говорить рановато...

PS. Конечно, я мог бы и выдать список проблем алгебраической топологии, возможно вы этого и ждёте, но не вижу в этом особого смысла. Чтобы понять формулировку тех из них, которые не изложены на сайтах типа Википедии, нужно хорошо владеть теорией, а я не знаю, какая у вас подготовку в специальных областях.

-- 14.07.2015, 09:53 --

Добавление.

Подобный список задач может быть сформулирован в каждой области, алгебраическую топологию я взял лишь потому, что она была упомянута в первом сообщении. С удовольствием прочитал бы что-то подобное от других участников форума, кто какие задачи считает начальными в той или иной части математики.

[scwec]

У покойного ныне Е.Г. Скляренко (известного, во всяком случае, топологам) была маленькая записная книжка, которую он никому не показывал.
Мой приятель, его аспирант, нечаянно пролистал её, оставленную без присмотра на столе. В ней был перечень задач, видимо, интересующих хозяина книжки.
Такой перечень, наверное, есть у каждого. Да не каждый о нем, по разным причинам, расскажет.