2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Да, т. к. по базису $V$ разложить не обязательно возможно. Можно только если $V'\subset V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:47 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
arseniiv в сообщении #987957 писал(а):
Можно только если $V'\subset V$.

Вот только не надо вот этого вот. Пока что. Так а чем мое разложение по базису не устраивает? ${e_j}$- базис штрихованного пространства же

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:54 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
fronnya в сообщении #987927 писал(а):
В чем хотя бы общая идея?

Общая идея проста. Любое конечномерное пространство изоморфно множеству числовых столбцов. Это если по-учёному; а если по существу, то элементы этого пространства можно просто отождествлять со столбцами. Так вот оказывается, что действие любого, сколь угодно абстрактно заданного линейного оператора, лишь бы он действовал именно в конечномерном пространстве, сводится к умножению на эти столбцы некоторой матрицы; вот она-то и называется матрицей оператора. Согласитесь, такая редукция вычислительно весьма выгодна (идейно-то наоборот, конечно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
fronnya в сообщении #987958 писал(а):
Так а чем мое разложение по базису не устраивает? ${e_j}$- базис штрихованного пространства же

Нет! Мы не так договаривались.
provincialka в сообщении #987942 писал(а):
Еще два базиса: один в $V$, другой в $V'$. Например, $\{\mathbf{e}_k\}$ и $\{\mathbf{e}'_l\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 23:45 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
$A e_k=a_k^{l'} A e_l'$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
fronnya в сообщении #987982 писал(а):
$A e_k=a_k^{l'} A e_l'$
:mrgreen: Что мало штрихов? Штрих у индекса -- это уже перебор.
И зачем вам справа $A$? Берете базис "штрихованного" пространства и по нему раскладываете!

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение10.03.2015, 00:24 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
provincialka в сообщении #987987 писал(а):
fronnya в сообщении #987982 писал(а):
$A e_k=a_k^{l'} A e_l'$
:mrgreen: Что мало штрихов? Штрих у индекса -- это уже перебор.
И зачем вам справа $A$? Берете базис "штрихованного" пространства и по нему раскладываете!

аааа, т.е. оператор нужен для того, чтобы перевести вектор в новый базис?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение10.03.2015, 00:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
fronnya в сообщении #987999 писал(а):
т.е. оператор нужен для того, чтобы перевести вектор в новый базис?

Вы уж как-нибудь определились бы, что Вам нужно: человек для субботы -- или суббота для человека?..

Изначально у Вас первичным объектом был оператор, непонятно же Вам было, зачем ему матрица. Теперь же вдруг всё в точности наоборот; ну так определились бы, чего Вам, в конце-то концов, хоцца. А то совершенно непонятно, на какой вопрос, собственно отвечать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение10.03.2015, 00:32 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
Вопрос текущий: представить $Ae_k$ в штрихованном базисе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение10.03.2015, 00:37 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Разложение вектора, в данном случае $A\mathbf e_k$, по базису содержит базисные векторы и коэффициенты разложения.

Базисные векторы Вы знаете. Коэффициенты разложения зависят от оператора, и в данной общей ситуации Вы можете самое большее ввести для них удобные и корректные обозначения. Но всё это надо сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение10.03.2015, 00:39 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Забудьте про штрихованые. Разберитесь сначала, что будет, если на входе и выходе базисы одинаковы (ну и пространства тем более, ессно). Если с этим разберётесь -- то и с обобщением вряд ли возникнут проблемы. Забудьте, запретите штрихи как пижонства (для начала).

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение10.03.2015, 00:51 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
ewert , ок. Пусть имеются линейные пространства $V$ и $V$ с одинаковыми базисами ${e_i}$. Тогда $\forall x \in V: x=x^i e_i$ Задаем линейный оператор $A:V \to V$.
Подействуем на наш вектор этим оператором:$Ax=x^iAe_i$ Теперь разложим $Ae_i$ в базисе $e_i$? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение10.03.2015, 00:58 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
fronnya в сообщении #988011 писал(а):
Теперь разложим $Ae_i$ в базисе $e_i$? :roll:

Нет, вот этого никак не выйдет. Буковка $i$ у Вас засвечена в первой позиции и, стало быть, во второй уж никак не уместна. Выберите хотя бы $j$, а ещё лучще $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение10.03.2015, 01:03 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
ewert в сообщении #988012 писал(а):
fronnya в сообщении #988011 писал(а):
Теперь разложим $Ae_i$ в базисе $e_i$? :roll:

Нет, вот этого никак не выйдет. Буковка $i$ у Вас засвечена в первой позиции и, стало быть, во второй уж никак не уместна. Выберите хотя бы $j$, а ещё лучще $k$.

$Ae_i=\alpha^k_i e_k$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение10.03.2015, 01:17 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
А чего так неуверенно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group