МНК для f=A*sin(2*pi*f*t + phi) + b

[kolchenkov]

Добрый день!

Есть таблица значений x и y.
С помощью МНК c базисной

$f_1=A\sin x+b$

умею находить амплитуду (систему уравнений решаю матричным методом),

подскажите какими методами решается система уравнений, в случае если в базисной функции появится частота и фаза

$f_2=A\sin(2\pi f t + \varphi) + b$

ведь теперь неизвестные будут не только в виде коэффициентов, но еще и в функциях $\sin x$, \cos x$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

\sin \pi и т.д.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[profrotter]

Что-то похожее было topic55558.html

[svv]

1. Что является независимой переменной, $t$ или $x$? Раз функция такая $f_2=A\sin(2\pi f t + \varphi) + b$, значит, в таблице уже не пары $(x_i, y_i)$, а пары $(t_i, y_i)$, правильно?

2. Сколько у Вас таких базисных функций, одна или много? Почему Вы про неё говорите в единственном числе?

3. Шаг независимой переменной ($t_i$ ?) постоянный?

[kolchenkov]

1. Да, в таблице тогда пары $(t_i, y_i)$,

2. Одна $f_1=A\sin x+b$ , но хочу перейти к $f_2=A\sin(2\pi f t + \varphi) + b$ , или вы имеете в виду, что точек $n$ и я не написал суммы в формулах?

3. Да, шаг постоянный

Цитата:

Что-то похожее было topic55558.html

Спасибо, буду вникать

[svv]

kolchenkov в сообщении #1016944 писал(а):

2. Одна $f_1=A\sin x+b$ , но хочу перейти к $f_2=A\sin(2\pi f t + \varphi) + b$ , или вы имеете в виду, что точек $n$ и я не написал суммы в формулах?

Одна — хорошо.
Суммы? А про какие суммы Вы говорите?

Я вот о чём спрашиваю. Часто задача ставится так: для $N$ синусоид подобрать их амплитуды $A_k$, частоты $\omega_k$ и фазы $\varphi_k$ (где $k=1..N$), так, чтобы сумма этих синусоид
$y(t)=\sum\limits_{k=1}^N A_k \sin(\omega_k t+\varphi_k)$
наилучшим образом соответствовала табличным данным. Например, точек у Вас $n=1000$, а синусоид $N=5$, и их параметры надо подобрать. Вот я и хочу быть уверенным, что это не Ваш случай, что у Вас только одна синусоида с неизвестными параметрами.

[kolchenkov]

Цитата:

Я вот о чём спрашиваю. Часто задача ставится так: для $N$ синусоид подобрать их амплитуды $A_k$

Нет, это не мой случай, как раз наоборот, синусоида одна и таким образом хочу выделить так сказать основную гармонику.

[svv]

Самое трудное — определить частоту. Удобнее работать с циклической частотой $\omega=2\pi f$, от неё потом легко перейти к $f$.
Пусть $\tau$ — шаг по $t$, тогда $t_k=t_0+k\tau$.
Поэтому $\omega t_{k\pm 1}=\omega t_{k}\pm\omega\tau$.

Попробуйте такой подход.
Возьмём значения $y$ для трёх последовательных временных отсчётов:
$\begin{array}{lll}y_{k-1}&=A\sin(\omega t_k+\varphi-\omega\tau)&+b\\y_{k}&=A\sin(\omega t_k+\varphi)&+b\\y_{k+1}&=A\sin(\omega t_k+\varphi+\omega\tau)&+b\end{matrix}$

Для $y_{k-1}, y_{k+1}$ применим формулу синуса разности/суммы:
$y_{k-1}=A\sin(\omega t_k+\varphi)\cos\omega\tau-A\cos(\omega t_k+\varphi)\sin\omega\tau+b$
$y_{k+1}=A\sin(\omega t_k+\varphi)\cos\omega\tau+A\cos(\omega t_k+\varphi)\sin\omega\tau+b$

Сложим, разделим на $2$.
$\begin{array}{l}\frac 1 2(y_{k-1}+y_{k+1})=A\sin(\omega t_k+\varphi) \cos\omega\tau+b=\\=(y_{k}-b) \cos\omega\tau+b=y_{k}\cos\omega\tau+b(1-\cos\omega\tau)\end{array}$

Обозначим $p=\cos\omega\tau,\;\;q=b(1-\cos\omega\tau)$. Тогда
$y_{k}p+q=\frac 1 2(y_{k-1}+y_{k+1})$ для всех $k$, кроме крайних.
Получили сильно переопределённую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных $p, q$.

[Евгений Машеров]

Если есть частота - остальное легко получается линейной регрессией (чтобы избежать нелинейности, связанной с фазой, лучше преобразовать
$A\sin(2\pi ft+\varphi)=A_1\sin(2\pi ft)+A_2\cos(2\pi f t)$
и тогда оценивается чисто линейная модель, переход к амплитуде и фазе очевиден)
Сложность лишь в оценке частоты. Фурье даёт обычно недостаточную точность, поскольку искомая частота может не попасть на "зуб гребёнки частот". Можно использовать авторегрессионные оценки, максимальной энтропии, метод Прони и др.
Много материала есть, например, в книге Дж. Марпл-мл. "Цифровой спектральный анализ".

[svv]

Точно, метод Прони. То, что я выше написал, — по его мотивам. Идея метода в том, что дискретная синусоида $y_k=A\sin(\omega t_k+\varphi)$ удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению
$2y_{k}\cos\omega\tau=y_{k-1}+y_{k+1}$
Изначально метод Прони разрабатывался для экспонент, которые тоже удовлетворяют рекуррентным соотношениям. Но синусоида — сумма двух комплексных экспонент.
Значит, для оценки частоты (или частот) надо выявить в сигнале рекуррентные соотношения. Марпл, глава 11.

[Евгений Машеров]

Причём если у нас, как выписано у топикстартера, вовсе нет составляющей ошибки, достаточно четырёх точек. Сначала переходим к разностям соседних отсчётов, убирая b, полученный сигнал будет синусоидой той же частоты, но отличающийся амплитудой и фазой (как именно отличается - легко выписать, но зачем?), остаётся три точки, потом из
$\cos\omega\tau=\frac {y_{k-1}+y_{k+1}} {2y_{k}}$
находим частоту, далее линейно.
Но в реальной задаче появляется случайная ошибка, и всё становится грустно...

[svv]

Евгений Машеров в сообщении #1017279 писал(а):

Сначала переходим к разностям соседних отсчётов, убирая b

Метод очень простой, но, боюсь, численное дифференцирование будет усиливать шум.

Евгений Машеров в сообщении #1017279 писал(а):

Но в реальной задаче появляется случайная ошибка, и всё становится грустно...

Так на то и переопределённая система. Точек $100$, неизвестных две.

[Александрович]

Если время наблюдения за колебаниями много больше чем период, можно оценить $A$ и $b$, затем путем замены переменной перейти к линейной функции с коэффициентами $\omega$ и $\varphi$. Затем обратно вернуться к линейной функции с $A$ и $b$ и уточнить их. И т.д., пока не устаканется. В случае со временем наблюдения много меньше чем период, придется репу чесать.

[Евгений Машеров]

В общем,всё упирается в величину ошибки. Чем больше, тем сложнее оценивание. При очень малой - как изложено выше, при большой нужны общие методы нелинейной регрессии.