Вещественные числа

[Mikhail_K]

Oleg Zubelevich в сообщении #1020162 писал(а):

мне как-то всегда было непонятно, зачем дедекиндовы сечения продолжают оставаться в курсах анализа. есть замечательная универсальная вещь: пополнение метрического пространства.

Замечу, что вещественные числа уже используются в определении метрического пространства (расстояние между двумя точками задаётся вещественным числом).
Поэтому вещественные числа не могут вводиться с опорой на теорию метрических пространств.
Разумеется, отчётливая аналогия между определением вещественных чисел через последовательности Коши и пополнением метрического пространства имеется, но это именно аналогия, а не одна и та же универсальная вещь.

Когда мы говорим о пополнении метрического пространства, оба пространства - исходное и его пополнение - существуют над одним и тем же полем. Добавление к исходному пространству новых элементов не приводит к возникновению новых расстояний: расстояния между добавленными точками, так же как и между исходными, являются вещественными числами.

Наоборот, при "пополнении" $\mathbb{Q}$ вводятся не только новые точки, но и новые расстояния между ними. Все расстояния между точками из $\mathbb{Q}$ являются рациональными числами; но этих расстояний будет не хватать при добавлении иррациональных чисел.

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1020480 писал(а):

Наоборот, при "пополнении" $\mathbb{Q}$ вводятся не только новые точки, но и новые расстояния между ними. Все расстояния между точками из $\mathbb{Q}$ являются рациональными числами; но этих расстояний будет не хватать при добавлении иррациональных чисел.

СтОит ли с умным видом писать о том, в чем вы некомпетентны? Почитайте хотя бы здесь, как еще Кантор обошелся только рациональными расстояниями.

[Mikhail_K]

Brukvalub в сообщении #1020511 писал(а):

СтОит ли с умным видом писать о том, в чем вы некомпетентны?

Однозначно стоит. Потому что это один из способов узнать иное мнение и тем самым преодолеть свою некомпетентность.

Но конкретно здесь, я думаю, Вы меня просто не поняли.
Я вовсе не имел в виду, что определение вещественного числа через последовательность рациональных чисел в чём-то некорректно. Я знаком с этим определением и знаю, что оно корректно.
"Ещё Кантор обошёлся только рациональными расстояниями" - это Вы, видимо, про критерий Коши и про способ выразить условие сходимости последовательности в терминах её членов, без обращения к самому значению предела. Это всё ясно.

Я ведь о другом говорю. Когда мы уже построили $\mathbb{R}$, там появляются новые расстояния, не только рациональные. Расстояние между точками $0$ и $\sqrt{2}$ иррационально. Это, конечно, ни в коей мере не отрицает корректность данного способа определить вещественное число; но показывает его принципиальное отличие от пополнения метрических пространств.

Я утверждаю только то, что не совсем верно рассматривать $\mathbb{R}$ как пополнение $\mathbb{Q}$, как утверждал Oleg Zubelevich.
При пополнении метрического пространства вводятся только новые точки, но расстояния между точками как были все вещественные в исходном пространстве, так и остаются все вещественные в пополненном. Для пополненного пространства не изобретаются какие-то новые расстояния, например комплексные, которых не было в исходном пространстве. А вот при переходе от $\mathbb{Q}$ к $\mathbb{R}$ вводятся не только новые точки, но и новые расстояния между ними.

В "Элементах математики" Бурбаки вначале вводится понятие вещественного числа, а уж потом понятие метрического пространства. И это при стремлении Бурбаки всюду, где можно, идти от общего к частному. Это из-за того, что введение вещественных чисел не может быть представлено как просто частный случай пополнения метрического пространства, как утверждал Oleg Zubelevich.

-- 27.05.2015, 22:27 --

Впрочем, у Бурбаки $\mathbb{R}$ всё же вводится именно как пополнение $\mathbb{Q}$, хотя и не в смысле метрического пространства.

В принципе, в этом вопросе всё понятно, можно считать его исчерпанным.

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1020533 писал(а):

Я утверждаю только то, что не совсем верно рассматривать $\mathbb{R}$ как пополнение $\mathbb{Q}$, как утверждал Oleg Zubelevich.
При пополнении метрического пространства вводятся только новые точки, но расстояния между точками как были все вещественные в исходном пространстве, так и остаются все вещественные в пополненном. Для пополненного пространства не изобретаются какие-то новые расстояния, например комплексные, которых не было в исходном пространстве. А вот при переходе от $\mathbb{Q}$ к $\mathbb{R}$ вводятся не только новые точки, но и новые расстояния между ними.

Разумное зерно в ваших контраргументах есть....

[Oleg Zubelevich]

Mikhail_K в сообщении #1020480 писал(а):

Замечу, что вещественные числа уже используются в определении метрического пространства (расстояние между двумя точками задаётся вещественным числом).

Определение. Последовательность $\{x_n\}\subset \mathbb{Q}$ назыывается последовательностью Коши, если для любого положительного $\epsilon\in\mathbb{Q}$ найдется номер $N$ такой, что если $n,m>N$ то $|x_n-x_m|<\epsilon$.

Определение. Две последовательности Коши $\{x_n\},\quad \{x'_n\}\subset\mathbb{Q}$ называются эквивалентными ($\sim$) если для любого положительного $\epsilon\in\mathbb{Q}$ найдется номер $N$ такой, что если $n>N$ то $|x'_n-x_n|<\epsilon$

Утв. Это действительно эквивалентность.

Через $M$ обозначим множество последовательностей Коши рациональных чисел.

Определение. $\mathbb{R}=M/\sim$.

[Mikhail_K]

Разумеется, в данном определении вещественного числа вещественные числа не используются, иначе получился бы замкнутый круг. Я с этим и не спорю.

[Мастак]

oniksofers в сообщении #1020126 писал(а):

Это такое проявление конструктуризма или что? Если кратко, автор утверждает, что определение вещественных чисел через сечения дедекинда ошибочно.

Имхо, нет корректного определения иррационального числа, которое не "из отрицания" рациональных.
И видится, что не в праве строить рассуждения о том, о чем
нет достаточного понимания.
А сечения Дедекинда - не дают такого понимания.

[Brukvalub]

Мастак в сообщении #1021780 писал(а):

Имхо, нет корректного определения иррационального числа, которое не "из отрицания" рациональных.

Есть. И каждый школьник его знает: число называется иррациональным, если его запись в виде бесконечной десятичной дроби не имеет периода.

[Мастак]

Brukvalub в сообщении #1022106 писал(а):

Мастак в сообщении #1021780 писал(а):

Имхо, нет корректного определения иррационального числа, которое не "из отрицания" рациональных.

Есть. И каждый школьник его знает: число называется иррациональным, если его запись в виде бесконечной десятичной дроби не имеет периода.

то что такое число иррациональное (в смысле - не рациональное) формально сомнений нет

но всякое ли иррациональное так мыслимо - то есть и здесь всё та же проблема в частном случае: если не можешь указать период (ну вдруг гигантский период и недостаточно всей материи Земли, чтобы как-то записать-выразить этот период), то и не в праве утверждать, что периода нет
PS И возможная другая "дичь" (например, доказали, что число рационально, но алгоритма получения числа нет (или пока нет), и подозрение, что может быть логика доказательства была противоречива).

[iifat]

По-вашему, единственный способ доказать отсутствие периода — выписать число целиком и потыкать пальцем?

[Мастак]

iifat в сообщении #1022669 писал(а):

По-вашему, единственный способ доказать отсутствие периода — выписать число целиком и потыкать пальцем?

"сперва потрогав и пошевелив веточкой, а то вдруг - мертвое" [img]img=http://s18.rimg.info/c3a23d851a5ccfc2a3b03dc6ebe76c13.gif[/img]

не до такого (хотя наверно древние греки только такое признали бы),
но хотя бы конструктивно (то есть указав алгоритм, который доказательно завершится с получением числа), то есть удовлетворив конструктивизм, а также
хотя бы математический интуиционизм, то есть доказав без
использования в логике доказательства закона исключенного третьего

PS Какое-то доказательство, не оставляющее мест для сомнений.

[iifat]

Чисто эстетически, никогда не понимал конструктивизма. Может, вы расскажете, как конструктивно описать диагональ единичного квадрата? Я вот смотрю на ваши слова

Мастак в сообщении #1022685 писал(а):

конструктивно (то есть указав алгоритм, который доказательно завершится с получением числа)

и не представляю.

[epros]

iifat в сообщении #1022689 писал(а):

Чисто эстетически, никогда не понимал конструктивизма. Может, вы расскажете, как конструктивно описать диагональ единичного квадрата? Я вот смотрю на ваши слова

Мастак в сообщении #1022685 писал(а):

конструктивно (то есть указав алгоритм, который доказательно завершится с получением числа)

и не представляю.

Это потому что слова неправильные. Никаких "завершится получением числа" в конструктивизме нет. Конструктивное действительное число -- это и есть алгоритм, вычисляющий значение фундаментальной последовательности до любого $n$.

[iifat]

А! Так и правда звучит более осмысленно.

[Мастак]

iifat в сообщении #1022689 писал(а):

Чисто эстетически, никогда не понимал конструктивизма. Может, вы расскажете, как конструктивно описать диагональ единичного квадрата? Я вот смотрю на ваши слова

Мастак в сообщении #1022685 писал(а):

конструктивно (то есть указав алгоритм, который доказательно завершится с получением числа)

и не представляю.

Это не особо смешная ирония.
Конструктивно, имхо, если этого достаточно для формулировки нужных соображений,
то достаточно нарисовать квадрат с диагональю на бумаге и пояснить обозначения словами (это рисование и говорение может быть алгоритмом выполнения описания). Вполне эстетично.