Wald, General relativity, приложение E1. В других лень выискивать. Еще хорошо вариации выписаны
здесьНу, может насчет "самосогласованного" я и слишком громко сказал, но получается, что вариация действия Эйнштейна-Гильберта дает граничный член, не только со слагаемым, пропорциональным
![$\delta g_{\mu\nu}$ $\delta g_{\mu\nu}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/2/a5234d24aae3d752123b94c60e649df982.png)
но и со слагаемым, пропорциональным
![$n^\alpha\nabla_\alpha\delta g_{\mu\nu}$ $n^\alpha\nabla_\alpha\delta g_{\mu\nu}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/6/4265fadfd312efd3e992635258c226ac82.png)
, т.е. нормальной производной. В итоге либо признаете, что получаются противоречивые уравнения (или крючкотворчески заявляете, что для обычного класса вариаций строго говоря и вариационной производной
![$\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}(x)}$ $\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}(x)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/e/34e8edbfdbfca945fb891850c627264382.png)
не существует), либо сужаете класс вариаций, руками задавая всю жизнь на границе (не только условие Дирихле, но и Неймана) и забывая про то, что там вообще динамика возможна.
Член Гиббонса-Хокинга же слагаемое с нормальной производной убивает. К тому же, если в качестве границы выступает некоторая вложенная в пространство поверхность (брана, тонкая оболочка итп), он автоматически дает для нее условие сшивания Израэля.