Статистическая физика: смысл теоремы Лиувилля

[Anton_Peplov]

Рассмотрим для простоты двумерное фазовое пространство с координатами $(q, p)$. Пусть есть ансамбль систем, непрерывно распределенный по фазовому пространству с плотностью распределения $\rho(q, p)$. Пусть число систем в ансамбле не меняется со временем. Тогда в каждой точке фазового пространства выполняется уравнение непрерывности:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div} (\rho \vec v) = 0 $$

где $\vec v$ - скорость движения систем через данную точку фазового пространства.

Используя уравнения Гамильтона, приходим к теореме Лиувилля:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho}{\partial q}\dot q + \frac{\partial \rho}{\partial p} \dot p = 0 $$

Осталось понять, что это означает.

Со слагаемым $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ все понятно - это скорость изменения плотности систем со временем в фиксированной точке фазового пространства. А вот что за зверь $\frac{\partial \rho}{\partial q}\dot q + \frac{\partial \rho}{\partial p} \dot p$? Какой у этого слагаемого наглядный смысл? Вот возьмем одну из его составляющих, $\frac{\partial \rho}{\partial q}\dot q$. Здесь $\frac{\partial \rho}{\partial q}$ - это скорость, с которой в фиксированный момент времени меняется плотность при движении через данную точку по координате $q$ (вторая координата неизменна). $\dot q$ - это скорость, с которой меняется со временем координата $q$ у системы, текущей через данную точку. Ну и чего я получу, если их перемножу? Что-то у меня ничего не просматривается. В учебнике написано что-то про "движение вдоль линии тока", но я не знаю, что такое линия тока.
Помогите, что ли. Please.

[ex-math]

Я не специалист в статфизике, но у Вас написано равенство нулю полной производной по времени.

[Anton_Peplov]

Уже хорошо. Итак, получилось, что в фиксированной точке фазового пространства полная производная от плотности по времени равна нулю. Что это означает? Что плотность не меняется со временем? Другими словами, что в точку втекает столько же систем, сколько вытекает?

[amon]

Это означает теорему Лиувилля. Если мы в некой области фазового пространства накидали частиц с плотностью $\rho(p,q)$ и посмотрели, что с этой плотностью будет через время $t,$ (решили уравнения Ньютона, и проследили судьбы всех частиц) то окажется, что $\frac{d\rho}{dt}=0.$

Совсем наглядно. Если мы "равномерно засеяли" единичный квадрат ($\rho=1$ внутри квадрата и нулю вне), то через время $t$ квадрат перейдет (как сказали бы математики, "фазовый поток переведет его") в некое чёрте-что единичной площади.

[Red_Herring]

Или, другими словами: гамильтонов поток сохраняет фазовый объем

[Blancke_K]

Red_Herring
Как я понимаю, гамильтонов фазовый поток - это и есть "линии тока", о которых говорил Anton_Peplov? То есть, та самая группа отображений, которая задается с помощью дифференциальной формы $dH$, ну Вы меня поняли.

[Red_Herring]

Линии тока—это траектории отдельных частиц в потоке.

[Anton_Peplov]

amon в сообщении #1035800 писал(а):

(решили уравнения Ньютона, и проследили судьбы всех частиц)

Мне бы все-таки в терминах движения в фазовом пространстве. Об уравнениях Ньютона я потом подумаю. Утверждение "в каждый момент времени данную точку фазового пространства покидает столько же систем, сколько в нее приходит" - верно или нет?

[Blancke_K]

Red_Herring в сообщении #1035809 писал(а):

Линии тока—это траектории отдельных частиц в потоке.

Не совсем понял, т.к.траектории отдельных частиц в статфизике - штука очень сложная, по-видимо Вы подразумевали что-то важное оговоркой "в потоке", но если не сложно, раскройте идею.

[Oleg Zubelevich]

У мнея такое ощущение, что глубинный смысл путаницы у ТС следующий.

Если динамическая система $\dot x=v(t,x)$ имеет два интегральных инварианта один с плотностью $\rho_1$ а другой с плотностью $\rho_2$:

$$\frac{\partial \rho_i}{\partial t} + \operatorname{div}_x (\rho_i v) = 0,\quad i=1,2$$

то
функция $\rho_1/\rho_2$ является первым интегралом системы. У любой гамильтоновой системы имеется интегральный инвариант с плотностью $1$ (в канонических координатах). Поэтому если в ней еще есть и другой интегральный инвариант с плотностью $\rho$, то $\rho$ будет еще и первым интегралом данной системы.

[Blancke_K]

Oleg Zubelevich
По-моему там все понагляднее.

[amon]

Anton_Peplov в сообщении #1035811 писал(а):

Утверждение "в каждый момент времени данную точку фазового пространства покидает столько же систем, сколько в нее приходит" - верно или нет?

Дались Вам эти системы. Думайте на языке "кучи песка". Тогда Ваше утверждение можно переформулировать так. Рассмотрим область с $N$ песчинками. Тогда в области, в которую эта область перейдет, будет тоже $N$ песчинок.

Anton_Peplov в сообщении #1035811 писал(а):

Мне бы все-таки в терминах движения в фазовом пространстве.

А как по-Вашему происходит это движение (механика у нас пока классическая)? Каждая исходная точка фазового пространства рассматривается как начальное условие для соответствующей механической задачи, находится положение этой точки через время $t,$ и так для каждой точки. В статистической физике предполагается, что
а. В ходе этого движения происходит "перемешивание" точек
б. Усреднение "по перемешиванию" можно заменить усреднением по начальным распределениям точек (Ваши любимые "системы", эргодическая гипотеза).

[Red_Herring]

Согласен: "частиц" может вводить в заблуждение. Замените на "точек" (тех которые "движутся" согласно гамильтоновой механике)

[Anton_Peplov]

Так. Слово "системы", кажется, тоже понимается по-разному и вводит в заблуждение. Будем говорить о песчинках.

amon в сообщении #1035800 писал(а):

Совсем наглядно. Если мы "равномерно засеяли" единичный квадрат ($\rho=1$ внутри квадрата и нулю вне), то через время $t$ квадрат перейдет (как сказали бы математики, "фазовый поток переведет его") в некое чёрте-что единичной площади.

Пока я вынес из этого вот что:
1.Начертим в момент времени $t_0$ в фазовом пространстве кляксу $K_0$, достаточно малую, чтобы плотность во всех ее точках можно было считать одинаковой. Обозначим ее площадь $S_0$.
2. Будем следить, как перемещаются в фазовом пространстве песчинки, составлявшие в момент времени $t_0$ кляксу $K_0$.
3. Оказывается, что во всякий момент времени $t$ они образуют кляксу $K$ той же самой площади $S_0$.
Это я правильно понимаю или нет?

[Blancke_K]

Anton_Peplov
По поводу пункта 2: мы смотрим, как движется клякса, а не отдельные песчинки в ней.
По поводу пункта 1: а что изменится, если эта Ваша клякса будет большая?

Red_Herring в сообщении #1035821 писал(а):

Согласен: "частиц" может вводить в заблуждение. Замените на "точек" (тех которые "движутся" согласно гамильтоновой механике)

Ну то есть, с физической точки зрения "усредненное" движение. Тогда да, ясно. Мне тоже нравится этот язык фазовых потоков.