Свободное падение

[Denis Russkih]

Blancke_K в сообщении #1035753 писал(а):

кривая вообще не может быть касательной, уж тем более к вектору

Так ведь Munin выше написал по этому поводу:

Munin в сообщении #1035200 писал(а):

Для школьников - правильнее. А в продвинутой математике, как я понимаю, никакой разницы (рассматривается касание любых двух кривых).

Хотя мне тоже как-то естественнее считать вектор касательным к кривой, а не наоборот. :)

[Blancke_K]

Denis Russkih
Эм, ну я не знаю честно говоря.
Вот есть у нас векторное поле $\vec{u}$ и что такое касательная кривая к векторному полю? Ну по идее, "нарисовать" ее можно, но все-таки принято говорить наоборот. И по-моему в продвинутой математике как раз таки принято считать, что кривые живут на многообразиях, а векторы - в касательных пространствах к ним.
Ну, скажем касательный вектор к кривой в данной точке определить можно, а вот задав какой-то вектор в данной точке, нарисовать по нему кривую - нет.

-- 11.07.2015, 16:53 --

Я как и Denis Russkih прочитав эту тему, сделал открытие насчет своего образования на физфаке.
В каком смысле этих слов интегральные кривые здесь были отождествлены с касательными?

[epros]

Blancke_K в сообщении #1035766 писал(а):

Вот есть у нас векторное поле $\vec{u}$ и что такое касательная кривая к векторному полю?
...
Ну, скажем касательный вектор к кривой в данной точке определить можно, а вот задав какой-то вектор в данной точке, нарисовать по нему кривую - нет.

К чему эта игра в слова? Все ведь поняли, что "касательная к вектору" означает то же самое, что "кривая, для которой данный вектор является касательным". И что касательную к векторному полю нарисовать можно (не смотря на то, что касательная к отдельно взятому вектору определяется неоднозначно).

[Blancke_K]

epros
Так вот что все-таки такое касательная кривая к векторному полю? То есть, имеет ли она тот смысл, который здесь ей придавался?
Например, есть у нас векторное поле скорости $\vec{V}(\vec{r})$ в трехмерном пространстве. Что такое в Вашем понимании касательная кривая к этому полю?

[amon]

Blancke_K в сообщении #1035789 писал(а):

Например, есть у нас векторное поле скорости $\vec{V}(\vec{r})$ в трехмерном пространстве. Что такое в Вашем понимании касательная кривая к этому полю?

Вот есть у нас решение какой-нибудь механической задачи с тремя степенями свободы, сиречь набор траекторий $X(t)\;Y(t)\;Z(t).$ Поле $\vec{V}(\vec{r})$ по ним можете построить? А наоборот, траекторию по $\vec{V}(\vec{r})$ тоже ведь не бог весть какая проблема. Вот траектория и есть касательная кривая к полю.

[Blancke_K]

amon
Хорошо, пусть $d\vec{X}/dt=\vec{V}$. Почему же мне в прошлом семестре говорили, что $\vec{X}(t,C)$ - это семейство интегральных кривых? Ну и каждое частное решение - интегральная кривая.

[amon]

Blancke_K в сообщении #1035794 писал(а):

говорили, что $\vec{R}(t,C)$ - это семейство интегральных кривых?

И что Вас смущает? Что один предмет имеет много названий? Я Вам по-секрету скажу, что их еще характеристиками уравнения Гамильтона-Якоби называют, и что?

[Blancke_K]

amon
Вопрос не в терминологии, а в том, в каком смысле этого слова $\vec{X}$ является касательной к $\vec{V}$. Рисунок я нарисовал, некоторую аналогию уловил. Но меня интересует формальный ответ на вопрос.

[epros]

Blancke_K в сообщении #1035789 писал(а):

Что такое в Вашем понимании касательная кривая к этому полю?

Хм, какое из слов в моём предыдущем посте непонятно?

[amon]

Blancke_K в сообщении #1035798 писал(а):

в каком смысле этого слова $\vec{X}$ является касательной к $\vec{V}$.

В том, что для достаточно хорошей задачи (в отсутствии каустик и т.п.) по "траекториям" (касательным кривым) можно восстановить поле и наоборот, по полю - касательные кривые. В электростатике Вас ведь линии поля не смущали? Там они, правда, легче строятся. Просто семейство кривых, ортогональных эквипотенциальным поверхностям.

[Blancke_K]

epros в сообщении #1035804 писал(а):

Blancke_K в сообщении #1035789 писал(а):

Что такое в Вашем понимании касательная кривая к этому полю?

Хм, какое из слов в моём предыдущем посте непонятно?

Непонятно, как Вы определяете касательную кривую к векторному полю. Кроме аналогии с рисунком.

amon в сообщении #1035805 писал(а):

Blancke_K в сообщении #1035798 писал(а):

в каком смысле этого слова $\vec{X}$ является касательной к $\vec{V}$.

В том, что для достаточно хорошей задачи (в отсутствии каустик и т.п.) по "траекториям" (касательным кривым) можно восстановить поле и наоборот, по полю - касательные кривые. В электростатике Вас ведь линии поля не смущали? Там они, правда, легче строятся. Просто семейство кривых, ортогональных эквипотенциальным поверхностям.

Восстановить можно, решить диффурку, кто спорит? Меня интересует на предложенном Вами языке механической задачи с тремя степенями свободы, в каком смысле траектория является касательной к векторному полю. То есть с точки зрения математически корректного определения или геометрического смысла, а не с точки зрения возможности восстановить одно по другому.

[arseniiv]

Так было же определение выше: кривая 1 касательна к векторному полю 2, если значения этого 2 в любой точке 1 касательны к 1.

[epros]

Blancke_K в сообщении #1035812 писал(а):

Непонятно, как Вы определяете касательную кривую к векторному полю. Кроме аналогии с рисунком.

epros в сообщении #1035781 писал(а):

"касательная к вектору" означает то же самое, что "кривая, для которой данный вектор является касательным"

epros в сообщении #1035781 писал(а):

касательную к векторному полю нарисовать можно [однозначно]

И что же именно Вам тут непонятно? Как построить кривую, касательную к вектору поля в каждой точке, через которую она проходит? Очевидно, дифференциальное уравнение придётся решить.

[Blancke_K]

arseniiv в сообщении #1035819 писал(а):

Так было же определение выше: кривая 1 касательна к векторному полю 2, если значения этого 2 в любой точке 1 касательны к 1.

Странное определение. Есть вполне определенный и устоявшийся смысл, который вкладывают в слово "касательный(-ая)". И по-моему это не просто касание двух кривых. Да и просто точки маловато: всегда нужна еще малая область. Это мне и не нравилось. Извините, вопрос снимаю, но по-моему такие определения могут серьезно запутать. И думаю, что не только меня.

[epros]

Blancke_K в сообщении #1035829 писал(а):

И по-моему это не просто касание двух кривых.

А что ещё?

Blancke_K в сообщении #1035829 писал(а):

Да и просто точки маловато: всегда нужна еще малая область.

"Любая достаточно малая окрестность точки" Вас устроит?