О парадоксе Эренфеста и опыте Фипса

[zels]

Парадокс Эренфеста - вещь хорошо известная (в узких кругах) и обсуждаемая, в т.ч. на этом форуме. Я тоже заинтересовался вопросом - сократится ли окружность релятивистки раскрученного диска и что при этом произойдет с диаметром? Диаметр тот же, окружность стала меньше, т.е. диск каким-то образом деформируется ? В интернете видел картинку, где диск превращался в нечто вроде горшка (жаль, потерял ее).
Вот к каким выводам я пришел. Прежде, чем рассматривать диск в целом, давайте рассмотрим его часть, т.е. кольцо. Кольцо вращается с линейной скоростью v и, в соответствии со СТО, его длина L равна $\frac{L'}{\gamma}$, т.е. в $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ раз меньше его собственной длины L'. Берем $L'=2\pi\cdot R$ и получаем парадокс Мое решение парадокса таково: собственная длина $L'=\gamma\cdot 2\pi\cdot R$ и в результате наблюдаемая длина $L=2\pi\cdot R$, т.е. связь видимой длины окружности L и диаметра R сохраняется. Что означает это самое растяжение? Для кольца это реальное растяжение в $\gamma$ раз, т.е. расстояние между атомами увеличилось и возникло напряжение.
А теперь небольшой расчет. Кольцо плотностью $\rho$ сечением s крутится со скоростью v. Чтобы уравновесить центробежную силу (не вполне корректный термин, но понятный) в кольце должно быть напряжение T, которое находится из уравнения $s\cdot T=\frac{s\cdot\gamma\cdot\rho\cdot v^2}{2 \pi \cdot R}$, после сокращения s получается $T=\frac{\gamma\cdot\rho\cdot v^2}{L}$ (1), которое от аналогичной классической формулы отличается множителем $\gamma$. Прежде чем двигаться дальше, учтем еще один момент: диаметр кольца может увеличиться в $\alpha$ раз и тогда L (исходная длина кольца) увеличится в $\alpha\cdot\gamma$ раз. T связано с удлинением формулой $T=E(\alpha\cdot\gamma-1)$ (2), где E-модуль Юнга и уравнение (1) принимает вид $E(\gamma\cdot\alpha-1)=\frac{\gamma\cdot\rho\cdot v^2}{\alpha\cdot L}$. Раскручивание кольца приводит к изменению его диаметра (при малых скоростях (\alpha-1) = k\cdot v^2$). Но что произойдет при больших?
Положим $E=c=\rho=L=1$ и посмотрим на график зависимости $\alpha$ от $v$. До $v=0.5$ классическое поведение: диаметр увеличивается как квадрат скорости, после $v=0.8$ рост прекращается и сменяется уменьшением (начинает сказываться лоренцево сжатие). Теперь посмотрим на график при $E=1.5$ и видим, что сжатие начнется раньше и после $v=0.85$ диаметр станет меньше первоначального. А при $E=2$ сжатие начинается сразу (визуально, по крайней мере).

А теперь от абстрактных $E=c=\rho=L=1$ перейдем к конкретным $c=3\cdot10^8 m/s, \rho=1000 kg/m^3, L=1m$
Какое должно быть реальное E, чтобы график был как для "безразмерного" $E=1.5$ ? Оказывается, реальное $E=1.4\cdot 10^{20}$ паскаль. Это огромная величина, даже алмаз и супер-пупер углеволокна имеют $E < 10^{12}$ паскаль, т.е не хватает 8 порядков, которые вряд ли преодолеют в обозримом будущем.
Я читал в интернете, что некто Томас Фипс фотографировал быстровращающийся диск, но не обнаружил сжатия или искривления и на этом основании делают вывод об ошибочности СТО. К сожалению, я не нашел ссылки, где указаны параметры того, что Томас фотографировал, а приведенные выше расчеты показывают, что Фипс и не мог ничего обнаружить .
Теперь вернемся к диску. Диск - это набор колец, поэтому все диски из реальных материалов будут увеличивать свой диаметр по классическим формулам и разрушаться задолго до "лоренцева сокращения", особенно если учесть, что чем тверже материал, тем он более хрупкий. Можно учесть эффекты типа "внутренние кольца мешают сжиматься внешним", но зачем? Ведь на реальных материалах они долго не будут сказываться...

[aa_dav]

zels в сообщении #981573 писал(а):

а приведенные выше расчеты показывают, что Фипс и не мог ничего обнаружить

Именно так и есть. Где то как то для самых навороченных инженерных роторов-чемпионов данные были и там эффект сокращения длин вдоль окружности ноль-целых-хрен-десятых.

[peregoudov]

У Фиппса была идиотская идея, что, если провести на диске радиальную линию, то при вращении диска она со временем будет превращаться в спираль со все большим числом оборотов Аналогией для такого странного умозаключения послужила прецессия Томаса. Фиппс вращал диск чуть ли не месяц У меня завалялись копии его работ
http://sto68.narod.ru/phipps1.djvu
http://sto68.narod.ru/Phipps2.djvu

[zels]

Идея насчет бесконечной спирали действительно идиотская. Навскидку: если диск вращается с постоянной скоростью, а спираль со временем все более крутая, то для внешнего кольца должны возникать касательные напряжения, разгоняющие или тормозящие его. Какое уж тут стационарное вращение?
А вот насчет того, останется ли прямая линия прямой для неподвижного наблюдателя - непонятно. Может, сначала раскрутить спицу, а уж потом перейти к расчету радиальных линий?

[aa_dav]

zels в сообщении #982057 писал(а):

А вот насчет того, останется ли прямая линия прямой для неподвижного наблюдателя - непонятно.

Да вроде понятно - останется. Вот если кто то будет двигаться в плоскости колеса, то для него уже нет.

[zels]

aa_dav в сообщении #982077 писал(а):

zels в сообщении #982057 писал(а):

А вот насчет того, останется ли прямая линия прямой для неподвижного наблюдателя - непонятно.

Да вроде понятно - останется. Вот если кто то будет двигаться в плоскости колеса, то для него уже нет.

Если понятно - докажите

[Someone]

zels в сообщении #982095 писал(а):

Если понятно - докажите

Просто по определению вращения.

[zels]

Someone в сообщении #982098 писал(а):

Просто по определению вращения.

Значит, у меня с Вами разные определения (кстати, не поделитесь ссылочкой на "свое", где сказано про прямую линию?). Может, у Вас "по определению движения" и длина поезда Эйнштейна остается неизменной?

[Someone]

Вращение — это движение твёрдого тела, при котором точки, расположенные на некоторой прямой (оси вращения), остаются неподвижными, и расстояния между любыми двумя точками тела остаются неизменными.

Видите ли, любое колесо, которое мы в состоянии изготовить из любых доступных материалов, в процессе раскрутки разорвётся гораздо раньше, чем возникнут какие-либо ощутимые релятивистские эффекты. Причём, вопрос о том, что будет происходить с этим колесом в процессе раскрутки, относится не к физике, а к другим дисциплинам, таким, как сопротивление материалов, теория упругости и т.п..

А с точки зрения физики естественно рассмотреть простейший вариант: колесо вращается как твёрдое тело, сохраняя свой радиус. А вращающаяся окружность не может сократиться без изменения радиуса, потому что геометрически она совпадает с неподвижной окружностью того же радиуса, так что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, и неподвижная, и вращающаяся окружности имеют одинаковую длину. Отсюда следует, что в собственной системе отсчёта окружность становится длиннее.

Если же Вы хотите рассмотреть вариант, сколько-нибудь приближенный к реальному колесу, то Вы должны, прежде всего, точно определить свойства материала, чтобы можно было написать уравнения, связывающие деформации с внутренними напряжениями. Без этого любые рассуждения о форме вращающегося колеса — бессмысленные спекуляции.

Ну, если мне не верите — возьмите курс теоретической физики Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица, том второй, который называется "Теория поля". Там в § 89 как раз определяется вращение (точнее, вращающаяся система координат). Также посмотрите http://dxdy.ru/post982171.html#p982171. Там увидите, что "длина поезда Эйнштейна" не остаётся неизменной. Причём, именно при таком вращении, при котором расстояния между точками с точки зрения неподвижного наблюдателя не изменяются (а другого вращения и не бывает — по определению). Вы просто путаете длины, измеряемые в разных системах отсчёта.

[zels]

Someone в сообщении #982182 писал(а):

Вы просто путаете длины, измеряемые в разных системах отсчёта.

Это вы путаете неизменность расстояний для тела, вращающегося с постоянной скоростью и неизменность расстояний в процессе раскрутки.
Для движущегося вагона тоже можно сказать, что пока он едет, расстояния в нем не меняются (но боюсь, эту аналогию Вы не воспринимаете).
Кстати, для наблюдателя на диске после раскрутки расстояния между любыми двумя точками тела тоже остаются неизменными. Он тоже видит прямые отрезки (которые были нанесены на неподвижное колесо) прямыми?

Someone в сообщении #982182 писал(а):

Если же Вы хотите рассмотреть вариант, сколько-нибудь приближенный к реальному колесу, то Вы должны, прежде всего, точно определить свойства материала, чтобы можно было написать уравнения, связывающие деформации с внутренними напряжениями.

Вы читали первое сообщение темы, где вычисляются эти самые напряжения и деформации для кольца?
Приведите расчеты для диска, чтобы показать - вот, прямой отрезок для неподвижного наблюдателя остается прямым отрезком в процессе раскрутки. Тогда я соглашусь, поскольку это будет результат расчета, а не бла-бла. Замечу, что мне больше нравится вариант, когда радиальные прямые отрезки переходят в радиальные прямые, но мало ли что мне нравится...

[rustot]

Someone в сообщении #982182 писал(а):

Если же Вы хотите рассмотреть вариант, сколько-нибудь приближенный к реальному колесу, то Вы должны, прежде всего, точно определить свойства материала, чтобы можно было написать уравнения, связывающие деформации с внутренними напряжениями.

ну он вроде это и проделал в наколенном виде. с одной стороны тангенциальные силы, стремящиеся уменьшить длину окружности и в результате приводящие к радиальным силам, сжимающим диск, с другой стороны центробежные силы, наоборот растягивающие его в радиальном направлении. при разном соотношении между плотностью и коэффициентом упругости может быть и так и эдак. диск бесконечно малой плотности и бесконечно большим коэффициентом упругости уменьшится в диаметре, но при более реалистичных соотношениях скорее увеличится

[Someone]

Или же диск вообще потеряет плоскую форму и как-нибудь хитро изогнётся. Я и говорю: без точного определения свойств материала остаются только произвольные спекуляции.

zels в сообщении #982262 писал(а):

Это вы путаете неизменность расстояний для тела, вращающегося с постоянной скоростью и неизменность расстояний в процессе раскрутки.

Меня процесс раскрутки не интересует. Первоначальная постановка задачи: диск вращается с постоянной угловой скоростью, сохраняя первоначальную форму и размеры. "Парадокс", собственно, отсюда и возник: с одной стороны, окружность на диске должна сократиться, а с другой стороны, она сократиться не может, поскольку геометрически совпадает с неподвижной окружностью.

А всякие навороты только запутывают вопрос.

zels в сообщении #982262 писал(а):

Он тоже видит прямые отрезки (которые были нанесены на неподвижное колесо) прямыми?

"Видит" в каком смысле?

Возьмите формулы преобразования координат от неподвижной системы к вращающейся (в цилиндрических координатах) Там хорошо видно, что (прямолинейные) радиусы диска во вращающейся системе координат являются такими же прямыми. А какими их видит тот или иной наблюдатель — зависит от его движения. К тому же, мы обсуждаем вопрос в неподвижной системе координат.

zels в сообщении #982262 писал(а):

Вы читали первое сообщение темы, где вычисляются эти самые напряжения и деформации для кольца?

Читал.

zels в сообщении #981573 писал(а):

Мое решение парадокса таково: собственная длина $L'=\gamma\cdot 2\pi\cdot R$ и в результате наблюдаемая длина $L=2\pi\cdot R$, т.е. связь видимой длины окружности L и диаметра R сохраняется. Что означает это самое растяжение? Для кольца это реальное растяжение в $\gamma$ раз, т.е. расстояние между атомами увеличилось и возникло напряжение.

Вот это верно. А всё остальное — спекуляции с произвольными допущениями, нисколько не относящиеся к исходному вопросу.

[zels]

Someone в сообщении #982307 писал(а):

сохраняя первоначальную форму и размеры.

Из того, что диск сохраняет свою форму вовсе не следует, что для неподвижного наблюдателя прямые радиальные отрезки переходят в прямые, но боюсь, Вам этого уже не понять...

-- Ср фев 25, 2015 15:55:15 --

rustot в сообщении #982274 писал(а):

ну он вроде это и проделал в наколенном виде. с одной стороны тангенциальные силы, стремящиеся уменьшить длину окружности и в результате приводящие к радиальным силам, сжимающим диск, с другой стороны центробежные силы, наоборот растягивающие его в радиальном направлении. при разном соотношении между плотностью и коэффициентом упругости может быть и так и эдак. диск бесконечно малой плотности и бесконечно большим коэффициентом упругости уменьшится в диаметре, но при более реалистичных соотношениях скорее увеличится

Абсолютно согласен. Я попробовал на Maple посчитать тензор энергии-импульса в аналитическом виде для пыли. Выглядит устрашающе (хотя результат расчета совпадает с правильным "наколенным"). Для упругого тела будет еще навороченней. А потом подумал - зачем? Формулы не должны загораживать цели:
1. Загнутся края диска в чашу? Мой ответ - нет. Ключевая формула темы $L'=2\pi\cdot\gamma\cdot R$, т.е. увеличение собственной длины кольца таким образом, чтобы видимая длина была 2\pi\cdot R$ и эта формула - решение парадокса.
Побочный эффект - дополнительные лоренцевы (или эренфестовы ) напряжения, сжимающие кольцо и диск.
2. Могло быть у Фипса уменьшение радиуса за счет возникших напряжений? Ответ - нет, не могло, даже для внешнего кольца.
3. Имхо, никакой точный расчет диска не "закроет" дефицит твердости в 8 порядков.

Чисто гипотетически можно придумать многослойный диск, где внешнее кольцо очень-очень твердое и оно сжимает внутреннюю часть, которая деформируется.

[Someone]

zels в сообщении #982319 писал(а):

Из того, что диск сохраняет свою форму вовсе не следует, что для неподвижного наблюдателя прямые отрезки переходят в прямые (хотя бы радиальные), но боюсь, Вам этого уже не понять... :(

Знаете, там на диске радиусы изображены такими тоненькими низенькими рёбрышками. Они, естественно, тоже сохраняют форму. По определению вращения.

Да, я уже знаю, что у Вас есть собственное определение вращения твёрдого тела, отличное от общепринятого. Можете не напоминать.

Кроме того, всё это не имеет отношения к "парадоксу Эренфеста".

[zels]

Someone в сообщении #982337 писал(а):

Да, я уже знаю, что у Вас есть собственное определение вращения твёрдого тела, отличное от общепринятого. Можете не напоминать.

Как я понял, определение у нас одно, а вот выводы разные...