Матрица линейного оператора

[arseniiv]

Да, т. к. по базису $V$ разложить не обязательно возможно. Можно только если $V'\subset V$.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #987957 писал(а):

Можно только если $V'\subset V$.

Вот только не надо вот этого вот. Пока что. Так а чем мое разложение по базису не устраивает? ${e_j}$- базис штрихованного пространства же

[ewert]

fronnya в сообщении #987927 писал(а):

В чем хотя бы общая идея?

Общая идея проста. Любое конечномерное пространство изоморфно множеству числовых столбцов. Это если по-учёному; а если по существу, то элементы этого пространства можно просто отождествлять со столбцами. Так вот оказывается, что действие любого, сколь угодно абстрактно заданного линейного оператора, лишь бы он действовал именно в конечномерном пространстве, сводится к умножению на эти столбцы некоторой матрицы; вот она-то и называется матрицей оператора. Согласитесь, такая редукция вычислительно весьма выгодна (идейно-то наоборот, конечно).

[provincialka]

fronnya в сообщении #987958 писал(а):

Так а чем мое разложение по базису не устраивает? ${e_j}$- базис штрихованного пространства же

Нет! Мы не так договаривались.

provincialka в сообщении #987942 писал(а):

Еще два базиса: один в $V$, другой в $V'$. Например, $\{\mathbf{e}_k\}$ и $\{\mathbf{e}'_l\}$.

[fronnya]

$A e_k=a_k^{l'} A e_l'$

[provincialka]

fronnya в сообщении #987982 писал(а):

$A e_k=a_k^{l'} A e_l'$

Что мало штрихов? Штрих у индекса -- это уже перебор.
И зачем вам справа $A$? Берете базис "штрихованного" пространства и по нему раскладываете!

[fronnya]

provincialka в сообщении #987987 писал(а):

fronnya в сообщении #987982 писал(а):

$A e_k=a_k^{l'} A e_l'$

Что мало штрихов? Штрих у индекса -- это уже перебор.
И зачем вам справа $A$? Берете базис "штрихованного" пространства и по нему раскладываете!

аааа, т.е. оператор нужен для того, чтобы перевести вектор в новый базис?

[ewert]

fronnya в сообщении #987999 писал(а):

т.е. оператор нужен для того, чтобы перевести вектор в новый базис?

Вы уж как-нибудь определились бы, что Вам нужно: человек для субботы -- или суббота для человека?..

Изначально у Вас первичным объектом был оператор, непонятно же Вам было, зачем ему матрица. Теперь же вдруг всё в точности наоборот; ну так определились бы, чего Вам, в конце-то концов, хоцца. А то совершенно непонятно, на какой вопрос, собственно отвечать.

[fronnya]

Вопрос текущий: представить $Ae_k$ в штрихованном базисе.

[svv]

Разложение вектора, в данном случае $A\mathbf e_k$, по базису содержит базисные векторы и коэффициенты разложения.

Базисные векторы Вы знаете. Коэффициенты разложения зависят от оператора, и в данной общей ситуации Вы можете самое большее ввести для них удобные и корректные обозначения. Но всё это надо сделать.

[ewert]

Забудьте про штрихованые. Разберитесь сначала, что будет, если на входе и выходе базисы одинаковы (ну и пространства тем более, ессно). Если с этим разберётесь -- то и с обобщением вряд ли возникнут проблемы. Забудьте, запретите штрихи как пижонства (для начала).

[fronnya]

ewert , ок. Пусть имеются линейные пространства $V$ и $V$ с одинаковыми базисами ${e_i}$. Тогда $\forall x \in V: x=x^i e_i$ Задаем линейный оператор $A:V \to V$.
Подействуем на наш вектор этим оператором:$Ax=x^iAe_i$ Теперь разложим $Ae_i$ в базисе $e_i$?

[ewert]

fronnya в сообщении #988011 писал(а):

Теперь разложим $Ae_i$ в базисе $e_i$?

Нет, вот этого никак не выйдет. Буковка $i$ у Вас засвечена в первой позиции и, стало быть, во второй уж никак не уместна. Выберите хотя бы $j$, а ещё лучще $k$.

[fronnya]

ewert в сообщении #988012 писал(а):

fronnya в сообщении #988011 писал(а):

Теперь разложим $Ae_i$ в базисе $e_i$?

Нет, вот этого никак не выйдет. Буковка $i$ у Вас засвечена в первой позиции и, стало быть, во второй уж никак не уместна. Выберите хотя бы $j$, а ещё лучще $k$.

$Ae_i=\alpha^k_i e_k$ ?

[svv]

А чего так неуверенно?