Статистическая физика: смысл теоремы Лиувилля

[Anton_Peplov]

amon в сообщении #1035820 писал(а):

Рассмотрим область с $N$ песчинками. Тогда в области, в которую эта область перейдет, будет тоже $N$ песчинок.

Здесь непонятно, что значит "область перейдет". Песчинки текут куда-то в фазовом пространстве. Мы можем взять $N$ песчинок в момент $t_0$ и посмотреть, где они будут в момент $t$. Это я понимаю. Ну так если мы следим за $N$ песчинками, их и будет в любой момент времени $N$.

-- 11.07.2015, 19:11 --

Blancke_K в сообщении #1035830 писал(а):

По поводу пункта 1: а что изменится, если эта Ваша клякса будет большая?

Если область будет большая, в разных частях области может быть разная плотность. И вообще мне как-то странно, что мы сформулировали уравнение, выполняющееся в фиксированной точке фазового пространства, а говорим о перемещении каких-то объемных клякс.

[amon]

Anton_Peplov в сообщении #1035824 писал(а):

Это я правильно понимаю или нет?

Да! Более того, можно считать кляксу не малой, и $\rho$ разной. Тогда $\rho$ в соответствующих точках образа и прообраза будет одинаковым. Важно, что все это верно только для замкнутых систем, т.е. в аргументах $\rho(q_1,p_1,\dots,q_N,p_N)$ есть все степени свободы.

Anton_Peplov в сообщении #1035831 писал(а):

Здесь непонятно, что значит "область перейдет".

Отметим границу области песчинками. Они дадут замкнутый контур. Этот контур перейдет в другой, тоже замкнутый контур, и наши $N$ песчинок будут внутри него.

[Anton_Peplov]

Уфф. Кажется, понял, что имелось в виду. amon отдельное спасибо.

Правда, я понял смысл данного уравнения, но не понял, как он вытекает из вида данного уравнения. Но это уже мои хронические проблемы с пониманием смысла дифференциальных операторов для функций многих переменных.

[Blancke_K]

Anton_Peplov в сообщении #1035831 писал(а):

Blancke_K в сообщении #1035830 писал(а):

По поводу пункта 1: а что изменится, если эта Ваша клякса будет большая?

Если область будет большая, в разных частях области может быть разная плотность. И вообще мне как-то странно, что мы сформулировали уравнение, выполняющееся в фиксированной точке фазового пространства, а говорим о перемещении каких-то объемных клякс.

А что с того, что она будет различной внутри кляксы? Что изменится в теореме Лиувилля?

[Oleg Zubelevich]

Зададим в момент времени $t=0$ какое-нибудь распределение вероятностей на фазовом пространстве с плотностью $\rho_0(x)$. По определению, это значит ,что частица в начальный момент времени находитсся в области $D$ с вероятностью $\int_D\rho_0(x)dx_1\ldots dx_n$.

Тогда в момент времени $t$ она будет находиться в области $Q$ с вероятностью $\int_Q\rho(t,x)dx_1\ldots dx_n$, где $\rho(t,x)$ -- решение задачи Коши

$$\rho(0,x)=\rho_0(x),\quad \rho_t+\mathrm{div}_x(\rho v)=0.$$

[Anton_Peplov]

Да, вот это мое утверждение

Anton_Peplov в сообщении #1035795 писал(а):

в [каждую фиксированную] точку втекает столько же систем, сколько вытекает

похоже, означает равенство нулю частной производной от плотности по времени, а не полной. Правильно я говорю?

[Oleg Zubelevich]

я не знаю, как система может куда-то втекать. про функцию $\rho(t,x)$ еще можно думать как про плотность жидкости, которая течет и у которой поле скоростей $v(t,x)$

-- Вс июл 12, 2015 13:57:27 --

в гамильтоновой системе функция $\rho$ это еще и первый интеграл -- она постоянна на решениях системы

[Anton_Peplov]

В данном контексте слово "система" означало молекулу жидкости, песчинку или из чего там у нас состоит поток. Это терминология Киттеля: ансамбль состоит из систем, распределенных по фазовому пространству с плотностью $\rho(q, p, t)$. Кажется, это не самая удачная терминология, т.к. термин "система" часто понимается и другим образом. По крайней мере, судя по путанице, который этот термин все время вызывает в этом обсуждении.

[Munin]

Допустим, через 2-мерное (для простоты) пространство у нас движутся точки. Точек много, и мы будем описывать их некоторой плотностью $\rho.$ Пусть к тому же, для простоты, в каждом месте точки движутся в одну сторону с одной скоростью $v,$ как капли текущей жидкости (но не как молекулы жидкости!).

Рассмотрим соответствующее 3-мерное пространство-время. Припишем каждой точке линию, которую она вычерчивает в пространстве-времени. Если мы рассечём это пространство-время пространственной плоскостью $t=t_0,$ то сечения этих линий превратятся в точки, в том положении, в котором они были в момент времени $t_0.$ Так что, если мы возьмём число линий, пересекающее площадку, перпендикулярную оси $t,$ в отношении к площади площадки, то это и будет пространственной плотностью частиц $\rho.$

Если же мы возьмём площадку, перпендикулярную пространственной оси $x,$ то её пересекут тоже сколько-то линий. Сколько? Это будут линии, движущиеся вперёд по оси $x,$ и пересекающие отрезок $\Delta y$ за время $\Delta t.$ За это время они продвинутся поперёк отрезка на расстояние $v_x\Delta t.$ Значит, это точки, которые находятся на площадке площадью $v_x\Delta t\cdot\Delta y.$ Их число в отношении к площади пространственно-временной площадки $\Delta t\cdot\Delta y$ будет равно $\rho v_x.$ И аналогично, для площадки, перпендикулярной оси $y,$ число линий на площадь площадки будет $\rho v_y.$

Эти три величины образуют "вектор пространственно-временного потока" $\vec{\jmath}^{\,ST}=(\rho,\rho v_x,\rho v_y)$ (обозначение $ST$ указывает на пространственно-временные векторные понятия) Условие сохранения этого потока означает, что ни в какой точке пространства-времени линии, вычерченные точками, не исчезают и не возникают из ничего. Математически такое условие записывается как равенство нулю дивергенции векторного поля

$$\operatorname{div}_{ST}\vec{\jmath}^{\,ST}=0\quad\dfrac{\partial j^{ST}_t}{\partial t}+\dfrac{\partial j^{ST}_x}{\partial x}+\dfrac{\partial j^{ST}_y}{\partial y}=0.$$

Вот это уравнение и будет уравнением непрерывности, если подставить сюда компоненты этого вектора:

$$\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\dfrac{\partial\rho v_x}{\partial x}+\dfrac{\partial\rho v_y}{\partial y}=0\quad\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\vec{\jmath}\,)=0.$$