2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 21:42 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
Уже прочитал эту тему в нескольких учебниках, в интернете, на википедии, не понял абсолютно ничего. В чем хотя бы общая идея? Откуда эта матрица берется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Из разложения по базису исходного и результирующего векторов. Нет базисов -- нет матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 21:50 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
А что за исходный и результирующий вектор? Они раскладываются по одному и тому же базису отдельно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
fronnya в сообщении #987929 писал(а):
А что за исходный и результирующий вектор? Они раскладываются по одному и тому же базису отдельно?
А это зависит от того, откуда и куда действует линейный оператор. Напишите это подробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 21:59 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
Ну я даже не знаю, что писать. Вот разложение вектора по базису в некотором ЛП:
$$\vec{x}=x^k\vec{e}_k$$
Ну возьмем какой-нибудь оператор и подействуем на этот вектор в данном базисе:
$$P\vec{x}=x^k P\vec{e}_k$$
И что ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Нет, я не про разложение по базису. Что такое линейный оператор? Раз оператор -- значит, отображение. Из какого множества в какое? Введите хоть обозначения

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:06 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Пусть у Вас есть некое пространство с фиксированным базисом и есть некий линейный оператор. Вы поочередно действуете этим линейным оператором на все базисные векторы и получаете какие-то новые векторы. Вот в $i$-ом столбце матрицы линейного оператора стоит разложение $i$-го нового вектора по старому базису (в $j$-ой строке этого столбца коэффициент перед $j$-ым старым базисным вектором). Так получается матрица конкретного линейного оператора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:09 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
Давайте с самого начала. Определение линейного оператора я знаю. Пусть $V$ и $V'$- линейные пространства над полем $P$. Отображение $A:V \to V'$ называется линейным оператором, если выполняется: $$\forall x,y \in V, \forall \alpha,\beta  \in P: A(\alpha\vec{x}+\beta\vec{y})=\alpha A\vec{x}+\beta A\vec{y}$$ Что ещё следует ввести?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Еще два базиса: один в $V$, другой в $V'$. Например, $\{\mathbf{e}_k\}$ и $\{\mathbf{e}'_l\}$. Причем размерность пространств может не совпадать.

Теперь пусть $x\in V$, и $y=A(x) \in V'$. Каждый из векторов можно разложить по соответствующему базису. Пусть $x=x^k\mathbf{e}_k$. Здесь использовано соглашение Эйнштейна. Знаете, что это значит?

А теперь распишите $A(x)$ с учетом линейности

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:19 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Hasek в сообщении #987936 писал(а):
Пусть у Вас есть некое пространство с фиксированным базисом и есть некий линейный оператор. Вы поочередно действуете этим линейным оператором на все базисные векторы и получаете какие-то новые векторы. Вот в $i$-ом столбце матрицы линейного оператора стоит разложение $i$-го нового вектора по старому базису (в $j$-ой строке этого столбца коэффициент перед $j$-ым старым базисным вектором). Так получается матрица конкретного линейного оператора.

Выглядит как рекурсия) Чтобы подействовать оператором на векторы базиса, надо знать матрицу этого оператора. Чтобы задать матрицу оператора, надо подействовать им на векторы базиса и записать результат в столбцы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:20 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
provincialka в сообщении #987942 писал(а):
Знаете, что это значит?
Да, по повторяющимся индексам суммирование идет. Так формулы короче.

-- 09.03.2015, 21:24 --

provincialka , $y=A x^k e_k=x^k A e_k$ так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Nurzery[Rhymes] в сообщении #987943 писал(а):
Чтобы подействовать оператором на векторы базиса, надо знать матрицу этого оператора

Абсолютно нет. Оператор может быть задан независимо от этого. Например, проектор на подпространство. И вообще, это теоретическое рассуждение.

-- 09.03.2015, 22:30 --

fronnya в сообщении #987945 писал(а):
$y=A x^k e_k=x^k A e_k$ так?

Да, так. А ведь $A e_k\in V'$ можно разложить по базису этого пространства. Запишите.

-- 09.03.2015, 22:32 --

(Оффтоп)

Вообще говоря, лучше векторы $\mathbf{e}_k$ обозначать другим шрифтом, чем числа (координаты)

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:34 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
provincialka, $A e_k=x_k^j A e_j$, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Нет, зачем. Во втором пространстве свой базис, штрихованный. Он не обязан быть образом базиса $\{\mathbf{e}_k\}$. В нем может быть даже больше элементов (а может и меньше). И еще. Не надо обозначать коэффициенты через $x$: эта буква связана с аргументом. Лучше писать $a_k^j$, ведь это как раз и будут компоненты матрицы оператора $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица линейного оператора
Сообщение09.03.2015, 22:43 
Аватара пользователя


27/03/14
1074
Беларусь, Минская область
Вы просили разложить $A e_k$ по базису в пространстве $V'$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group